1、71柱、锥、台的侧面展开与面积72柱、锥、台的体积填一填1.简单几何体的侧面积几何体侧面积公式几何体侧面积公式圆柱S圆柱侧2rl r为底面半径l为侧面母线长直棱柱S直棱柱侧chc为底面周长h为高圆锥S圆锥侧rl r为底面半径l为侧面母线长正棱锥S正棱锥侧chc为底面周长h为斜高，即侧面等腰三角形的高圆台S圆台侧(r1r2)lr1为上底面半径r2为下底面半径l为侧面母线长正棱台S正棱台侧(cc)hc为上底面周长c为下底面周长h为斜高，即侧面等腰梯形的高2.柱、锥、台体的体积公式名称体积公式柱体圆柱、棱柱V柱体Sh S为柱体底面面积，h为柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体ShS为锥体底面面积，h为锥体的
2、高台体圆台、棱台V台体(S上S下)hS上、S下为台体的上、下底面面积，h为高判一判1.把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图形状都相同，面积都相等()2棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的()3圆台的高就是相应母线的长()4斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长()5三棱锥的体积可以用任意一个面和对应高求()6锥体的体积是柱体体积的.()7圆台的体积可由两圆锥的体积差得出()8柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关()想一想1.一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？提示：不同的展开方式，几何体的平面展开
3、图不一定相同，表面积是各个面的面积和，几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定2由三视图求几何体的表面积的步骤是什么？提示：(1)画：由三视图还原为直观图，即画出物体的直观图(2)标：结合三视图的特征，标明直观图中的相关量及线线之间的位置关系，(如垂直、平行)(3)算：根据直观图计算相应的量，(如表面积、侧面积)3求组合体的表面积的三个基本步骤是什么？提示：(1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么(2)根据组合体的组成形式设计计算思路(3)根据公式计算求值4求几何体体积的常用方法有哪些？提示：(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以
4、作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积思考感悟：练一练1.棱长为3的正方体的表面积为()A27B64C54 D36答案：C2圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其侧面积等于()A72 B42C67 D72答案：B3一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的侧面积为_答案：44圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是_答案：2S5已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为_答案：28知识点一旋转体的侧面积(表面积)
5、及体积1.将圆心角为120，面积为3的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为_解析：设圆锥的母线长为l，半径为r，因为120，所以l23，所以l3，又2r2l，所以r1，所以S圆锥表r234.答案：42已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.C2 D4解析：由题意，该几何体可以看作是两个底面半径为，高为的圆锥的组合体，其体积为2()2.答案：B知识点二多面体的侧面积(表面积)及体积3.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积为()A32 B48C64 D.解析：如图所示，在正四棱锥PABC
6、D中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥PABCD的高，PE为斜高，则OEPE，因为OEAB2，所以PE4，则S侧44432.答案：A4如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1:V2_.解析：设三棱柱A1B1C1ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1ShShV2，即V1:V21:24.答案：1:24知识点三组合体的表面积与体积5.如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为()A8016 B9613C96 D112
7、解析：由三视图，可知此几何体是由棱长为4的正方体和高为2，底边长为4的正四棱锥组合而成，根据公式易求得该几何体的表面积是5444428016.答案：A6如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A. B.C. D.解析：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.容易求得EGHF，AGGDBHHC，所以SAGDSBHC1，所以VVEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC21.故选A.答案：A综合知识柱体、锥体、台体的表面积与体积7.已知正四棱锥底面正方形的边长为4
8、 cm，高与斜高的夹角为30，求正四棱锥的侧面积和表面积解析：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成RtPOE.因为OE2 cm，OPE30，所以PE2OE4 cm.因为S侧4PEBC44432(cm2)，S表面积S侧S底321648(cm2)8如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.解析：在三棱锥A1ABD中，AA1平面ABD，ABADAA1a，A1BBDA1Da，VA1ABDVAA1BD，a2aaad.da.A到平面A1BD的距离为a.基础达标一、选择题1棱长都是1的三棱锥的表面积为()A. B2C3 D4解析：由三棱锥的表面积公式，得
9、S表411sin 60.答案：A2一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为()A2 B.C. D.解析：由题圆锥的底面周长为2，底面半径为1，圆锥的高为，圆锥的体积为12，故选D.答案：D3若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A1:2 B1:C1: D.:2解析：若圆锥的高等于底面直径，则h2r，则母线lr，而圆锥的底面面积为r2，圆锥的侧面积为rlr2，故圆锥的底面积与侧面积之比为1:，故选C.答案：C4已知一个圆柱的正视图的周长为12，且底面半径为1，则该圆柱的表面积为()A4 B10C16 D.解析：圆柱的正视图是一个矩形，若设圆柱的底面半径为r，高为
10、h，则依题意有4r2h12，且r1，即h4.故S表2rh2r221421210.答案：B5正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是()A. B.C. D.或解析：若正三棱柱的底面周长为2，高为4，则底面积S2，V；若其底面周长为4，高为2，则底面积S2，V.答案：D6我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是()(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式V(S上S下)h)A2寸 B3寸C4寸 D5寸解析：如图，由
11、题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸因为积水深9寸，所以水面半径为(146)10寸，则盆中水的体积为9(62102610)588(立方寸)，所以平地降雨量等于3(寸)故选B.答案：B7一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为()A. B.C20 D40解析：由三视图，可知该几何体是一个放倒的四棱锥(如图四棱锥ABCDE)，其中四棱锥的底面BCDE为直角梯形，其上底CD为1，下底BE为4，高BC为4.又AB与平面BCDE垂直，所以棱锥的高AB为4，所以四棱锥的体积为44.答案：B二、填空题8若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_解析：由题底面半径是1，圆锥
12、的母线为2，则圆锥的高为，所以圆锥的体积为.答案：9正六棱柱的一条最长的对角线长是13，侧面积为180，棱柱的全面积为_解析：如图，设正六棱柱的底面边长为a，侧棱长为h，易知CF是正六棱柱的一条最长的对角线，即CF13.因为CF2a，FFh，所以CF13.因为正六棱柱的侧面积为180，所以S侧6ah180，联立解得或当a6，h5时，S底6a22108.所以S全180108.当a，h12时，S底6a22，所以S全180.答案：180或18010810如图，多面体ABCDEF中，BA，BC，BE两两垂直，且ABEF，CDBE，ABBE2，BCCDEF1，则多面体ABCDEF的体积为_解析：多面体A
13、BCDEF的体积等于四棱锥DABEF和三棱锥ABCD的体积之和因为VDABEFS四边形ABEFBC(12)211，VABCDSBCDAB112.所以多面体ABCDEF的体积V多面体ABCDEF1.答案：11如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于_，体积等于_解析：挖去的圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积等于4.圆柱的侧面积为22624，圆柱的一个底面面积为224，所以组合体的表面积为4244(428).体积为22622616.答案：(428)1612某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积是_
14、解析：由三视图可知，该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，且两个圆柱的底面半径和高分别相等，故V2221228.答案：8三、解答题13如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积解析：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则ROC2，AC4，AO2.如图所示易知AEBAOC，所以，即，所以r1，S底2r22，S侧2rh2.所以SS底S侧22(22).14圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16，求圆锥的体积解析：设圆锥的底面半径是r，母线为l.因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形所以2r，即lr.由题意得，侧面积S侧rlr216，解得r4.所
15、以l4，圆锥的高h4.所以圆锥的体积VSh424.能力提升15.如图，正三棱锥OABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积解析：如图，由已知条件可知，正三棱锥OABC的底面ABC是边长为2的正三角形，经计算得底面ABC的面积为.所以该三棱锥的体积为1.设O是正三角形ABC的中心由正三棱锥的性质可知，OO垂直于平面ABC.延长AO交BC于D，得AD，OD.又因为OO1，所以正三棱锥的斜高OD.故侧面积为232.所以该三棱锥的表面积为23.因此，所求三棱锥的体积为，表面积为3.16如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P是BC的中点，点Q是棱CC1上的动点(1)点Q在何位置时，直线D1Q，DC，AP交于一点，并说明理由；(2)求三棱锥B1DBQ的体积；(3)若点Q是棱CC1的中点时，记过点A，P，Q三点的平面截正方体所得截面面积为S，求S.解析：(1)当Q是棱CC1的中点时，直线D1Q，DC，AP交于一点，理由：延长D1Q、DC交于点O，则QC为DD1O的中位线，所以C为DO的中点，延长AP、DC交于点O，则PC为ADO的中位线，所以C为DO的中点，所以点O与点O重合，所以直线D1Q、DC、AP交于一点(2)VB1DBQVDB1BQ2.(3)连接AD1、PQ，由(1)知，AD1PQ，所以梯形APQD1为所求截面，梯形APQD1的高为 ，S(2).
