1、浙江省嘉兴市南湖区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：设直线的倾斜角为，由两点斜率公式的直线的斜率所以，故选A考点：1、直线的斜率公式；2、直线的倾斜角2.如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ）A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. 垂直相交【答案】C【解析】在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行,当两个平面相交时,在这两个平面内存在直线,使得这两条直线互相平行,
2、当两个平面平行时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行，故这两个平面有可能相交或平行，所以这两个平面的位置关系是相交或平行，故选C.3.如图，扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得【详解】由已知可得：以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，其中半球半径为1，故半球的表面积为：故答案为C【点睛】本题主要考查了旋转体的概念，以及球的表面积的计算，其中解答中熟记旋转体的定义，以及球
3、的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，且，则D 若，且，则【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项，均可举出反例；可证明得出.【详解】若，则或与异面或与相交，故选项错误；若，则与可能相交，故选项错误；若直线不相交，则平面不一定平行，故选项错误；， 或，又 ，故选项正确.本题正确选项：【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度.5.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体
4、中直线AB与CD的位置关系为A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直【答案】D【解析】解：利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D6.已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x3）2+（x+4）2=16，则圆O1与圆O2的位置关系为（ ）A. 外切B. 内切C. 相交D. 相离【答案】A【解析】【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切.【详解】圆的圆心为，半径等于1，圆的圆心为，半径等于4，它们的圆心距等于，等于半径之和，两个圆相外切.故选A.【点睛】判断两圆的位置关系时常用几何法
5、，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法7.若实数满足，则的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】已知等式变形后得到圆方程，找出圆心与半径，令，得到；求出圆心到直线的距离，即可得出所求式子的范围【详解】令，即，表示一条直线；又方程可化为，表示圆心为，半径的圆；由题意直线与圆有公共点，圆心到直线的距离，即的取值范围为故选B【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，由直线与圆的位置关系求参数，熟记直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.8.已知点P是直线l：上的动点，过点P引圆C：的两条切线PM，PN，M，N为切点，当的最大值为时，则r的值为A. 4B
6、. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】分析】结合题意，找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，计算结果，即可。【详解】结合题意，绘制图像，可知当取到最大值的时候，则也取到最大值，而，当PC取到最小值的时候，取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故，故，解得，故选D。【点睛】考查了点到直线距离公式，关键找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，难度偏难。9.对于直角坐标平面内任意两点，定义它们之间的一种“新距离”：给出下列三个命题：若点在线段上则；在中，若，则；在中，其中的真命题为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，对于若点在线段上，设点坐标为
7、，然后代入验证显然成立对于在中，若，则|是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于在中，用坐标表示，然后根据绝对值不等式可得到大于等于推出不成立，故可得到答案【详解】若点在线段上，设点，那么在之间在，之间，故正确；，显然，平方后不能消除，所以命题不成立，故不正确；在中，由绝对值不等式的性质可得：，故不正确故选C【点睛】本题主要考查命题真假的判定，考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求，熟记绝对值不等式的性质即可，属于中档题目10.如图，在菱形中，线段，的中点分别为现将沿对角线翻折，使二面角的在大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.
8、C. D. 【答案】C【解析】【分析】取中点连接，设菱形的边长为，可得（或补角）为与所成角在中，由余弦定理，即可求出结果.【详解】取中点连接，设菱形的边长为，因为，则（或补角）为与所成角，在中，可得，在中，在中，在中，因此异面直线与所成角的余弦值为.故选C【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，只需在几何体中作出异面直线所成的角，解对应三角形即可，属于常考题型二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.直观图（如图）中，四边形OABC为菱形且边长为2cm，则在xoy坐标中四边形ABCD为_，面积为_cm2【答案】矩形、 8【解析】试题分析：根据直观图的做法，在做直观图时，原来与横轴平行的与X
9、平行，且长度不变，原来与y轴平行的与y平行，长度变为原来的一半，且新的坐标轴之间的夹角是45（或135）度。所以四边形ABCD为边长分别为2,4的矩形，其面积为8.考点：本题主要考查平面图形的直观图画法。点评：注意直观图中线段与原图的关系。12.如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为_，体积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求最长的棱长和体积.【详解】由三视图得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD,底面是边长为2的正方形，侧棱PA底面ABCD,PA=2,所以最长的棱为PC=,几何体体积为.故答案为(1). (2). 【点睛】本
10、题主要考查三视图还原几何体和几何体体积是计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k24km0的两根，若l1l2，则m_.若l1l2，则m_.【答案】 (1). 2 (2). 2【解析】【分析】根据韦达定理得到，由两直线垂直斜率之积为可得结果；再根据两直线平行斜率相等，结合可得结果.【详解】直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则，得；若，则，得，故答案为和2.【点睛】本题主要考查了直线的斜率和直线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，学生的转化能力，是一道基础题.14.如果平面直角坐标系中的两点关于直线对称，那么直线的方程
11、为_【答案】【解析】【详解】试题分析：直线斜率为，所以斜率为，设直线方程为，由已知直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即考点：直线方程15.正方体的棱长为，分别是，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为_，和该截面所成角的正弦值为_【答案】 (1). (2). 【解析】分析】取中点，中点，中点，连结、，推导出平面平面，过且与平行的平面截正方体所得截面为，由此能求出过且与平行的平面截正方体所得截面的面积；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出和该截面所成角的正弦值【详解】取中点，中点，中点，连结、，平面平面，过且与平行的平面截正方体所得截面为，四边形是矩形
12、，过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为：；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量，则，取，得，设和该截面所成角为，则，和该截面所成角的正弦值为故答案为；【点睛】本题考查截面面积的求法，考查线面角的正弦值的求法，熟记面面平行的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型16.已知实数满足，则的取值范围是_.【答案】0，【解析】【分析】构造直线x0，过圆上一点P作直线的垂线PM，则sinPOM，求出POM的范围即可得到答案【详解】P（x，y）为圆x2+（y2）21上的任意一点，则P到直线xy0的距离PM，又因为圆在直线的上方，则PMx，sinPOM，设圆x2+
13、（y2）21与直线ykx相切，则1，解得k，POM的最小值为0，最大值为60，0sinPOM，故答案为0，【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想的应用，注意临界位置的转化，属难题17.四面体的四个顶点都在球的球面上，平面，是等边三角形若侧面的面积为，则球的表面积的最小值为_【答案】【解析】【分析】取的中点，连结，作出外接球的球心，设是边长为的等边三角形，可得，记的中心为，作交的中垂线于，为外接球的中心，（当且仅当时取等号），即可求出表面积最小值【详解】取的中点，连结，在四面体中，平面，设是边长为的等边三角形，即，是等腰三角形，记的中心为，作交的中垂线于，为外接球的中心，则，所以
14、（当且仅当时,取等号）四面体外接球的表面积为故答案为【点睛】本题考查几何体外接球的相关计算，熟记简单几何体的结构特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知圆台侧面的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面半径的倍（1）求圆台两底面的半径；（2）如图，点为下底面圆周上的点，且，求与平面所成角的正弦值【答案】(1) 上底面半径为，下底面半径为(2) 【解析】【分析】（1）设圆台上底面半径为，则下底面半径为，且推导出,，从而由此能求出圆台上底面半径和下底面半径；（2）过点作于点，连接，推导出，面，从而为与平面所成的角，由此即可求出结果
15、.【详解】（1）设圆台上底面半径为，则下底面半径为，将圆台补成如图的圆锥，则.在中，在中，所以故圆台上底面半径为，下底面半径为（2）过点作于点，连接，面，面，为与平面所成的角，与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查圆台两底面的半径、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于常考题型19. 如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）若平面PAC平面ABC，且PA=PC，ABC=90，求证：平面PEF平面PBC【答案】见解析【解析】试题分析：（1）利用E，F分别是AC，BC中点，说明EFAB，通过直线
16、与平面平行的判定定理直接证明EF平面PAB（2）证明PEAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明PE平面ABC，通过证明PEBCEFBC，EFPE=E，证明BC平面PEF，然后推出平面PEF平面PBC证明：（1）E，F分别是AC，BC的中点，EFAB又EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB（2）在三角形PAC中，PA=PC，E为AC中点，PEAC平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，PE平面ABCPEBC又EFAB，ABC=90，EFBC，又EFPE=E，BC平面PEF平面PEF平面PBC考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定20.已知点M（3,1），直线与圆。（1
17、）求过点M的圆的切线方程；（2）若直线与圆相切，求a的值；（3）若直线与圆相交与A,B两点，且弦AB的长为，求a的值。【答案】(1)和(2)或(3)【解析】【详解】（1）圆心,半径,当切线的斜率不存在是，方程为.由圆心到直线的距离知，此时直线与圆相切，当切线的斜率存在时，设切线方程为,即.由题意知，解得k=,切线方程为，即.故国M点的圆的切线方程为和.（2）由题意知，解得或（3）圆心到直线的距离为解得.21.如图（1），边长为的正方形中，分别为，上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图（2）的图形，再将，沿，折起，使三点重合于点.图（1） 图（2） 图（3）（1）求证：；（2）求二面角的正切值的最小
18、值【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】【分析】（1）可得折叠后，即可证明（2）作交于点，连结可得为二面角的平面角令，易得图3中，利用即可求解【详解】（1）证明：折叠前，折叠后，又，所以平面，因此（2）作交于点，连结，为二面角的平面角令，易得图3中，则，当且仅当二面角的正切值的最小值为【点睛】本题考查了空间线线垂直判定，二面角的大小求解，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及几何法求二面角的大小即可，属于常考题型.22.如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴的正半轴相交于A，B两点（A在B的上方），且AB3（1）求圆C的方程；（2）直线BT上是否存在点P满足PA2PB2PT212，若
19、存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分EAF，求证：直线EF的斜率为定值【答案】（1）；（2）点P坐标为.（3）见解析.【解析】【分析】（1）求出圆C的半径为，即得圆C的方程；（2）先求出直线BT的方程为x+2y-2=0.设P(2-2y,y),根据PA2PB2PT212 求出点P的坐标；（3）由题得,即EFBC,再求EF的斜率.【详解】（1）由题得，所以圆C的半径为.所以圆C的方程为.(2)在中，令x=0,则y=1或y=4.所以A(0,4),B(0,1).所以直线BT的方程为x+2y-2=0.设P(2-2y,y),因为PA2PB2PT212，所以,由题得因为,所以方程无解. 所以不存在这样的点P. (3)由题得,所以，所以.所以直线EF的斜率为定值【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.