1、圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法一、定值问题处理方法1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进
2、行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。二、常见定值问题的处理方法1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。三、常见条件转化1、对边平行：斜率相等，或向量平行；2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线
3、性质；4、直角三角形中线性质：两点的距离公式5、点与圆的位置关系：（1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数；（2）圆上：点到直径端点向量数量积为零；（3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。四、常用的弦长公式：（1） 若直线的方程设为，则（2） 若直线的方程设为，则【注】上式中代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于或的一元二次方程的二次项系数。代表的是该一元二次方程的判别式。题型一 斜率型定值问题【例1】已知双曲线过点，且离心率（1）求该双曲线的标准方程：（2）如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.【变式1-1】已知椭圆的一个焦点
4、为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.（1）若线段中点的横坐标为，求直线的方程；（2）设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.【变式1-2】已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.（1）求双曲线C的标准方程.（2）若直线MB，NB的斜率分别为，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【变式1-3】已知抛物线C：的焦点为F，以抛物线上一动点M为圆心的圆经过点F，若圆M的面积最小值为.（1）求p的值；（2）当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作
5、抛物线的两条弦MA，MB，且满足证明：直线AB的斜率为定值题型二 距离型定值问题【例2】已知椭圆与直线相切于点，且点在第一象限，若直线与轴、轴分别交于点、若过原点O的直线与垂直交与点， 证明：定值【变式2-1】已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为（1）求的值；（2）过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值【变式2-2】已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【变式2-3】已知抛物线：的焦点为
6、，点为抛物线上一点，抛物线在点处的切线与轴相交于点，且的面积为2.（1）求抛物线的方程.（2）若斜率不为0的直线过焦点，且交抛物线于，两点，线段的中垂线与轴交于点.证明：为定值.题型三 面积型定值问题【例3】已知椭圆的左右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.【变式3-1】已知，直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程;（2）直线与曲线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率之积为， 证
7、明: 的面积为定值.【变式3-2】已知双曲线的两条渐近线所成的锐角为60，且点P（2，3）为E上一点（1）求E的标准方程；（2）设M为E在第一象限的任一点，过M的直线与E恰有一个公共点，且分别与E的两条渐近线交于点A，B，设O为坐标原点，证明：AOB面积为定值【变式3-3】在平面直角坐标系中，已知点到的距离与到直线的距离相等，记的轨迹为.（1）求的方程；（2）为坐标原点，轨迹上两点、处的切线交于点，在直线上，、分别交轴于、两点，记和的面积分别为和试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由题型四 向量型定值问题【例4】已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨
8、迹为（1）求的方程；（2）设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值【变式4-1】已知椭圆E：（）的焦点为，且点在E上（1）求E的方程；（2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值【变式4-2】已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为.（1）求；（2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由【变式4-3】已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点.（1）若直线又过的左焦点，求的值；（2）若点的坐标为，求证：为定值.题型五 角度型定值问题【例5】已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为
9、4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.（1）求圆O和椭圆C的方程；（2）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.【变式5-1】已知点是椭圆的左焦点，过且垂直轴的直线交于，且.（1）求椭圆的方程（2）四边形(A，D在轴上方的四个顶点都在椭圆上，对角线，恰好交于点，若直线，分别与直线交于，且为坐标原点，求证：【变式5-2】如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，且.（1）证明：直线的方程为.（2）设为双曲线的左焦点，证明：.【变式5-3】已知在平面直角
10、坐标系中，动点到定点的距离与到定直线的距离的比等于常数2.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与曲线的另一个交点为，以为直径的圆交直线于两点，设劣弧所对的圆心角为，求证：为定值.题型六 参数型定值问题【例6】在平面直角坐标系xOy中，抛物线，为C上两点，且，分别在第一、四象限直线与x正半轴交于，与y负半轴交于（1）若，求横坐标的取值范围；（2）记的重心为G，直线，的斜率分别为，且若，证明：为定值【变式6-1】已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线分别交x轴于M，N两点，点，若，求证：为定值【变式6-2】在平面直角坐标系中，已知过点的直
11、线与双曲线交于、两点，与轴交于点，且，.（1）当点在第一象限且时，求直线的方程；（2）求证：为定值.【变式6-3】已知抛物线的准线经过点，过点的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点（其中）在抛物线C上，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.（1）求直线l斜率的取值范围；（2）设O为原点，若，求证：为定值.题型七 坐标型定值问题【例7】已知椭圆的离心率为，是C的上、下顶点，且过点的直线l交C于B，D两点（异于），直线与交于点Q（1）求C的方程；（2）证明，点Q的纵坐标为定值【变式7-1】已知椭圆的左右焦点分别为，左顶点为A，点是椭圆C上一点，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过椭圆右焦点且与椭圆交于PQ两点，直线APAQ与直线分别交于M，N.求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；【变式7-2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且（1）求的方程；（2）若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、求证：点与点的横坐标之积为定值【变式7-3】在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足（1）求点P的轨迹的方程；（2）若Q是轨迹上异于点的一个点，且，直线与交于点M，试探究：点M的横坐标是否为定值？并说明理由
