1、广东省中山市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合（1，2）（3，4）的子集个数为（ ）A. 3B. 4C. 15D. 16【答案】B【解析】【分析】直接枚举求解即可.【详解】易得的子集有,.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的子集个数,属于基础题.2.如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用异面直线的定义和正方体的性质 ,逐一分析各个图形中
2、的2条直线的是否相交与平行，即可把满足条件的图形找出来.【详解】中的与是两条平行且相等的线段，故选项不满足条件；中的与是两条平行且相等的线段，故选项也不满足条件；中，由于平行且等于，故四边形为梯形；故与是两条相交直线，它们和棱交于同一个点，故选项不满足条件；中的与是两条既不平行，又不相交的直线，故选项满足条件，故答案为.【点睛】本题主要考查空间两条直线的位置关系以及异面直线的定义，意在考查空间想象能力以及对基础知识掌握的熟程度，属于中档题.3.设函数的定义域为，则实数的值为（ ）A. 0B. 10C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】先带参数求函数的定义域，与已知条件比较可得的关系求得值【详
3、解】由得.函数的定义域为，故选：C.【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，掌握对数函数的性质是解题关键4.已知经过两点（5，m）和（m，8）的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）A. 5B. 8C. D. 7【答案】C【解析】【分析】根据斜率的公式直接求解即可.【详解】由题可知,解得.故选：C【点睛】本题主要考查了两点间斜率的计算公式,属于基础题.5.如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（ ）A. 8cmB. 6cmC. D. 【答案】A【解析】【分析】将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算【详解】解：将直观图还原为平面图形，如
4、图所示.，所以，所以原图形的周长为8cm，故选：A.【点睛】本题考查斜二测画法，掌握斜二测画法的定义是解题关键根据斜二测画法的定义才能根据直观图中直线的位置关系确定原图形中直线的位置关系，从而解决原图形中的问题6.表示不超过实数的最大整数，是方程的根，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出函数的零点的范围，进而判断的范围，即可求出.【详解】由题意可知是的零点，易知函数是（0，）上的单调递增函数，而，即所以，结合的性质，可知.故选B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题7.对于给定的正数，定义函数，若对于函数的定义域内的任意实数，恒有，则（ ）A. 的最大值为B
5、. 的最小值为C. 的最大值为1D. 的最小值为1【答案】B【解析】【分析】先根据得到与最值的关系，然后利用换元法求解函数的值域，即可确定的取值范围，则的最值可确定.【详解】因为，所以由定义知，因为，所以，则函数的定义域为，令 ，则 ， ，所以 ，因此 .故选B.【点睛】指数型函数值域的求解方法：利用换元法令，求解出的值域即为的取值范围，根据指数函数的单调性即可求解出的值域.8.已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.【详解
6、】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得：.即的取值范围是.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复合函数的应用，二次函数的性质，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.下列说法中，正确的有（ ）A. 直线yax3a+2 （aR）必过定点（3，2）B. 直线y3x2 在y轴上的截距为2C. 直线xy+10 的倾斜角为30D. 点（5，3）到直线x+20的距离为
7、7【答案】ACD【解析】【分析】对A,化简方程令的系数为0求解即可.对B,根据截距的定义辨析即可.对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可.对D,利用横坐标的差求解即可.【详解】对A,化简得直线,故定点为.故A正确.对B, 在轴上的截距为.故B错误.对C,直线的斜率为,故倾斜角满足,即.故C正确.对D, 因为直线垂直于轴,故到的距离为.故D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了直线的基础知识点,属于基础题.10.用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若ab，bc，则acB. 若ab，bc，则acC. 若a，b，则abD. 若a，b，则ab【答案
8、】AD【解析】【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质辨析即可.【详解】对A,根据平行的传递性可知A正确.对B,因为垂直不具有传递性可知B错误.对C,当且,时也满足但不满足,故C错误.对D,根据线面垂直的性质可知,D正确.故选：AD【点睛】本题主要考查了线面垂直与平行的性质与判定,属于基础题.11.某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：其中研究成果正确的是（ ）A. 同学甲发现：函数的定义域为（1，1），且f（x）是偶函数B. 同学乙发现：对于任意的x（1，1），都有C. 同学丙发现：对于任意的a，b（
9、1，1），都有D. 同学丁发现：对于函数定义域内任意两个不同的实数x1，x2，总满足【答案】BC【解析】【分析】对A,先分析的定义域,再计算判定即可.对B,分别计算再判断即可.对C,分别计算再判断即可.对D,举出反例判定即可.【详解】对A, 定义域为,解得.又,故为奇函数.故A错误.对B, ,.故B正确.对C, ,故成立.故C正确.对D, ,所以,故D错误.故选：BC【点睛】本题主要考查了函数的性质判定,需要根据题意与函数的解析式逐个代入计算或者举出反例判定.属于中档题.12.若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，ACBD，ADBC，则下列结论正确的是（ ）A. 四面体ABCD每组对
10、棱相互垂直B. 四面体ABCD每个面的面积相等C. 从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90且小于180D. 连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分【答案】BD【解析】【分析】对AD,将该四面体放入长方体中进行分析即可.对B,利用全等判定即可.对C,举出反例即可.【详解】对A,易得四面体可放入一个长方体中,如图.若四面体每组对棱相互垂直,不妨设,根据长方体的性质有,则长方体侧面矩形为正方形,这不一定成立,故A错误.对B,因为该四面体每组对边均相等.故侧面的三角形三边分别相等,即侧面三角形为全等三角形.故每个面的面积相等.故B正确.对C,若四面体为正四面体,则从四面体每
11、个顶点出发的三条棱两两夹角均为,则和为,故C错误.对D, 根据长方体的对称性可知, 四面体每组对棱中点的线段为长方体中连接每组对面中心的线段,故这三条线段相互垂直平分且交于长方体的中心.故D正确.综上,BD正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了对边相等的四面体的性质,一般放到长方体中去分析,属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13._【答案】10【解析】【分析】根据指对数的运算法则求解即可.【详解】.故答案为：10.【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题.14.如图所示，半径为的半圆内的阴影部分以直径所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，则此几何体的体积为_
12、【答案】 【解析】【分析】先由题意可知，阴影部分以直径所在直线为轴旋转一周后，所得几何体为一个球掏去了两个共底的圆锥，因此其体积等于球的体积减去中间两个圆锥的体积即可.【详解】由题意可得：阴影部分以直径所在直线为轴旋转一周后，所得几何体为一个球掏去了两个共底的圆锥，因为球的半径为，所以，所以，故几何体的体积为 .故答案为【点睛】本题主要考查几何体的体积公式，熟记公式即可求解，属于基础题型.15.已知f（x）ln（3x），则f（lg）+f（lg2）等于_【答案】0【解析】【分析】分析的奇偶性,再计算即可.【详解】因为,故.故.故答案为：0【点睛】本题主要考查了利用函数性质求值的问题,属于基础题.
13、16.函数y的最小值为_【答案】5【解析】【分析】观察可知所求函数式为距离之和的表达式,再数形结合分析求解即可.【详解】由题意,可知y .则上式可看作x轴上一点P（x,0）到两定点M（4,2）、N（0,1）的距离之和.由题意,求函数y的最小值,即为点P到两定点M、N的距离之和的最小值,如下图所示,根据图,作点N（0,1）关于x轴的对称点N（0,1）.很明显,当点M、P、N三点共线时,函数y取得最小值,此时最小值即为|MN|5.故答案为：5【点睛】本题主要考查了数形结合解决距离之和的问题,需要根据题意判定所给的表达式的几何意义,属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明
14、、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中，已知点和（）若，是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程；（）若，是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标【答案】（）和；（）另外一条对角线为，端点为和【解析】试题分析：（1）根据斜率公式可得，与直线垂直的直线斜率，整理成一般式即可；（2）设另外两个端点坐标分别为，根据在直线上，且，列方程组求解即可.试题解析：（），与直线垂直的直线斜率，整理得所求两条直线为和（）直线方程为：，另外一条对角线斜率，设中点为，则另一条对角线过点，整理得，设另外两个端点坐标分别为，在直线上，且，
15、联立解出或，即另外两个端点为与【方法点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，两条直线垂直与斜率的关系属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） ；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.18.已知集合，（1）集合，若，求实数的取值范围；（2）对任意，都有函数，求实数的取值范围【答案】（1）a（，3；（2）k（，6）【解析】【分析】(1)先求解,再分与两种情况讨论即可.(2)分二次函数的判别式与0的比较关系讨论即可.【详解】根
16、据条件可得,（1）因为,则；,则且,即,综上a（,3；（2）根据题意对任意x2,函数f（x）x2kx+3+k0,0时,解得k2,则k（,2；0时,2,解得k2；0时,解得2k6；综上：k（,6）.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,同时也考查了二次不等式的解集求解参数范围的问题,属于中档题.19.某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取：方案二：不收取管理费，每度0.58元（1）求方案一的收费L（x）（元）与用电量x（度）间的函数关系若老王家九月份按方案一缴费3
17、5元，问老王家该月用电多少度？（2）老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？【答案】（1）L（x），60度电（2）25x50选择方案一比选择方案二好【解析】【分析】(1)易得该函数为分段函数,分与两种情况分段求解,再求的解即可.(2)令,再分析解即可.【详解】（1）L（x）,当0x30时,令0.5x+235,解得x66（舍去）.当x30时,令0.6x135,解得x60.老王家该月用电60度电.（2）令g（x）0.58xL（x）,由（1）可得：g（x）.显然g（x）0所求.当0x30时令g（x）0.08x20,解得x25,25x30.当x30时,令g（x）0.02x+10,解得x
18、50.则30x50.综上可得：25x50.选择方案一比选择方案二好.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用以及求解等,需要根据题意求出分段函数并求解.属于基础题.20.已知函数f（x）lg（1）判断并证明函数f（x）的单调性；（2）解关于x的不等式【答案】（1）f（x）在（0，4）上单调递减，见解析（2）（0，1）（2，3）【解析】【分析】(1)先求解定义域,再取区间内,再计算的正负即可.(2)先求得,再根据函数的单调性将不等式转换为求解即可.【详解】（1）f（x）的定义域为（0,4）,f（x）在（0,4）上单调递减,证明如下：设0x1x24,则：,0x1x24,x2x10,x1x20,4x14
19、x20,f（x1）f（x2）,f（x）在（0,4）上单调递减；（2）f（1）1+lg3,由得,f（x）在（0,4）上单调递减,解得0x1或2x3,原不等式的解集为（0,1）（2,3）.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的定义证明以及根据函数的单调性求解不等式的方法.属于中档题.21.如图，在直四棱柱中，已知，（1）求证：；（2）设是上一点，试确定的位置，使平面，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（）连接，证明平面即可（）取中点，证明四边形平行四边形即可【详解】连DC1,正方形DD1C1C中,D1CC1DAD平面DD1C1C ADCD1又ADCD1=DCD1平面DA C
20、1 E 为AC中点时，平面9梯形ABCD中，DE且= AB AD且=BEAD且= A1D1A1D1且=BE A1D1EB是平行四边形D1EB A1又B A1平面DB A1D1E平面DB A1平面22.对于定义域为0，1）的函数f（x），如果同时满足以下三条：对任意的x0，1，总有f（x）0；f （1）1；若x10，x20，x1+x21，都有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数（1）判断函数g（x）2x1（x0，1）是否为理想函数，并予以证明；（2）若函数f（x）为理想函数，假定存在x00，1，使得f（x0）0，1，且f（f（x0）x0，求证f（x0）x0【答案
21、】（1）g（x）为理想函数；见解析（2）见解析【解析】【分析】(1)根据理想函数满足的条件逐个判断即可.(2)利用条件中的性质,再利用反证法证明即可.【详解】（1）显然g（x）2x1在0,1满足条件g（x）0,也满足条件g（1）1,若x10,x20,x1+x21,则,满足条件,故g（x）为理想函数；（2）证明：由条件知,任给m,n0,1,当mn时,由mn知,nm0,1,f（n）f（nm+m）f（nm）+f（m）f（m）,若x0f（x0）,则f（x0）ff（x0）x0,矛盾；若x0f（x0）,则f（x0）ff（x0）x0,矛盾；故x0f（x0）.【点睛】本题主要考查了新定义函数的问题,需要根据新函数满足的关系式代入证明,同时也考查了反证法的运用,属于中档题.
