1、天津市六校2020-2021学年高二数学上学期期末考试联考试题（含解析）第卷（选择题，共45分）一.选择题（本大题共9小题，每题5分，共45分）1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A. B. 4C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由抛物线方程可得抛物线的焦点和准线，即可得解.【详解】由题意，抛物线的焦点为，准线为，所以该抛物线的焦点到准线的距离为.故选：D.2. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两直线平行求出的值，再利用两平行线间的距离公式即可求解.【详解】因为直线与直线平行，所以，可得，所以，即，所以两平行间距离公式可得
2、，故选：A3. 下列说法正确的有几个（ ）直线必过定点直线在y轴上的截距为2直线的倾斜角为60A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】代入点可判断，由截距的概念可判断，由直线斜率与倾斜角的关系可判断，即可得解.【详解】对于，当时，所以该直线过定点，故正确；对于，令，则，所以该直线在y轴上的截距为2，故正确；对于，直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为，故错误.所以说法正确的有.故选：C.4. 设数列前n项和为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用得出，先求出，再利用递推式求出即可.【详解】解：当时，整理得，又，得，得，得，故选：C.【点睛】本题考查
3、数列递推式的应用，是基础题.5. 在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（ ）A. 0.25B. 0.1C. 0.125D. 0.5【答案】C【解析】【分析】根据正态曲线的对称性求解即可得到所求概率【详解】由题意得，区间关于对称，所以，即该生成绩高于115的概率为故选C【点睛】本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所给区间用已知区间表示，并根据曲线的对称性进行求解，考查数形结合的应用，属于基础题6. 如图，长方体中，分别是，的中点，则异面直线与所成角是（ ）A. 30B. 45C. 60D
4、. 90【答案】D【解析】【分析】连接，由长方体结构特征易得，从而是异面直线与所成角，然后在中求解.【详解】如图所示：连接，由长方体的结构特征得，所以是异面直线与所成角，因为， 所以，即，所以，故异面直线与所成角故选：D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 已知随机变量，满足：，且，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由求出，然后利用算出答案即可.【详解】因为所以，解得所以故选：C【点睛】本题考查的是二项分布的方差的计算方法和方差的性质，较简单.8. 设双曲线的两条渐近线与圆相交于A，B，C，D四点，若四边形ABCD的面积
5、为12，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到四边形为矩形，设点位于第一象限，得到；根据双曲线的渐近线方程与圆的方程联立，求出，再由四边形面积，得到，进而可求出离心率.【详解】根据双曲线与圆的对称性可得，四边形为矩形；不放设点位于第一象限，则；因为双曲线的渐近线方程为：，由得，即，所以，又，所以，因此，整理得：，解得：或，所以或；又，所以双曲线的离心率，因此.故选：A.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.9. 已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率
6、的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意求出的值与的取值范围，计算离心率的取值范围即可【详解】解：设椭圆的左焦点为，半焦距为，连结，则四边形为平行四边形，所以，根据椭圆定义，有，所以，解得因为点到直线：的距离不小于，即，所以，所以，解得，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为故选：A【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第卷（非选择题，共105分）（请将答案书写在答题卡上）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 二项式的展开式中的系数是 【答案】40【解析】【分析】求得
7、二项式展开式的通项公式，由此求得的系数.【详解】依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故的系数是.【点睛】本小题主要考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题.11. 已知圆C过点，且圆心在x轴负半轴上，则圆C标准方程为_【答案】【解析】【分析】由圆的性质列方程求得圆心和半径后即可得解.【详解】设圆C的圆心，半径为，则，解得，所以圆C的标准方程为.故答案为：.12. 某科技小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则_【答案】【解析】【分析】由超几何分布概率公式运算即可得解.【详解】由题意，从5名男生、3名女生中任选3名同学参加活动，选出女生人数为2的概率.
8、故答案为：.13. 一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是_【答案】【解析】【分析】将事件分为A为一位医生是男医生，B为另一位医生也是男医生，利用条件概率公式求即可.【详解】若A为一位医生是男医生，B为另一位医生也是男医生，而，故答案为：14. 已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为，若为等边三角形，则_【答案】【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出坐标，再由抛物线的定义，结合等边三角形的定义，得到的方程，可得的值【详解】抛物线，焦点为，准线为，是抛物线上一点，则，由
9、题意可得，由于为等边三角形，则有，即有：，可得故答案为【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，属于中档题15. 某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为_【答案】【解析】【分析】按照甲、乙两节目只有一个参加，甲、乙两节目都参加两种情况讨论，分别计算，再求和，即可得解.【详解】若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：，若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：；因此不同的演出顺序的种数为.故答案：.【点睛】关键点点睛：根据题意，对情况进行合理分
10、类、分步，最后求和；区分排列、组合的差异，合理选择；对于不相邻问题，常采用插空法.三、解答题（本大题共5小题，共75分.答题时，请写出必要的推理过程和演算步骤）16. 已知直线被圆截得的弦长为（1）求的值；（2）求过点（3，5）与圆相切的直线的方程【答案】（1）a =1；（2） 或.【解析】【分析】（1）求出圆心，半径，利用圆心到直线的距离，通过勾股定理列方程求解即可（2）判断点与圆的位置关系，当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离求解即可；当过斜率不存在，判断直线与圆是否相切，推出结果【详解】（1）依题意可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，由勾股定理可知，代入化简得，解得或，又
11、，所以；（2）由（1）知圆，又在圆外，当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离可解得，切线方程，当过斜率不存在，易知直线与圆相切，综合可知切线方程为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力17. 设为等差数列，为数列的前n项和，已知，.（）求数列的通项公式；（）求数列的前n项和.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）设等差数列的公差为，由等差数列的前n项和公式及通项公式列方程可得，即可得解；（）转化条件为，由等差数列的前n项和公式即可得解.【详解】（）设等差数列的公差为，则由题意得，解得，所以；（）由（1）得，则，所以，数列是首项为，公
12、差为的等差数列，所以.18. 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.【答案】(1) (2)详见解析【解析】试题分析:(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为,
13、即可求的相应的概率.(2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望.(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为.(2)由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有,即,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:;所以的分布列如下: 则数学期望.考点：分布列 数学期望 概率19. 如图，在四棱锥中，底
14、面为正方形，M，N分别为，的中点.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求平面与平面所成角的余弦值【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）；【解析】【分析】（1）由中位线性质有，根据线面平行的判定即可证结论；（2）构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，确定直线的方向向量与平面的法向量，即可求所成角的正弦值；（3）求面的法向量，结合（2）的结论，即可求面与面所成角的余弦值【详解】（1）M，N分别为，的中点，又面，面，平面；（2）由题意，可构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，设面的法向量为，则，若，有，直线与平面所成角的正弦值为，（3）由（2）知：，
15、则，设面的法向量为，则，若有，而面的法向量为，；【点睛】方法点睛：1、构建空间直角坐标系，2、由已知确定相关点的坐标，3、求相关直线的方向量、平面的法向量，4、由线面角、面面角与相关向量的关系求夹角.20. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为，右焦点为F，其中O为原点（）求椭圆的方程；（）设点C满足，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点）（）直线与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段的中点，求实数m的取值范围；（）若，点B在第四象限，且，求直线的斜率【答案】（）；（）（），（）；【解析】【分析】（）由顶点坐标及离心率即可求椭圆的方程；（）（）由（）得结合已知即可求坐标，设有，根据即，进而有，根据椭圆的有界性即可求m的取值范围；（）由已知有且，利用正弦两角差公式得，进而可得直线，求出B的坐标即可知直线的斜率【详解】（）由已知，得，而，故；（）（）由（）知：，而得，设，即，则，整理得，而，有，代入中得，由椭圆方程知：且，（），由（）知：，点B在第四象限，而，而，有，即直线的倾斜角为，直线为，联立椭圆方程得，得，由知：，【点睛】关键点点睛：（）应用顶点坐标和离心率，结合椭圆参数关系求椭圆方程.（）（）由向量的数量关系求点坐标，应用中点、圆的切线性质及向量垂直的坐标表示知，可得m与B点横坐标的关系，结合椭圆的有界性，求m的范围.（）两角差正弦求直线的倾斜角，进而求B坐标，写出直线的斜率
