1、基本不等式、线性规划、一元二次不等式-2022届高三数学二轮专题复习【高考展望】纵观历年高考，基本不等式、线性规划都是高考的高频考点，尤其是最近几年，线性规划几乎是每年必考的内容，无论是普通的线性规划题，还是含参数的线性规划题，都是非常容易得分的内容；基本不等式在最近几年也是频频出现在高考中，试题难度一般较易或中等；一元二次不等式虽然较少单独在高考中考查，但也常常出现在高考某些题的解题步骤中。因此，这三部分内容在高考中起着举足轻重的作用。本节课概括了基本不等式、线性规划、一元二次不等式的所有知识和方法，并且通过一系列历年高考题对这些方法进行有针对性的训练，从而使学生能够较快地掌握这些内容。不等
2、关系与不等式一、不等式的基本性质： 不等式两边都加上一个数，所得不等式与原不等式同向：； 不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变：，； 同向不等式相加，不等号方向不变：； 两边都是正数的同向不等式相乘，不等号方向不变：；二、比较大小有三种方法：作差法、作商法、平方法。一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法：、当时，求一元二次不等式所对应的一元二次方程的根；写解集，大于取两边，小于取中间. 、当时，先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式；求一元二次不等式所对应的一元二次方程的根；写解集，大于取两边，小于取中间.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一
3、、解决线性规划问题的步骤：1、画图，作出可行域；2、变形，将目标函数变形；3、定解：将初始直线在可行域内平移，从而确定最优解；4、结论：将最优解代入目标函数，从而确定最值。二、线性规划中常见代数式的几何意义：（1）表示点与原点之间的距离；（2）表示点与点之间的距离；（3）表示点与原点连线的斜率；（4）表示点与点连线的斜率。注意：利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题。基本不等式基本不等式的常见结论：（1）（），当且仅当时，等号成立；（2）（），当且仅当时，等号成立；（3）（同号，时取等号。）（4）（），当且仅当时，等号成立。注意：利用基本不等式求最值时，应注意“一正，
4、二定，三相等”，三者缺一不可。基本不等式、线性规划、一元二次不等式-2022届高三数学二轮专题复习不等关系与不等式1若，则一定有（ ）A、 B、 C、 D、2如果满足且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）A B C D3给出下列命题：若，则；若，则；若，是非零实数，且，则；若，则，其中正确的命题是 .4有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，且在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A B C D5设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 6设，给出下列
5、三个结论：；. 其中所有的正确结论的序号是（ ）A. B. C. D.7若，为实数，则“”是“或”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件一元二次不等式及其解法1不等式的解集为 2不等式的解集为 （用区间表示）3若不等式的解集为或，则的值为 ( ）A B C D4函数在上满足，则的取值范围是（ ）A B CD5. 设常数，集合，若，则的取值范围为（ ）(A) (B) (C) (D) 6. 已知是定义域为的偶函数，当时，.那么不等式的解集是 .7若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是_二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题题型一、求线性目标函数
6、的最值1设满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）A B C D2设变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）A B C D3已知满足约束条件，若目标函数的最大值是，则的最大值是（ ） A4 B C1 D4. 记不等式组所表示的平面区域为，若直线与有公共点，则的取值范围是 .5已知，满足约束条件,若的最小值为，则（ ） (A) (B) (C) (D)6已知，若点在线段上，则的最大值为（ ）A B C D题型二、非线性规划问题1. 已知变量满足，则的最大值为 . 2. 若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）A B1 C D3. 如果点在平面区域上,则的最大值和最小值分别是（ ）A, B, C, D,
7、题型三、线性规划问题与其他知识交汇1变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）A B C D2若平面区域，夹在两条斜率为的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）A B C D3设集合，若动点，则的取值范围是（ ）A B C D4设为坐标原点，点的坐标为，若点满足不等式组，则使取得最大值的点有（ ） A1个 B2个 C3个 D无数个5设变量满足，若的最大值为，则实数的值为（ ）A B C D 题型四、线性规划的实际应用1. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则
8、该企业每天可获得最大利润为（ ）A12万元 B16万元 C17万元 D18万元甲乙原料限额（吨）（吨）基本不等式题型一、利用基本不等式求最值 1. 设，若，则下列关系式中正确的是（ ）A B C D2若实数满足，则+的最小值为_.3. 定义运算“”： （）.当时，的最小值是 . 4. 已知，且，则使得取得最小值的分别是（ ） A. B. C. D. 5设均为正数，且，则的最小值为 6若，则的最小值是（ ）A B C D7已知，则当的值为 时，取得最大值.8若实数满足，则的最小值为（ ）A、 B、 C、 D、9. 若，则的最小值为 10. 已知，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 题型二、
9、使用基本不等式要注意条件1. 下列不等式中一定成立的是（ ）A. B.，C. D. 2若，则下列不等式一定不成立的是（ ）AB CD3下列不等式的证明过程正确的是 （ ） A若，则 B若，则C若，则 D若，则题型三、不能直接用基本不等式求最值时，要配凑出条件，再用基本不等式。1. 已知，则函数的最大值为 2已知，则函数的最小值是（ ）A B C D3若实数满足，则的最大值为（ ）A B C D4. 设，则的最小值为 5已知，则的最小值为 6若实数满足，则的最大值为（ ）A B C D7若，则代数式的最小值为（ ）A2 B3 C4 D58设，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 题型四、基本
10、不等式的实际应用：1在中，角所对的边分别为，已知，（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围。2设是等比数列的前项和，满足，成等差数列，已知（1）求数列的通项公式；（2）设数列，满足，记，若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围基本不等式、线性规划、一元二次不等式-2022届高三数学二轮专题复习 答案不等关系与不等式1、B 分析：，又，所以，所以，两边同除以，易知，可得。或者用特殊值法。令，也可得到结论。2、C 分析：由题意可知 c0，ABD一定成立，C选项如果b=0的话就不成立. 3、 分析：对于，；对于，特殊值法. 4、B 分析：对于A，B，所以，所以B小；对于C，D，所以，所以C小；对于B
11、，C，所以，所以B最小。5、D 分析：，6、 D 分析：中，；中，是减函数；中，. （说明：相同的真数，底数越大，对数值越小. ）7、A 分析：对于，若，则成立；若，则成立. 所以“”是“或”的充分条件；反之，若，则“或”成立，但条件“”不成立，因此“”不是“或”的必要条件. 即“”是“或”的充分而不必要条件. 一元二次不等式及其解法1、 分析：由题意得：，解集为。2、 3、C 分析:可得， 4、D 分析：当时显然成立，当时显然不成立，当时也成立. 5、B 分析：若，则不等式的解集为或，通过画数轴，可得：，解得. ；若，则不等式的解集为或，通过画数轴，可得：，恒成立. . 综上，的取值范围为.
12、 6、 分析：画出图形，令，解得(舍)，所以可知当时，所以的解集是，即. 7、 分析：当时，显然是空集；当时，显然不是空集；当时，. 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题题型一、求线性目标函数的最值：1、B2、D 【解析】，如下左图所示，作不等式组所表示的区域，作直线：，平移，可知当，时，故选D 3、C 分析：作出可行域如上右图，并可求出交点的坐标：，. 对于，即，因为，观察图形，可知目标函数在处取得最大值，所以，所以，当且仅当时等号成立. 4、 分析：作出可行域如下左图中阴影部分所示，并可求出交点的坐标：，因为直线过定点，由图并结合题意可知，所以要使直线与平面区域D有公共点，则. 5、B
13、 分析：因为，且，所以直线过定点且斜率大于0，作出可行域如上右图所示，观察图形，当直线：平移到A点时，目标函数取最小值，由，解得，所以，所以，解得：，故选B. 6、C 分析：，所以线段：，即，故，设，易知在上单调递增，故当时， 。题型二、非线性规划问题1、 解析:作出现行约束条件的可行域，如右图所示，设，则，显然当点在点处时，取得最大值，并且，2、【答案】A 图形如下左图， 3、B 解析：如上中图，先作出点所在的平面区域。表示动点到定点距离的平方。当点在时,，而点到直线的距离的平方为；当点在时，离最远,。因此的最大值为，最小值为.题型三、线性规划问题与其他知识交汇1、A 分析：作出可行域如上右
14、图，并可求出交点的坐标：，所以，所以，则，所以目标函数过点时，取得最大值，最大值为；过点时，取得最小值，最小值为，故取值范围是，故选A. 2、B 分析：不等式组表示的平面区域如下左图中阴影部分所示，其中，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点与，又两平行直线的斜率为，直线的斜率为，所以线段的长度就是过两点的平行直线间的距离，易得，即两条平行直线间的距离的最小值是，故选B 。 3、A 分析：作出可行域如上中图，目标函数表示可行域中的点到的距离的平方. 由图可知，在点A或点C处取得最小值，；在点B或点D处取得最大值，. 所以取值范围是. 4、D 分析：作出可行域如上右图，设，则，由于直线
15、与可行域边界平行，所以当直线经过直线上所有点时，最大，最大值为12，所以使得取得最大值的点有无数个. 故选D. 5、D 分析：画出所表示的图形，是中心为的正方形区域，作出目标函数所表示的直线，且平移，当目标函数平移到点时，目标函数取得最大值。所以，解得 。题型四、线性规划的实际应用1、D 【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润，由题意可列，其表示如右图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D基本不等式题型一、利用基本不等式求最值 1、C 分析：；因为，由是个递增函数，所以，故答案选2、3、 分析：由新定义运算知， ，因为，所以，当且仅当时，的最小值是.4、B5、
16、分析：，当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 所以，. 6、D 分析：，所以，所以，所以，因为。7、 分析： ，当且仅当，即时等号成立，又，所以。8、C 分析：由于，所以，所以，因为，所以，即，所以。当且仅当时等号成立。所以的最小值为。9、 分析：，当且仅当且时等号成立。10、C 分析：，当且仅当，即时等号成立，故选C。题型二、使用基本不等式要注意条件1、C 分析：对于A，；对于B，只有在时才成立；对于D，. 2、C 分析：对于C，显然不成立. 3、D 题型三、不能直接用基本不等式求最值时，要配凑出条件，再用基本不等式。1、 分析：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立。所以的最大值为。2、
17、B 分析：3、D 分析：通分，因为，所以，所以。 4、 分析：因为，所以，所以，当且仅当，即（舍），时等号成立。故当时，有最小值。5、 分析：令，因为，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以在单调递减，所以的最小值为.6、D 分析：通分，因为，所以，所以。7、C 分析：因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 8、C 分析：，即，解得：，或(舍去)，所以的最小值是. 题型四、基本不等式的实际应用：1、解（1）因为，所以，所以，即，因为，所以，即，因为，所以。（2）法一、由余弦定理，有：，因为，所以，易得：，因为，由二次函数最值的求法，所以，所以，即的取值范围为：。法二、由余弦定理，有：，因为，当且仅当时，等号成立。所以，所以，所以，所以，所以。即的取值范围为：。2、解：（1）设数列的公比为，由，可得，即，解得，因为，则，得，故。（2）由（1）知，则，所以依题意有对于任意的正整数恒成立，即恒成立设，由于在区间上为减函数，在区间上为增函数，而，则，故有，即有所以实数的取值范围为
