1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-3 概率 第二章 2.3 随机变量的数字特征第二章 第1课时 离散型随机变量的数学期望课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1课前自主预习某书店订购一新版图书，根据以往经验预测，这种新书的销售量为40,100,120本的概率分别为0.2,0.7,0.1，这种书每本的进价为6元销售价为8元，如果售不出去，以后处理剩余书每本为5元为盈得最大利润，书店应订购多少本新书？1.求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)_(2)_ _(3)_ _2离散型随机变量分布列的性质：(1)pi_0，i1,2,3，n；(2)p1p2pn_.找出随机
2、变量的所有可能的取值xi(i1,2，n)求出取每一个值的概率P(xi)pi列出表格 1 一、离散型随机变量的数学期望一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，xn，这些值对应的概率是p1，p2，pn，则称E(X)x1p1x2p2xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)它反映了离散型随机变量的平均取值水平在理解离散型随机变量的数学期望的概念时注意以下三点：(1)数学期望(均值)的含义：数学期望(均值)是离散型随机变量的一个特征数，反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)数学期望(均值)的来源：数学期望(均值)不是通过一次或几次试验就可以得到的，而是在大量的重复
3、试验中表现出来的相对稳定的值(3)数学期望(均值)与平均数的区别：数学期望(均值)是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数已知随机变量 X 的分布列为：X101P121316则 E(X)等于()A0 B1C13D16答案 C解析 由题意可知 E(X)(1)1201311613.导学号98570321二 离散型随机变量数学期望的性质若YaXb，其中a，b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aXb)aE(X)b.当b0时，E(aX)aE(X)，此式表明常量与随机变量乘积的数学期望，等于这个常量与随机变量的期望的乘积；当a1时，E(Xb)E(X)b，此式表明随机变量与常量和的期望
4、，等于随机变量的期望与这个常量的和；当a0时，E(b)b，此式表明常量的期望等于这个常量上述公式证明如下：如果 YaXb，其中 a，b 为常数，那么 Y 也是随机变量因此 P(Yaxib)P(Xxi)，i1,2,3，n，所以 Y 的分布列为Yax1bax2baxnbPp1p2pn有 E(Y)(ax1b)p1(ax2b)p2(axnb)pna(x1p1x2p2xnpn)b(p1p2pn)aE(X)b，即 E(aXb)aE(X)b.若X是一个随机变量，则E(XE(X)的值为()A无法求B0CE(X)D2E(X)答案 B解析 只要认识到 E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解E(aXb)aE
5、(X)b，而 E(X)为常数，E(XE(X)E(X)E(X)0.导学号98570322三、二点分布、二项分布及超几何分布的期望(1)若随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布，X10Pp1p则 E(X)1p0(1p)p.这表明，在一次二点分布试验中，离散型随机变量 X 的数学期望取值为 p.(2)设离散型随机变量 X 服从于参数为 n 和 p 的二项分布，由 X 的分布列 P(Xk)Cknpkqnk(k0,1,2，n)，可知 X 的数学期望为 E(X)0C0np0qn1C1np1qn1kCknpkqnknCnnpnq0np(pq)n1np，所以在 XB(n，p)时，E(X)np.(3)若离散型
6、随机变量 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X)nMN.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200C300 D400答案 B导学号98570323解析 本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的数学期望等记“不发芽的种子数为”，则 B(1 000,0.1)，所以 E()1 0000.1100，而 X2，故 E(X)E(2)2E()200，故选 B.四、求离散型随机变量数学期望的方法(1)求离散型随机变量数学期望的关键在于写出它的分布列，再代入公式E(X)x1p1x2
7、p2xnpn.(2)从离散型随机变量数学期望的概念可以看出，要求期望，必须求出相应取值及概率，列出分布列，再代入公式计算这就要求全面分析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，再由此求出各离散型随机变量相应的概率(3)利用定义求离散型随机变量X的数学期望的步骤：理解随机变量X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列；由数学期望的定义求出E(X)(4)如果随机变量服从二点分布、二项分布或超几何分布，可直接代入公式求数学期望某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现
8、从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望导学号98570324解析(1)设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为事件 A，则P(A)C13C27C03C37C3104960.所以，选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.P(Xk)Ck4C3k6C310(k0、1、2、3)所以，随机变量 X 的分布列是X0123P1612310130随机变量 X 的数学期望 E(
9、X)0161122 3103 13065.课堂典例探究在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望分析 明确随机变量X的取值，计算每个取值的概率，然后列其分布列，最后计算E(X)数学期望的求法导学号98570325解析 从 10 件产品中任取 3 件共有 C310种结果从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的结果数为 Ck3C3k7，其中 k0,1,2,3.P(Xk)Ck3C3k7C310，k0,1,2,3.所以随机变量 X 的分布列为：X0123P72421407401120E(X)0 7241
10、21402 7403 1120 910.方法总结 求离散型随机变量 X 的数学期望步骤：1理解 X 的实际意义，并写出 X 的全部取值；2求出 X 的每个值的概率；3写出 X 的分布列(有时也可省略)；4利用定义公式 E(X)x1p1x2p2xnpn，求出数学期望其中第 1、2 步是解答此类题目的关键若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为 X，求 E(X)导学号98570326解析 记“甲解出该题”为事件 A，“乙解出该题”为事件 B，X 可能取值为 0,1,2.P(X0)P(A)P(B)123 145 115，P(X1)P(
11、A B)P(A B)P(A)P(B)P(A)P(B)23145 123 4525，P(X2)P(A)P(B)2345 815.所以，X 的分布列为X012P11525815E(X)0 1151252 8152215.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某篮球运动员罚球的命中率为0.7，那么他罚球1次得分X的期望是多少？分析 首先写出X的分布列，罚球一次可能命中，也可能不中，故服从两点分布解析 X的分布列为：P(X1)0.7，P(X0)0.3，E(X)10.700.30.7.方法总结 明确了是两点分布后只要找出成功概率即可两点分布的期望导学号98570327答案 A设一随机试验的结
12、果只有 A 和 A，P(A)p，令随机变量 X1，A出现0，A不出现，则 X 的期望为()Ap B1pCp(1p)D0导学号98570328设某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在他连续射击6次，求击中目标次数的期望分析 这是一个独立重复试验问题，其击中目标的次数的概率分布属于二项分布，可直接由二项分布的期望得出二项分布的期望解析 设击中目标的次数为，依题意 B(6，0.8)，所以 E()60.84.8.即击中目标次数的期望是 4.8 次方法总结 确定分布列的类型非常重要，其中二项分布对应独立重复试验，这一点是我们判断一个分布列是否为二项分布的标准导学号98570329答案 C某班有14的
13、学生成绩优秀，如果从班中随机地找出 5 名学生，那么其中成绩优秀的学生数 XB(5，14)，则 E(X)的值为()A14 B14 C54D54解析 E(X)51454.故选 C导学号98570330离散型随机变量的均值的性质(1)设随机变量 X 的分布列为 P(Xk)16(k1、2、3、4、5、6)，求 E(2X3)；(2)设随机变量 X 的分布列为 P(Xk)1n(k1、2、n)，求 E(X)分析 利用离散型随机变量的均值概念与性质解题导学号98570331方法总结 求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解对于aXb型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解
14、，当然也可以先求出aXb的分布列，再用定义求解解析(1)E(X)1162166163.5，E(2X3)2E(X)323.5310.(2)E(X)1n(12n)1nnn12n12.设离散型随机变量 X 的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1 的分布列；(2)|X1|的分布列导学号98570332解析 由分布列的性质知：020.10.10.3m1.m0.3.首先列表为：X012342X113579|X1|10123从而由上表得两个分布列为：(1)2X1 的分布列：2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的分布列：|X1|0123P0.10.30.30.3对随机变量，若E()3，求E(32)错解 E(32)3E()9.辨析 E(ab)aE()b.正解 E(32)3E()29211.导学号98570333离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望理解离散型随机变量的数学期望的性质理解二点分布、二项分布及超几何分布的期望理解课 时 作 业（点此链接）
