1、课时跟踪检测(五十四)定点、定值、探索性问题(选用)(分、卷,共2页)第卷:夯基保分卷 1已知椭圆C过点M ,点F(,0)是椭圆的左焦点,点P,Q是椭圆C上的两个动点,且|PF|,|MF|,|QF|成等差数列(1)求椭圆C的标准方程;(2)求证:线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.2. (2013济南模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为,且过点(2,)(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kACkBD.求证:四边形ABCD的面积为定值3. (2013北京东城区期末)在平面直角坐标系xOy中,动点P到两点(,0),(,0)的距离之和等于4,设点
2、P的轨迹为曲线C,直线l过点E(1,0)且与曲线C交于A,B两点(1)求曲线C的轨迹方程;(2)AOB的面积是否存在最大值,若存在,求出AOB的面积的最大值;若不存在,说明理由 第卷:提能增分卷1.已知椭圆C:1,点F1,F2分别为其左、右焦点,点A为左顶点,直线l的方程为x4,过点F2的直线l与椭圆交于异于点A的P,Q两点(1)求的取值范围;(2)若APlM,AQlN,求证:M,N两点的纵坐标之积为定值,并求出该定值 2. (2013合肥模拟)已知椭圆E:1(ab0)与双曲线1(0m23)有公共的焦点,过椭圆E的右顶点R任意作直线l,设直线l交抛物线y22x于M,N两点,且OMON.(1)求
3、双曲线的焦点坐标和椭圆E的方程;(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点,若直线AD与椭圆E的另一个交点为B,试判断直线PA,PB是否相互垂直?并证明你的结论答 案第卷:夯基保分卷1解:(1)设椭圆C的方程为1(ab0),由已知,得解得椭圆的标准方程为1.(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),由椭圆的标准方程为1,可知|PF| 2x1,同理|QF|2x2,|MF| 2,2|MF|PF|QF|,24 (x1x2),x1x22.()当x1x2时,由得xx2(yy)0,.设线段PQ的中点为N(1,n)
4、,由kPQ,得线段PQ的中垂线方程为yn2n(x1),(2x1)ny0,该直线恒过一定点A.()当x1x2时,P,Q或P,Q,线段PQ的中垂线是x轴,也过点A.综上,线段PQ的中垂线过定点A.2解:(1)由题意e,1,又a2b2c2,解得a28,b24,故椭圆的标准方程为1.(2)证明:设直线AB的方程为ykxm,A(x1,y1),B(x2, y2),联立得(12k2)x24kmx2m280,(4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0, 由根与系数的关系得kACkBD,y1y2x1x2.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2, ,(m24
5、)m28k2,4k22m2.设原点到直线AB的距离为d,则SAOB|AB|d |x2x1| 2,S四边形ABCD4SAOB8,即四边形ABCD的面积为定值3解:(1)由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(,0),(,0)为焦点,长半轴长为2的椭圆故曲线C的轨迹方程为y21.(2)AOB的面积存在最大值因为直线l过点E(1,0),所以可设直线l的方程为xmy1或y0(舍)由整理得(m24)y22my30,(2m)212(m24)0.设点A (x1,y1),B(x2,y2),其中y1y2.解得y1,y2.则|y2y1|.因为SAOB|OE|y1y2|.设t,t ,g(t)t,则g(t)1,故当t时g(
6、t)0恒成立,则g(t)在区间,)上为增函数,所以g(t)g().所以SAOB,当且仅当m0时取等号所以SAOB的最大值为.第卷:提能增分卷1解:(1)当直线PQ的斜率不存在时,由F2(1,0)可知PQ的方程为x1,代入椭圆C:1,得点P,Q,又点A(2,0),故, .当直线PQ的斜率存在时,设PQ的方程为yk(x1)(k0),代入椭圆C:1,得(34k2)x28k2x4k2120.设P(x1,y1),Q(x2,y2),得x1x2,x1x2,y1y2k2(x11)(x21)k2(x1x2x1x21),故(x12)(x22)y1y2x1x22(x1x2)4y1y2,综上,的取值范围是.(2)证明
7、:由(1)知,直线AP的方程为y(x2),与直线l的方程x4联立,得M,同理,得N,故M,N两点的纵坐标之积yMyN. 当直线PQ的斜率不存在时,yMyN9;当直线PQ的斜率存在时,由(1)可知,yMyN9.综上所述,M,N两点的纵坐标之积为定值,该定值为9.2解:(1)由题意可知c双,故双曲线的焦点坐标为F1(,0)、F2(,0)设点M(x1,y1)、N(x2,y2),设直线l:tyxa,代入y22x并整理得y22ty2a0,所以故x1x2y1y2(ty1a)(ty2a)y1y2(t21)y1y2at(y1y2)a2(t21)(2a)2at2a2a22a0,解得a2.又c椭c双,所以椭圆E的方程为y21.(2)法一:判断结果:PAPB恒成立证明如下:设P(x0,y0),则A(x0,y0),D(x0,y0),x4y4, 将直线AD的方程y(xx0)y0代入椭圆方程并整理得(4xy)x26x0yx9xy16x0,由题意可知此方程必有一根为x0.于是解得xBx0,所以yBy0,所以kPB,故kPAkPB1,即PAPB.法二:判断结果:PAPB恒成立证明如下:设B(x1,y1),P(x0,y0),则A(x0,y0),D,y1,y1,两式相减得,故kBAkBP .又kABkAD,代入上式可得kPB,所以kPAkPB1,即PAPB.