1、第七章 平面解析几何考点测试49 直线的方程第一部分 考点通关练高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题，分值 5 分，中、低等难度考纲研读1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直3掌握确定直线位置的几何要素4掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系第1步狂刷小题 基础练解析 tansin7cos7tan7tan67，0，)，67.答案解析一、基础小题1直线 xsin7ycos70 的倾斜角 是()A7B7C57D67解析 直线 l1 与直线 l2 垂直，2aa(a1)0，整理得 a23
2、a0，解得 a0 或 a3.故选 D.答案解析2若直线 l1：ax(a1)y10 与直线 l2：2xay10 垂直，则实数 a()A3 B0 C3 D0 或3解析 由于倾斜角为 120，故斜率 k 3.又直线过点(1,0)，所以直线方程为 y 3(x1)，即 3xy 30.答案解析3倾斜角为 120，在 x 轴上的截距为1 的直线方程是()A.3xy10 B 3xy 30C.3xy 30 D 3xy 30解析 过点 P(1a,1a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，直线的斜率小于 0，即2aa131a 0，即a12a0，解得2a1，故选 A.答案解析4若过点 P(1a,1a)和 Q(3,
3、2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围是()A(2,1)B(1,2)C(，0)D(，2)(1，)解析 当 a0，b0 时，两直线在 x 轴上的截距符号相同故选 B.答案解析5在同一平面直角坐标系中，直线 l1：axyb0 和直线 l2：bxya0 有可能是()解析 由于直线 axbyc0 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将直线方程变形为 yabxcb.易知ab0，故 ab0，bc0，bc0，bc0Cab0 Dab0，bc0，b0)过点(1,1)，则该直线在 x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为()A1 B2 C4 D8答案 3x4y150解析 设所求直线的斜率为 k，依题意
4、 k14334.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为 y334(x1)，即 3x4y150.答案解析10过点 A(1，3)，斜率是直线 y3x 的斜率的14倍的直线方程为_答案 2 或 1解析 由题意可知 a0.当 x0 时，ya2.当 y0 时，xa2a.所以a2a a2，解得 a2 或 a1.答案解析11已知直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是_答案 1212已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2时，直线 l1，l2 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a_.解析 直线 l1 可写成 a(x2)2(y
5、2)，直线 l2 可写成 2(x2)a2(2y)，所以直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 的纵截距为 2a，直线 l2 的横截距为 a22，所以四边形的面积 S122(2a)122(a22)a2a4a122154.当 a12时，面积最小答案解析答案 5解析 易知 A(0,0)，B(1,3)，且 PAPB，|PA|2|PB|2|AB|210，|PA|PB|PA|2|PB|225(当且仅当|PA|PB|5时取“”)答案解析二、高考小题13(2014四川高考)设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值
6、是_答案(2,4)14(2013四川高考)在平面直角坐标系内，到点 A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_解析 由已知得 kAC62312，kBD51171，所以直线 AC 的方程为 y22(x1)，即 2xy0，直线 BD 的方程为 y5(x1)，即 xy60，联立解得x2，y4.答案解析所以直线 AC 与直线 BD 的交点为 P(2,4)，此点即为所求点因为|PA|PB|PC|PD|AC|BD|，取异于 P 点的任一点 P.则|PA|PB|PC|PD|(|PA|PC|)(|PB|PD|)|AC|BD|PA|PB|PC|PD|.故 P 点就是到点
7、A，B，C，D 的距离之和最小的点故应填(2,4)解析解析 由题意得12tan1，所以 tan2，cos21tan21tan2141435，故选 B.答案解析三、模拟小题15(2019大连模拟)已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x2y30 垂直，则 cos2 的值为()A35B35C15D15解析 直线方程xmyna 可化为 ynmxna，直线xnyma 可化为 ymnxma，由此可知两条直线的斜率同号答案解析16(2019重庆模拟)两直线xmyna 与xnyma(其中 a 为不为零的常数)的图象可能是()解析 直线 l：2xy40 与 x 轴的交点为 M(2,0)设直线 l 的倾斜角为，则
8、tan2，则 tan(45)tantan451tantan4521123，故得到的直线的方程是 y03(x2)，可化为 3xy60，故选 D.答案解析17(2019温州模拟)已知点 M 是直线 l：2xy40 与 x 轴的交点，将直线 l 绕点 M 按逆时针方向旋转 45，得到的直线的方程是()Axy30 Bx3y20C3xy60 D3xy60解析 设直线 l 的斜率为 k，则直线方程为 y2k(x1)，直线 l 在 x轴上的截距为 12k.令312k3，解不等式得 k1 或 k12.答案解析18(2019广东惠州质检)直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3)，
9、则其斜率 k 的取值范围是()A1k15B1k12Ck15或 k1 Dk1 或 k12解析 由题意可得，入射光线所在直线的方程为 y312(x2)，即 y12x2，所以与 y 轴的交点(0,2)也在反射光线上，又反射光线所在直线的斜率为12，故反射光线所在直线的方程为 y12x2，即 x2y40.答案解析19(2019黄冈模拟)从点(2,3)射出的光线沿斜率为12的直线方向射到 y轴上，则反射光线所在直线的方程为()Ax2y40 B2xy10Cx6y160 D6xy80答案 2,2解析 b 为直线 y2xb 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y2xb 过点 A(1,0)和点 B(1,0)时，b
10、 分别取得最小值和最大值所以 b 的取值范围是2,2答案解析20(2020广西南宁高三摸底考试)设点 A(1,0)，B(1,0)，直线 2xyb0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是_答案 12解析 设直线 l 的倾斜角为.所以 tan243.2tan1tan243，所以 tan2 或 tan12，由 20，180)知，0，90)所以 tan2.又设 l 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b.所以 tanba.即ab 1tan12.答案解析21(2019银川二模)直线 l 的倾斜角是直线 4x3y10 的倾斜角的一半，若 l 不过坐标原点，则 l 在 x 轴上与 y 轴上的
11、截距之比为_第2步精做大题 能力练一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2019湖南六校模拟)已知ABC 的三个顶点分别为 A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边的垂直平分线 DE 的方程解(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(2,3)两点，所以直线 BC 的方程为y131x222，即 x2y40.(2)由(1)知，直线 BC 的斜率 k112，则直线 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k22.因为 BC 边的垂直平分线 DE 经过 BC 的中点(0,2)，所以所求直线方程为 y22(x0)，即 2xy20.解
12、解(1)当直线 l 的斜率不存在时，即直线 l 的方程为 x2，符合要求；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y1k(x2)，整理得kxy2k10，Q(1，2)到直线 l 的距离 d|k22k1|k212|k3|k211，解得 k43，所以直线 l 的方程为 4x3y50.综上，直线 l 的方程为 x2 或 4x3y50.解2(2019北京西城期中)已知直线 l 经过点 P(2,1)(1)若点 Q(1，2)到直线 l 的距离为 1，求直线 l 的方程；(2)若直线 l 在两坐标轴上截距相等，求直线 l 的方程(2)由题知，直线 l 的斜率 k 一定存在且 k0，故可设直线 l 的方
13、程为kxy2k10，当 x0 时，y2k1，当 y0 时，x2k1k，所以 2k12k1k，解得 k1 或12，即直线 l 的方程为 x2y0 或 xy10.解解 由题意可得 kOAtan451，kOB tan(18030)33，所以直线 lOA：yx，lOB：y 33 x.设 A(m，m)，B(3n，n)，所以 AB 的中点为 Cm 3n2，mn2，解3(2019河南鹤壁模拟)如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角，过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A，B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y12x 上时，求直线 AB 的方程由点 C 在
14、直线 y12x 上，且 A，P，B 三点共线，得 mn212m 3n2，m0m1n0 3n1，解得 m 3，所以 A(3，3)又 P(1,0)，所以 kABkAP3313 32，所以 lAB：y3 32(x1)，即直线 AB 的方程为(3 3)x2y3 30.解解(1)证明：直线 l 的方程可化为k(x2)(1y)0，令x20，1y0，解得x2，y1.所以无论 k 取何值，直线 l 总经过定点(2,1)解4(2019四川绵阳模拟)已知直线 l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y
15、轴正半轴于点 B，AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程(2)由方程知，当 k0 时直线在 x 轴上的截距为12kk，在 y 轴上的截距为 12k，要使直线不经过第四象限，则必须有12kk2，12k1，解得 k0；当 k0 时，直线为 y1，符合题意，综上，故 k 的取值范围是0，)解(3)由题意可知 k0，再由 l 的方程，得 A12kk，0，B(0,12k)依题意得12kk0，12k0，解得 k0.由 S12|OA|OB|12|12kk|12k|1212k2k124k1k4 12(224)4，“”成立的条件是k0 且 4k1k，即 k12.所以 Smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40.解本课结束
