1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-2 导数及其应用 第一章 1.3 导数的应用第3课时 导数的实际应用第一章 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1课前自主预习低碳生活(lowcarbon life)可以理解为减少二氧化碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的生活低碳生活节能环保，势在必行现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长如何使汽油的使用效率最高？1.求可导函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有使_0的点(2)计算函数f(x)在区间内
2、使_0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为_，最小的一个为_2判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的极大值一定是函数的最大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)1x在区间1,1上有最值()答案：1.(1)f(x)(2)f(x)最大值 最小值2(1)(2)(3)一、最优化问题在经济生活中，为使经营利润最大，生产效率最高或为使用料最省，消耗最少等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这都是最优化问题注意：(1)最优化问题有时也可以称为最值问题，解决与函数最值有关的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系式，并确定函数的定义域(2)解决最优化
3、问题的方法很多，如判别式法、基本不等式法、线性规划的方法及利用函数的性质法等不少最优化问题可以化为求函数的最值问题，而导数方法是解决这类问题的有效方法货车欲以xkm/h的速度行驶到130km远的某地按交通法则，车辆行驶速度的允许范围是50 x100.假设汽油的价格为2元/L，而汽车耗油的速率是(2 x2360)L/h，司机的工资是14元/h，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？导学号05300256解析 汽车运行的时间为 130 xh，耗油量为 130 x(2x2360)L，耗油费用为2 130 x(2 x2360)元，司机的工资为14 130 x元故这次行车的总费用为y213
4、0 x(2 x2360)14130 x 130(x18018x)，所以y130(118018x2)令y0，解得x18 10或x18 10(舍去)因为50 x100，所以x18 1057km/h.故最经济的车速为57km/h，最低费用为130(18 101801818 10)82.2元二、利用导数解决生活中优化问题的步骤(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式yf(x)，再根据实际问题确定函数yf(x)的定义域(2)求f(x)，解方程f(x)0，求出定义域内所有的实数根(3)通过单调性确定出函数的最值点及最
5、值注意：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；(2)在解决实际最优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截能使正方形与圆的面积之和最小？解析 设弯成圆的一段铁丝长为x(0 x100)，则另一段长为100 x，从而正方形的边长为 100 x4，圆的半径r x2，记正方形与圆的面积之和为S，所以S(x2)2(100 x4)2 x24 10000200 xx216(0 x100)，导学号053002
6、57则S x2x1008.令S x2x10080，解得x1004.当0 x1004时，S0；当1004x0.所以当x1004，即弯成圆的一段铁丝长为1004cm时，正方形与圆的面积之和最小三、解决最优化问题的类型与注意问题1利用导数解决最优化问题的基本思路：在日常生活、生产建设和科技活动中，做一件事总要付出一定的代价，也总想取得一定的效果，在付出代价一定的条件下，我们总想取得最好的效果；在预期效果确定的情形下，我们总想只付出最小的代价2生活中的最优化问题常见类型存在以下几类：(1)利润最大问题，首先要找到销售价格、销售数量，由此可得销售收入，然后看单件成本及总成本，最后求得产生利润函数(2)用
7、料最省问题，主要考虑几何体的侧面积，当然，要结合具体问题，看看上方有没有盖，下方有没有底，这些细节往往隐含在问题之中用料最省往往也会以工程造价最低(不同的面造价会不同，实际问题可能要分开计算)的形式与大家见面(3)容积最大问题此类问题实际上是体积问题，首先要明白条件的给出方式，可能会将重要条件(比如：多面体的长、宽、高；旋转体的底面半径、高等)隐藏在表面积之中，其次，要注意几何体的特征，当几何体不规范时，可能还要进行“割”与“补”的技术处理(4)效率最大问题首先要清楚效率是如何求出的：效率产量时间，然后要紧紧抓住产量与生产时间，通过这个比产生结论(5)增长率(最大或最小)问题首先要抓住增长率
8、现产量原产量1，然后逐步求出原产量与现产量，最后得出结论(6)运输费用最省问题其实此类问题就是路程、时间、速度三者的关系问题，建立在时间与速度的基础上产生路程，根据路程产生运输费用最少或是油耗最小某单位用木料制作如图所示框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形要求框架围成的总面积为8m2，问x，y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？导学号05300258解析 依题意，有xy12xx28，所以y8x24x8xx4(0 x4 2)于是框架用料长度为l2x2y2 2x2(32 2)x16x，l32 216x2.令l0，即32 216x20，解得x184 2，
9、x24 28(舍去)当0 x84 2时，l0；当84 2x0.所以当x84 2时，l取得最小值，此时，x84 22.343(m)，y2.828(m)即当x约为2.343m，y约为2.828m时，用料最省课堂典例探究已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8vv0)若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比当v12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？分析 设比例系数为k，由题意先求出k，再列出关于全程燃料费y的关系式，利用导数求最值费用最省问题导学号05300259解析 设
10、每小时的燃料费为y1，比例系数为k，则y1kv2.当v12时，y1720，720k122解得k5，y15v2.全程的燃料费yy1 200v81000v2v8(8vv0)y2000vv81000v2v821000v216000vv82.令y0得v16或v0(舍去)所以函数v16时取得极值，并且是极小值当v016时，v16使y最小即全程燃料费最省当v016时，可得y1000v2v8 在(8，v0上递减，即当vv0时，ymin1000v20v08.综合上述得：若v016，当v16km/h时，全程燃料费最省；若8v016，则当vv0时，全程燃料费最省注意 解决费用最省问题，也是导数的一个重要应用解决这
11、类问题，首先要选取合适的量为自变量，并确定其取值范围，然后将费用表示为自变量的函数，再利用导数求最值，使问题得到解决统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为y1128000 x3 380 x8(0 x120)，已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？导学号05300260解析(1)当x40 km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了10040 2.5 h，要耗油1128000403 380408 2.5
12、17.5(L)当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5L.(2)当速度为x km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x h，设耗油量为h(x)L，依题意得h(x)1128000 x3 380 x8 100 x 11280 x2800 x 154，h(x)x640800 x2 x3803640 x2(0 x120)令h(x)0，得x80.当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数当x80时，h(x)取得极小值此时h(x)1128000803 380808 54454 11.25(L)当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25
13、L.面积、体积最大问题已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长分析 如图所示，设出AD的长，进而求出|AB|表示出面积S，然后利用导数求最值导学号05300261解析 设矩形边长AD2x，则|AB|y4x2.矩形面积为S2x(4x2)(0 x2)，即S8x2x3.所以S86x2.令S0，解得x1 23，x2 23(舍去)当x0；当x 23时，S0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5 3)时，V(r)0，故V(r)在(5,5 3)上为减函数当r5时，V(r)V(5)200(m3)，此时h8，即函数在该点取
14、得最大值，故当r5，h8时，蓄水池的体积最大.实际应用问题水库的蓄水量随时间而变化现用t表示时间，以月为单位，年初为起点根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)t214t40e14t50，0t10，4t103t4150，10t12.(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期以i表示第i月份(i1,2，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e2.7计算)导学号05300263分析(1)即求V(t)50时t的范围，注意分段讨论(2)利用导数求函数的最值解析(1)当0t10时，V(t)(t214t40)e 14 t500.解得
15、t10.又0t10，故0t4.当10t12时，V(t)4(t10)(3t41)5050，化简得(t10)(3t41)0.解得10t413.又10t12，故10t12.综上得0t4或10t12.故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月(2)由(1)易知，V(t)的最大值只能在(4,10)内达到由(1)知V(t)et4(14t232t4)14et4(t2)(t8)令V(t)0，解得t8(t2舍去)当t变化时，V(t)与V(t)的变化情况如下表：t(4,8)8(8,10)V(t)0V(t)极大值 由上表，V(t)在t8时取得最大值V(8)8e250108.32(亿立方米)故知一年内该水库
16、的最大蓄水量是108.32亿立方米方法总结 本题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题的能力某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m m，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x m的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640 m时，需新建多少个桥墩才能使y最小？导学号05300264分析 考查函数的性质和导数的运算及利用导数研究函数性质的能力和解决实际应用问题的能力解析(
17、1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即nmx1，所以yf(x)256n(n1)(2 x)x256mx1 mx(2 x)x256mxm x2m256.(2)由(1)知，f(x)256mx2 12mx12 m2x2(x32512)令f(x)0，得x32512，所以x64.当0 x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数，当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值，此时nmx 164064 19，故需新建9个桥墩才能使y最小.现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小
18、时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？导学号05300265错解(1)依题意得y500 x(9600.6x2)480000 x300 x，即y480000 x300 x.(2)由(1)知，y480000 x2300，令y0，解得x40，或x40(舍去)当0 x40时，y40时，y0.因此，函数y480000 x300 x在x40处取得极小值，也是最小值故为了使全程运输成本最小，轮船应以40海里/时的速
19、度行驶辨析 解应用题时，关键就是要表达清楚函数模型及定义域，定义域一定要符合实际意义正解(1)依题意得y500 x(9600.6x2)480000 x300 x，且由题意知，函数的定义域为(0,35，则y480000 x300 x(0 x35)(2)由(1)知，y480000 x2300，令y0，解得x40，或x40(舍去)因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值点又当0 x35时，y0，所以y 480000 x300 x在(0,35，上单调递减，故当x35时，函数y 480000 x300 x取到最小值故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶.导数的实际应用最优化问题了解利用导数解决生活中最优化问题掌握费用最省面积体积最大利润最大课 时 作 业（点此链接）
