1、2022届高三入学摸底考试数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3.本卷命题范围：高考范围。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足：，则（ ）A.B.C.D.2.集合，则中的元素个数为（ ）A.2B.3C.4D.53.已知等差数列的通项公
2、式为，则其前项和的最大值为（ ）A.15B.16C.17D.184.已知：；：，若是的充分条件，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.5.已知是定义在上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（ ）A.B.C.D.6.已知文印室内有5份待打印的文件自，上而下摞在一起，秘书小王要在这5份文件中再插入甲乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，则不同的打印方式的种数为（ ）A.15B.21C.28D.367.将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位，可得函数的图象，则（ ）A.2B.0C.D.8.如图，在正方体中，为中点，过且与平行的平
3、面交平面于直线，则直线与所成角的余弦值是（ ）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据：1，2，4，3，1，2，1，则（ ）A.这组数据的众数为2B.这组数据的极差为3C.这组数据的平均数为2D.这组数据的中位数为10.已知，则（ ）A.B.C.D.11.已知，则（ ）A.B.C.D.12.抛物线：的焦点为，准线交轴于点，过焦点的直线与抛物线交于，两点，则（ ）A.B.C.直线与的斜率之和为0D.准线上存在点，若为等边三角形，可得直线的斜率为三、填空题：本
4、题共4小题，每小题5分，共20分.13.向量，向量与的夹角为，则_.14.双曲线的一条渐近线与垂直，右焦点为，则以原点为圆心，为半径的圆的面积为_.15.如图，在六面体中，平面，平面平面，四边形是菱形，则六面体的体积为_.16.已知：，且，则_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，的内角，的对边分别为，且.（1）求；（2）在内有点，且，直线交于点，求.18.（本小题满分12分）已知：数列满足，.（1）求；（2）求满足的最大的正整数的值.19.（本小题满分12分）在四棱锥中，平面平面.（1）证明：平面平面；（2）求二面
5、角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在上有零点，求实数的取值范围.21.（本小题满分12分）有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球.从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换.（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；（2）二次交换后，记为“乙袋中红球的个数”，求随机变量的分布列与数学期望.22.（本小题满分12分）椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上有两点，（异于椭圆顶点，且与轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值.2022届
6、高三入学摸底考试数学参考答案、提示及评分细则1.C 设，则，.2.A 集合的元素中，满足除以4余1的整数有5，9两个.3.B 当时，可得当时，的最大值为.4.C ：，可知：.5.B 是奇函数，关于点对称，函数图象左移1个单位，可关于点对称.6.B 原来5份文件加上甲乙两份共7份文件，不同的打印方式有种.7.C 先将向右移个单位得，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得，故，.8.D ，故平面即为过且与平行的平面，取中点为，中点为，易证平面平面，交，则，又，故即为所求的异面直线所成角，故.9.BC 众数为1，极差为，平均数为，中位数为2，故答案为BC.10.CD A：，故，A错误；B：为减函数
7、，故B错误；C：幂函数在上为减函数，故C正确；D：函数为减函数，故D正确.11.AC A：，A正确，B错误；C：，故C正确；由前面讨论可知，D错误.12.BCD 对于A，由，可得，故A选项错误；对于B，设，两点的坐标分别为，直线的方程为.联立方程消去后整理为，有，故B选项正确；对于C，故C选项正确；对于D，如图，设的中点为，连，过作直线，为垂足，由，可得，可得，由对称性及可知直线的斜率为，故D选项正确.13. ，即.14. 双曲线的渐近线方程为，故，故，所求圆的面积为.15.8 ，可得，取中点为，则，故六面体的体积为8.16. 原式化为，即，令，故可得，故，或，.对：，故.对：，不合题意，故.
8、17.解：（1），即，或，故，.（2）在中，设，则，在中，则，而，.18.解：（1），两式相除可得，而，故等比数列的通项公式为.（2）与得，故，而，故的最大值为5.19.（1）证明：取中点为，则且， 又平面平面，故平面， 又，平面，而平面，故平面平面.（2）解：以为原点，方向分别为，轴的正方向，垂直于平面向上的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，由（1）知平面的法向量为，设平面的的法向量为，则取，则，故.故二面角的正弦值为.20.解：（1），当，即时，时，为增函数；时，为减函数；时，为增函数.当时，故在上为增函数.当时，时，为增函数；时，为减函数；时，为增函数.（2）当时，可知：当，即时，为增函数，故只须，.当时，时，；时，.故只须满足：，而，故在上有零点，综上所述，的取值范围是.21.解：（1）一次交换，红球换红球，白球换白球，可得2袋中红白球个数不变的概率为.（2），1，2，3，4，故.故的分布列为：01234故.22.解：（1），故，故椭圆方程为.（2）设，直线方程为，代入椭圆方程整理得，而且，即，由求根公式得，原点到的距离为，.当且仅当，即时取等号，此时，.故得证.
