1、专题训练圆中常见辅助线的作法作法一作半径或直径添半径，构造等腰三角形1如图8ZT1所示，已知CD是O的直径，EOD78，AE交O于点B，且ABOC，求A的度数图8ZT12已知AB为O的直径，AC和AD为弦，AB2，AC，AD1，求CAD的度数遇切线添加过切点的半径3如图8ZT2，PA，PB是O的切线，切点分别是A，B，如果E60，那么P等于() 图8ZT2A60 B90 C120 D1504如图8ZT3，在RtABC中，BAC90，O是AB边上的一点，以OA为半径的O与边BC相切于点E. 图8ZT3(1)若AC6，BC10，求O的半径；(2)过点E作弦EFAB于点M，连接AF，若AFE2ABC
2、，求证：四边形ACEF是菱形作法二遇弦添加弦心距或半径5如图8ZT4，在半径为5 cm的O中，弦AB6 cm，OCAB于点C，则OC的长为() 图8ZT4A3 cm B4 cm C5 cm D6 cm6如图8ZT5所示，在半径为5的O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且ABCD8，则OP的长为() 图8ZT5A3 B4 C3 D4 7如图8ZT6，已知O的半径为25，弦AB的长为48，C是弧AB的中点，求AC的长图8ZT6作法三遇直径添加直径所对的圆周角8如图8ZT7，已知AB是O的直径，点C，D在O上，ABC50，则CDB的度数为() 图8ZT7A50 B45 C40 D309如图
3、8ZT8，AB是O的直径，弦CDAB于点E，G是上任意一点，连接AD，GD.若的度数是50，则AGD的度数是() 图8ZT8A50 B55 C65 D7510如图8ZT9所示，在ABC中，BC3，以BC为直径的O交AC于点D，D是AC的中点，ABC120.(1)求ACB的度数；(2)求点A到直线BC的距离图8ZT9作法四判定直线与圆相切(连半径或作垂直)有切点连半径，证垂直11如图8ZT10，AB是O的直径，D为O上一点，AT平分BAD交O于点T，过点T作TCAD交AD的延长线于点C.(1)求证：CT为O的切线；(2)若O的半径为2，CT，求AD的长图8ZT1012如图8ZT11，四边形ABC
4、D是平行四边形，以AB为直径的O经过点D，E是O上一点，且AED45.判断CD与O的位置关系，并说明理由图8ZT11无切点作垂直，证半径13如图8ZT12，点O在APB的平分线上，O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与O相切；(2)PO的延长线与O相交于点E，若O的半径为3，PC4，求弦CE的长图8ZT1214如图8ZT13，AB是O的直径，AM，BN分别切O于点A，B，CD与AM，BN分别交于点D，C，DO平分ADC.(1)求证：CD是O的切线；(2)若AD4，BC9，求O的半径R.图8ZT13详解详析1解：连接OB，ABOC，OBOC，ABOB，BOCA，OBEBOCA2A.OBOE，
5、OBEE，EOD3A78，解得A26.2解：分两种情况考虑：如图，连接OC，OD，在O中，AB2，OAOCODAB1.1212()2，即OA2OC2AC2，AOC90，CAO45.又AD1，OAODAD，AOD是等边三角形，OAD60，CADOADCAO15.如图，连接OC，OD，在O中，AB2，OAOCODAB1.1212()2，即OA2OC2AC2，AOC90，CAO45.AD1，OAODAD，AOD是等边三角形，OAD60，CADOADCAO105.综上，CAD的度数为15或105.3解析 A连接OA，OB，PA，PB是O的切线，切点分别是A，B，OAPOBP90.E60，AOB120，
6、P360120909060.故选A.4解析 (1)连接OE，设O的半径为r，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据BC与O相切，得到OEBC，进而得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两角相等的三角形相似得到BOE与BCA相似，由相似三角形的性质求出r即可；(2)根据题意，得AOE4ABC，进而求出ABC与AFE的度数，根据EFAD，得到一对直角相等，确定出MEBAFE60，从而得到CA与EF平行，进而得到CB与AF平行，确定出四边形ACEF为平行四边形，再由CAB为直角，得到CA为O的切线，利用切线长定理得到CACE，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证解：(1)连接OE，设
7、O的半径为r，在RtABC中，AC6，BC10，根据勾股定理，得AB8.BC与O相切，OEBC，OEBBAC90.又OBECBA，BOEBCA，即，解得r3，即O的半径为3.(2)证明：AOE与AFE分别是所对的圆心角和圆周角，AFE2ABC，AOE2AFE4ABC.AOEOEBABC，OEB90，ABC30，AFE60.EFAD，EMBCAB90，MEBAFE60，CAEF，CBAF，四边形ACEF为平行四边形CAB90，OA为O的半径，CA为O的切线又BC为O的切线，CACE，平行四边形ACEF为菱形5答案 B6解析 C过点O作OEAB，OFCD，垂足分别为E，F，连接OA.OEAB，AE
8、AB4.在RtOAE中，OA5，由勾股定理可得OE3，同理可得OF3，因此四边形OEPF是正方形，OEPE3.在RtOPE中，由勾股定理可得OP3.故选C.7解析 连接AO，OC，OC交AB于点H，由垂径定理知的推论知OHAB.在RtOAH中，易求OH的长，进而易得HC的长再利用勾股定理，即可求得AC的长解：如图，连接OA，OC，OC交AB于点H，C是弧AB的中点，OHAB，AHBHAB24.在RtOAH中，OA25，AH24，根据勾股定理，得OH7，HCOCOH25718.在RtAHC中，根据勾股定理，得AC30，AC的长为30.8解析 C连接AC.AB是O的直径，点C在O上，ACB90.在
9、RtABC中，ACB90，ABC50，CAB40.又CDBCAB，CDBCAB40.故选C.9解析 C连接OC，BD，的度数是50，BOC50.弦CDAB，BADBOC25.AB是O的直径，ADB90，B90BAD65，AGDB65.故选C.10解：(1)连接BD.以BC为直径的O交AC于点D，BDC90.D是AC的中点，直线BD是AC的垂直平分线，ABBC，ACBBAC.ABC120，ACBBAC30.(2)过点A作AEBC交CB的延长线于点E.ABC120，ABE60.ABBC3，在RtABE中，AEABsin603，即点A到直线BC的距离为.11解：(1)证明：如图，连接OT.OAOT，
10、OATOTA.又AT平分BAD，DATOAT，DATOTA，OTAC.又CTAD，CTOT.OT是O的半径，CT为O的切线(2)如图，过点O作OEAD于点E，则E为AD的中点由(1)得CTOT，CTAD，四边形OTCE为矩形CT，OE.又OA2，在RtOAE中，AE1，AD2AE2.12.解：CD与O相切理由如下：如图，连接OD.AED45，AOD2AED90.四边形ABCD是平行四边形，ABCD，CDOAOD90.又OD是O的半径，CD经过点D，CD是O的切线13解：(1)证明：过点O作ODPB于点D，连接OC.PA切O于点C，OCPA.又点O在APB的平分线上，OCOD，OD是O的半径，直线PB与O相切(2)过点C作CFOP于点F.在RtPCO中，PC4，OC3，OP5.OCPCOPCF，CF.在RtCOF中，OF，EFEOOF，CE.14解：(1)证明：如图，过点O作OECD于点E.AM切O于点A，OAAD.又DO平分ADC，OEOA，OE是O的半径，CD是O的切线(2)如图，过点D作DFBC于点F.AM，BN分别切O于点A，B，ADAB，ABBC，四边形ABFD是矩形，ADBF，ABDF.又AD4，BC9，FC945.AM，BN，DC分别切O于点A，B，E，ADED，BCEC，DCADBC4913.在RtDFC中，DC2DF2FC2，DF12，AB12，O的半径R是6.
