1、第八章 平面解析几何 第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线 的方程 第八章 平面解析几何 主干知识梳理一、直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1)定义：x轴与直线方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为(2)倾斜角的范围为正向向上00，)第八章 平面解析几何 2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角 的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k，倾斜角是90的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为ky2y1x2x1y1y2x1x2正切值tan第八章
2、 平面解析几何 二、直线方程的形式及适用条件名称几何条件方 程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为k不含的直线斜截式斜率为k，纵截距为b不含的直线yy0k(xx0)ykxb垂直于x轴垂直于x轴第八章 平面解析几何 两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1x2，y1y2)yy1y2y1xx1x2x1不包括垂直于坐标轴的直线截距式在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b(a，b0)xayb1不包括垂直于坐标轴和过原点的直线第八章 平面解析几何 一般式AxByC0(A，B不全为0)第八章 平面解析几何 基础自测自评1(教材习题改编)直线 x 3ym0(mk)的倾斜角为()A30 B60C
3、150D120C 由 ktan 33，0，)得 150.第八章 平面解析几何 2(2014临川一中二模)直线kxy24k，当k变化时，所有直线都通过定点()A(0，0)B(2，1)C(4，2)D(2，4)C 直线方程可化为k(x4)(y2)0，所以直线恒过定点(4，2)第八章 平面解析几何 3过点 M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为()A1 B4C1 或 3 D1 或 4A 由 14mm2，得 m24m，m1.第八章 平面解析几何 4若点 A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则 a 的值为_解析 kAC53641，kABa354a3.由于 A，B，C
4、三点共线，所以 a31，即 a4.答案 4第八章 平面解析几何 5(2014河北质检)若直线 l 过点(1，2)且与直线 2x3y40垂直，则直线 l 的方程为_解析 由已知得直线 l 的斜率为 k32.所以 l 的方程为 y232(x1)，即 3x2y10.答案 3x2y10第八章 平面解析几何 关键要点点拨1求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论第八章 平面解析几何 典题导入(1)(2014岳阳模拟)经过两点
5、A(4，2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为34，则 y()A1 B3C0 D2直线的倾斜角与斜率第八章 平面解析几何 听课记录 tan34 2y1（3）422y42y2，因此 y21.y3.答案 B第八章 平面解析几何(2)(2014贵州贵阳一模)设直线 l 的方程为 xycos 30(R)，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是()A0，)B.4，2C.4，34D.4，2 4，34第八章 平面解析几何 听课记录 当 cos 0 时，方程变为 x30，其倾斜角为2；当 cos 0 时，由直线 l 的方程可得斜率 k 1cos.cos 1，1且 cos 0，k(，1 1，)，即 tan(，11，
6、)，又 0，)，4，2 2，34.第八章 平面解析几何 综上知，直线 l 的倾斜角 的取值范围是4，34.故选 C.答案 C第八章 平面解析几何 规律方法1求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率ktan 的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围2求倾斜角时要注意斜率是否存在第八章 平面解析几何 跟踪训练1函数 yasin xbcos x 的一条对称轴为 x4，则直线l：axbyc0 的倾斜角为()A45B60C120D135第八章 平面解析几何 D 由函数 yf(x)asin xbcos x 的一条对称轴为 x4 知，f(0)f2，即ba，则
7、直线 l 的斜率为1，故倾斜角为 135.第八章 平面解析几何 2已知点 A(1，3)，B(2，1)若直线 l：yk(x2)1 与线段 AB 相交，则 k 的取值范围是()A.12，B(，2C(，212，D.2，12第八章 平面解析几何 D 由题意知直线 l 恒过定点 P(2，1)，如右图若 l 与线段 AB相交，则 kPAkkPB.kPA2，kPB12，2k12.第八章 平面解析几何 典题导入(1)过点(1，0)且与直线x2y20平行的直线方程是_听课记录 设所求直线方程为x2ym0，由直线经过点(1,0)，得1m0，m1.则所求直线方程为x2y10.答案 x2y10直线方程第八章 平面解析
8、几何(2)(2014湖南长沙一模)过点(1，3)作直线l，若经过点(a，0)和(0，b)，且aN*，bN*，则可作出的直线l的条数为()A1 B2C3 D4第八章 平面解析几何 听课记录 由题意得1a3b1(a1)(b3)3.又 aN*，bN*，有两个解a2，b6或a4，b4.答案 B第八章 平面解析几何 规律方法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程第八章 平面解析几何 跟踪训练3(2014江苏扬州一模)如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴
9、成45和 30角，过点 P(1，0)作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A，B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y12x 上时，求直线 AB的方程第八章 平面解析几何 解析 由题意可得 kOAtan 451，kOBtan(18030)33，所以直线 lOA：yx，lOB：y 33 x.设 A(m，m)，B(3n，n)，所以 AB 的中点 Cm 3n2，mn2，第八章 平面解析几何 由点 C 在直线 y12x 上，且 A，P，B 三点共线得 mn212m 3n2，m0m1n0 3n1，解得 m 3，所以 A(3，3)又 P(1，0)，所以 kABkAP3313 32，所以 lAB：y
10、3 32(x1)，即直线 AB 的方程为(3 3)x2y3 30.第八章 平面解析几何 典题导入过点 P(2，1)的直线 l 交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，求使AOB 面积最小时 l 的方程听课记录 解法一：设直线 l 的方程为xayb1(a2，b1)，由已知可得2a1b1.2 2a1b2a1b1，ab8.直线方程的综合应用第八章 平面解析几何 SAOB12ab4.当且仅当2a1b12，即 a4，b2 时，SAOB取最小值 4，此时直线 l 的方程为x4y21，即 x2y40.第八章 平面解析几何 解法二：设直线 l 的方程为 y1k(x2)(k0)，则 l 与 x 轴、y 轴正半
11、轴分别交于 A21k，0，B(0，12k)SAOB1221k(12k)124（4k）1k 12(44)4.当且仅当4k1k，即 k12时取得最小值，此时直线 l 的方程为 y112(x2)，即 x2y40.第八章 平面解析几何 互动探究在本例条件下求使|PA|PB|最小时 l 的方程解析 解法一：由2a1b1，得 aba2b0，变形得(a2)(b1)2，|PA|PB|（2a）2（10）2（20）2（1b）2 （2a）21（1b）24 2（a2）4（b1）.第八章 平面解析几何 当且仅当 a21，b12，即 a3，b3 时，|PA|PB|取得最小值 4.此时直线 l 的方程为 xy30.解法二：
12、|PA|PB|1k21 44k2 4k24k284.当且仅当4k24k2，即 k1 时取得取小值，此时直线 l 的方程为y1(x2)，即 xy30.第八章 平面解析几何 规律方法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值第八章 平面解析几何 跟踪训练4(2014开封模拟)过点 P(3，0)作一直线，使它夹在两直线 l1：2xy20 与 l2：xy30 之间的线段 AB 恰被点 P 平分，求此直线的方程解析 解法一：设点 A(x，y)在 l1 上，点 B(xB，yB)在 l2 上 由题意知xxB23，yyB
13、20，则点 B(6x，y)，第八章 平面解析几何 解方程组2xy20，（6x）（y）30，得x113，y163，则 k163 0113 38.故所求的直线方程为 y8(x3)，即 8xy240.第八章 平面解析几何 解法二：设所求的直线方程为 yk(x3)，点 A，B 的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，由yk（x3），2xy20，解得xA3k2k2，yA 4kk2.由yk（x3），xy30，解得xB3k3k1，yB6kk1.第八章 平面解析几何 P(3，0)是线段 AB 的中点，yAyB0，即 4kk26kk10，k28k0，解得 k0 或 k8.若 k0，则 xA1，xB3，此时x
14、AxB2132 3，k0 舍去，故所求的直线方程为 y8(x3)，即 8xy240.第八章 平面解析几何【创新探究】有关截距问题的易误点(2014西安模拟)设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围第八章 平面解析几何【解析】(1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零，此时截距相等 故 a2，方程即为 3xy0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为 0，得a2a1a2，即 a11，故 a0，方程即为 xy20.综上，l 的方程为 3xy0 或 xy20.第八章 平面解析几何(2)将 l
15、的方程化为 y(a1)xa2，则（a1）0，a20，或（a1）0，a20.a1.综上可知，a 的取值范围是(，1第八章 平面解析几何【高手之招】1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足2常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形注意分类讨论思想的运用第八章 平面解析几何 体验高考(2013江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程
16、；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围第八章 平面解析几何 解析(1)由题设，圆心 C 是直线 y2x4 和 yx1 的交点，解得 C(3，2)，于是切线的斜率必存在 设过 A(0，3)的圆 C 的切线方程为 ykx3，由题意，|3k1|k211，解得 k0 或34，故所求切线方程为 y3 或 3x4y120.(2)因为圆心在直线 y2x4 上，所以圆 C 的方程为(xa)2y2(a2)21.第八章 平面解析几何 设点 M(x，y)，因为 MA2MO，所以 x2（y3）22 x2y2，化简得 x2y22y30，即 x2(y1)24，所以点 M 在以 D(0，1)为圆心，2 为半径的圆上 由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|21|CD21，即 1 a2（2a3）23.第八章 平面解析几何 由 5a212a80，得 aR；由 5a212a0，得 0a125.所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为0，125.第八章 平面解析几何 课时作业
