1、第八章 平面解析几何 第五节 椭圆 第八章 平面解析几何 主干知识梳理 一、椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之等于常数(|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的和大于焦点焦距第八章 平面解析几何 二、椭圆的标准方程及其几何性质条件2a2c，a2b2c2，a0，b0，c0图形第八章 平面解析几何 标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)范围对称性曲线关于对称曲线关于对称x轴、y轴、原点x轴、y轴、原点|x|a；|y|b|x|b；|y|a第八章 平面解析几何 顶点长轴顶点短轴顶点长轴顶点短轴顶点焦点(a，0)(0
2、，a)(0，b)(b，0)(c，0)(0，c)第八章 平面解析几何 焦距|F1F2|(c2)离心率eca ，其中 ca2b2 通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为2b2a2ca2b2(0，1)第八章 平面解析几何 基础自测自评1(教材习题改编)设 P 是椭圆x24y291 的点，若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B8C6 D18C 依定义知|PF1|PF2|2a6.第八章 平面解析几何 2(教材习题改编)方程 x25m y2m31 表示椭圆，则 m 的范围是()A(3，5)B(5，3)C(3，1)(1，5)D(5，1)(1，3)C 由方程表示椭圆知5m0，m
3、30，5mm3，解得3m5 且 m1.第八章 平面解析几何 3(2012淮南五校联考)椭圆x29 y24k1 的离心率为45，则 k 的值为()A21 B21C1925或 21 D.1925或 21第八章 平面解析几何 C 若 a29，b24k，则 c 5k，由ca45，即 5k345，得 k1925；若 a24k，b29，则 c k5，由ca45，即 k54k45，解得 k21.第八章 平面解析几何 4(2014合肥质检)以椭圆x24y231 的右焦点 F 为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为_解析 椭圆x24y231 的右焦点为 F(1，0)，所求圆的半径为 b2c2a2，所以所求圆的方
4、程为(x1)2y24.答案(x1)2y24第八章 平面解析几何 5已知 F1，F2 是椭圆 C 的左，右焦点，点 P 在椭圆上，且满足|PF1|2|PF2|，PF1F230，则椭圆的离心率为_解析 在三角形 PF1F2 中，由正弦定理得 sinPF2F11，即PF2F12，设|PF2|1，则|PF1|2，|F2F1|3，所以离心率 e2c2a 33.答案 33第八章 平面解析几何 关键要点点拨1椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存
5、在2已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论第八章 平面解析几何 典题导入(2013新课标全国高考)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()椭圆的定义及标准方程 第八章 平面解析几何 A.x245y2361B.x236y2271C.x227y2181D.x218y291第八章 平面解析几何 听课记录 因为直线 AB 过点 F(3，0)和点(1，1)，所以直线 AB 的方程为 y12(x3)，代入椭圆方程x2a2y2b21 消去
6、y，得a24 b2 x232a2x94a2a2b20，第八章 平面解析几何 所以 AB 的中点的横坐标为32a22a24 b2 1，即 a22b2，又 a2b2c2，所以 bc3，选择 D.答案 D第八章 平面解析几何 规律方法1解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题 2椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为：(1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程 3当椭圆焦点位置不明确时，可设为x2my2n1(m0，n0，mn)，也可设为 Ax2By21(A0，B0，且 AB)第八章 平面解析几何 跟踪训练1(2014江西七校联考)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2y2b2
7、1(0b1)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|()A.23 B1C.43D.53第八章 平面解析几何 C 由椭圆 E：x2y2b21(0b1)知，a1，|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，两式相加得|AF1|AF2|BF1|BF2|4，|AF2|BF2|4(|AF1|BF1|)4|AB|.|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，2|AB|AF2|BF2|，于是 2|AB|4|AB|，|AB|43.第八章 平面解析几何(1)F1、F2 是椭圆x24y21 的左右焦点，点 P 在椭圆上运动则
8、的最大值是()A2 B1C2 D4椭圆的几何性质 第八章 平面解析几何 听课记录 设 P(x，y)，依题意得 F1(3，0)，F2(3，0)，(3x)(3x)y2x2y2334x22.0 x24，234x221.的最大值是 1.答案 B第八章 平面解析几何(2)(2012江西高考)椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B.55C.12D.52第八章 平面解析几何 听课记录 由题意知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，且三者成等比数列，则|F1F2|2
9、|AF1|F1B|，即 4c2a2c2，a25c2，所以 e215，故 e 55.答案 B第八章 平面解析几何 互动探究若将本例(2)中的“等比数列”改为“等差数列”，求此椭圆的离心率为_解析 由题意知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，且三者成等差数列，则|AF1|F1B|2|F1F2|，即 acac4c，2a4c，即 eca12.答案 12第八章 平面解析几何 规律方法1求椭圆的离心率实质上是建立 a，b，c 中任意两者或三者之间的关系，利用 eca或 e1ba2去整体求解 2解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意axa，byb，
10、0e1 等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用 第八章 平面解析几何 跟踪训练2(1)(2014合肥一中最后冲刺)已知点 F1，F2 是椭圆 x22y22 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF1 PF2|的最小值是()A0 B1C2 D2 2C 由椭圆 x22y22，可得x22y21，则 c1.|PF1 PF2|PF1 PF2|F1F1|2.故选 C.第八章 平面解析几何(2)(2014湖南六校联考)椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是()A.0，22
11、B.0，12C.12，1D 21，1)第八章 平面解析几何 C 在椭圆上存在点 P 满足 AP 的垂直平分线过点 F，存在点 P 满足|FP|FA|.设点 P 的坐标为(x0，y0)，则|FP|a2c cb2c，又|FP|ea2c x0，x0c2aca2ec，由题意可得ax0a，第八章 平面解析几何 ac2aca2eca，c2c2aca2c2，e2e2e1e2.解之得12e1.故选 C.第八章 平面解析几何 典题导入(2013天津高考)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，离心率为 33，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33.(1)求椭圆的方程；(2)设 A
12、，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点若ACDB AD CB8，求 k 的值直线与椭圆的位置关系 第八章 平面解析几何 听课记录(1)设 F(c，0)，由ca 33，知 a 3c.过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 xc，代入椭圆方程有（c）2a2y2b21，解得 y 6b3，于是2 6b34 33，解得 b 2，又 a2c2b2，从而 a 3，c1，所以椭圆的方程为x23y221.第八章 平面解析几何(2)设点 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由 F(1，0)得直线 CD 的方程为 yk(x1)由方程组yk（x1），x23y221消去 y，整
13、理得(23k2)x26k2x3k260，则 x1x2 6k223k2，x1x23k2623k2.第八章 平面解析几何 因为 A(3，0)，B(3，0)，所以AC DB AD CB(x1 3，y1)(3x2，y2)(x2 3，y2)(3x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k262k21223k2.由已知得 62k21223k2 8，解得 k 2.第八章 平面解析几何 规律方法1直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判断式的符
14、号来确定：当0时，直线和椭圆相交；当0时，直线和椭圆相切；当0时，直线和椭圆相离第八章 平面解析几何 2直线和椭圆相交的弦长公式|AB|（1k2）（x1x2）24x1x2 或|AB|11k2（y1y2）24y1y2.第八章 平面解析几何 3直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化第八章 平面解析几何 跟踪训练3(2014济南一模)已知椭圆x2a2y2b21(a
15、b0)的离心率为 22，且过点(2，2)(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线 AC、BD 过原点 O，若 kACkBDb2a2，第八章 平面解析几何()求OA OB 的最值；()求证：四边形 ABCD 的面积为定值解析(1)由题意 eca 22，4a2 2b21.又 a2b2c2，解得 a28，b24，椭圆的标准方程为x28y241.第八章 平面解析几何(2)设直线 AB 的方程为 ykxm，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立ykxmx22y28，得(12k2)x24kmx2m280.(4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，第八
16、章 平面解析几何 且x1x24km12k2，x1x22m2812k2.kOAkOBb2a212，y1y2x1x212，y1y212x1x2122m2812k2m2412k2，第八章 平面解析几何 y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2 k22m2812k2km4km12k2m2m28k212k2，m2412k2m28k212k2，(m24)m28k2，4k22m2.()OA OBx1x2y1y2 第八章 平面解析几何 2m2812k2m2412k2m2412k24k22412k2 2412k2，224OA OB 2.当 k0(此时 m22 满足式)，即直线 AB 平行
17、于 x 轴时，OA OB 的最小值为2.又直线 AB 的斜率不存在时OA OB 2，第八章 平面解析几何 所以OA OB 的最大值为 2.()设原点到直线 AB 的距离为 d，则 SAOB12|AB|d12 1k2|x2x1|m|1k2|m|2（x1x2）24x1x2|m|24km12k2 242m2812k2 第八章 平面解析几何|m|264k2m2 16（m24）m22 4k2m242 2，S 四边形 ABCD4SAOB8 2.即四边形 ABCD 的面积为定值第八章 平面解析几何【创新探究】直线与椭圆的综合问题(2013新课标全国高考)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动
18、圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.第八章 平面解析几何【思路导析】第(1)问，注意到圆M与圆N的圆心关于原点对称，题目暗示曲线C可能是椭圆或双曲线，根据两圆位置关系的几何性质，建立关系式，考察是否符合椭圆或双曲线的定义，利用定义求出方程第(2)问求出圆P的方程最关键，然后根据直线l与两圆都相切，求出直线方程(在求直线方程时，涉及两个变量，可以根据几何关系求解)，最后结合椭圆方程，可求弦AB的长第八章 平面解析几何【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M(1，0)，半
19、径 r11；圆 N 的圆心为 N(1，0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24y231(x2)第八章 平面解析几何(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以 R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2，0)时，R2.所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可
20、得|AB|2 3.若 l 的倾斜角不为 90，由 r1R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则|QP|QM|Rr1，可求得 Q(4，0)，所以可设 l：yk(x4)第八章 平面解析几何 由 l 与圆 M 相切得|3k|1k21，解得 k 24.当 k 24 时，将 y 24 x 2代入x24y231，并整理得 7x28x80，解得 x1，246 27，所以|AB|1k2|x2x1|187.第八章 平面解析几何 当 k 24 时，由图形的对称性可知|AB|187.综上，|AB|2 3或|AB|187.第八章 平面解析几何【高手支招】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意以下几
21、点：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题第八章 平面解析几何 体验高考(理)(2013重庆高考)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在 x 轴上，离心率 e 22，过左焦点F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P，P，过 P，P作圆心为 Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q 外若 PQPQ，求圆 Q 的标准方程第八章 平面解析几何 解析(1)由题意知点 A(c，2)在
22、椭圆上，则（c）2a222b21，从而 e2 4b21.由 e 22 得 b241e28，从而 a2 b21e216.故该椭圆的标准方程为x216y281.第八章 平面解析几何(2)由椭圆的对称性，可设 Q(x0，0)，又设 M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2 (x x0)2 y2 x2 2x0 x x 20 81x216 12(x2x0)2x208(x4，4)第八章 平面解析几何 设 P(x1，y1)，由题意，P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点，因此，上式当 xx1 时取最小值，又因 x1(4，4)，所以上式当 x2x0 时取最小值，从而 x12x0，且|QP|28x20.因为 PQ
23、PQ，且 P(x1，y1)，所以QP QP(x1x0，y1)(x1x0，y1)0.即(x1x0)2y210.第八章 平面解析几何 由椭圆方程及 x12x0 得14x2181x2116 0，解得 x14 63，x0 x122 63，从而|QP|28x20163.故这样的圆有两个，其标准方程分别为 x2 632y2163，x2 632y2163.第八章 平面解析几何(文)(2013重庆高考)如图，椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，离心率 e 22，过左焦点 F1 作 x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P，P
24、，过 P，P作圆心为 Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q 外求PPQ 的面积 S 的最大值，并写出对应的圆 Q 的标准方程第八章 平面解析几何 解析(1)由题意知点 A(c，2)在椭圆上，则（c）2a222b21，从而 e2 4b21，又 e 22，故 b241e28，从而 a2 b21e216.故该椭圆的标准方程为x216y281.第八章 平面解析几何(2)由椭圆的对称性，可设 Q(x0，0)又设 M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0 xx2081x216 12(x2x0)2x208(x4，4)设 P(x1，y1)，由题意知，P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点，因此，当 xx1 时|QM|2 取最小值，又 x1(4，4)，从而 x12x0，且|QP|28x20.由对称性知 P(x1，y1)，故|PP|2y1|，第八章 平面解析几何 所以 S12|2y1|x1x0|12281x2116|x0|2（4x20）x202（x202）24.当 x0 2时，PPQ 的面积 S 取得最大值 2 2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(2，0)，半径|OP|8x20 6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x 2)2y26，(x 2)2y26.第八章 平面解析几何 课时作业
