1、矩形菱形与正方形 一、选择题 1.（2018四川凉州3 分）如图将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使 C 落在 C处，BC交 AD于点 E，则下到结论不一定成立的是（）AAD=BC BEBD=EDB CABECBD DsinABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案【解答】解：A、BC=BC，AD=BC，AD=BC，所以正确 B、CBD=EDB，CBD=EBD，EBD=EDB 正确 D、sinABE=，EBD=EDB BE=DE sinABE=故选：C【点评】本题主要用排除法，证明 A，B，D 都正确，所以不正确的就是 C，排除法也是数学中一种常用
2、的解题方法 2（2018山东滨州3 分）下列命题，其中是真命题的为（）A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C对角线相等的四边形是矩形 D一组邻边相等的矩形是正方形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确 故选：D【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别正确的命题叫真命题，错误的命题叫做
3、假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中 3（2018湖北省宜昌3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别是对角线 AC上的两点，EGABEIAD，FHAB，FJAD，垂足分别为 G，I，H，J则图中阴影部分的面积等于（）A1 B C D【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，直线 AC 是正方形 ABCD 的对称轴，EGABEIAD，FHAB，FJAD，垂足分别为 G，I，H，J 根据对称性可知：四边形 EFHG 的面积与四边形 EFJI 的面积相等，S 阴=S 正方形 ABCD=，故选：B【点评】本题考查正方
4、形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型 4（2018湖北省孝感3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=10，BD=24，则菱形 ABCD 的周长为（）A52 B48 C40 D20【分析】由勾股定理即可求得 AB 的长，继而求得菱形 ABCD 的周长【解答】解：菱形 ABCD 中，BD=24，AC=10，OB=12，OA=5，在 RtABO 中，AB=13，菱形 ABCD 的周长=4AB=52，故选：A 【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型 5（2018山东临沂3 分）如图，点
5、E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 边 AB、BC、CD、DA 的中点则下列说法：若 AC=BD，则四边形 EFGH 为矩形；若 ACBD，则四边形 EFGH 为菱形；若四边形 EFGH 是平行四边形，则 AC 与 BD 互相平分；若四边形 EFGH 是正方形，则 AC 与 BD 互相垂直且相等 其中正确的个数是（）A1 B2 C3 D4【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线 BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线 ACBD 时，中点四边形是矩形，当对角线 AC=BD，且 ACBD 时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线
6、BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线 ACBD 时，中点四边形是矩形，当对角线 AC=BD，且 ACBD 时，中点四边形是正方形，故选项正确，故选：A【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线 BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线ACBD 时，中点四边形是矩形，当对角线 AC=BD，且 ACBD 时，中点四边形是正方形 6（2018山东威海3 分）矩形 ABCD 与 CEFG，如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G共线，连接 AF，取 AF 的中点 H，连接 GH若 BC=EF=2，CD=CE
7、=1，则 GH=（）A1 B C D【分析】延长 GH 交 AD 于点 P，先证APHFGH 得 AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得 PG=，从而得出答案【解答】解：如图，延长 GH 交 AD 于点 P，四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形，ADC=ADG=CGF=90，AD=BC=2、GF=CE=1，ADGF，GFH=PAH，又H 是 AF 的中点，AH=FH，在APH 和FGH 中，APHFGH（ASA），AP=GF=1，GH=PH=PG，PD=ADAP=1，CG=2、CD=1，DG=1，则 GH=PG=，故选：C【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握
8、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点 7（2018湖南省永州市4 分）下列命题是真命题的是（）A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C任意多边形的内角和为 360 D三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半【分析】根据矩形的判定方法对 A 进行判断；根据菱形的判定方法对 B 进行判断；根据多边形的内角和对 C 进行判断；根据三角形中位线性质对 D 进行判断【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A 选项为假命题；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 B 选项为假命题；C、任意多边形的外角和为 360，所以 C 选项为假命题；D、三
9、角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以 D 选项为真命题 故选：D【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 8（2018 年江苏省宿迁）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形 ABCD 的周长为 16，BAD60,则OCE 的面积是（）。A.B.2 C.D.4【答案】A 【考点】三角形的面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，相似三角形的
10、判定与性质 【解析】【解答】解：菱形 ABCD 的周长为 16，菱形 ABCD 的边长为 4，BAD60,ABD 是等边三角形，又O 是菱形对角线 AC、BD 的交点，ACBD，在 RtAOD 中，AO=，AC=2A0=4，SACD=ODAC=24=4，又O、E 分别是中点，OEAD，COECAD，,SCOE=SCAD=4=.故答案为：A.【分析】根据菱形的性质得菱形边长为 4，ACBD，由一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形得ABD 是等边三角形；在 RtAOD 中，根据勾股定理得 AO=，AC=2A0=4，根据三角形面积公式得 SACD=ODAC=4，根据中位线定理得 OEAD，由相
11、似三角形性质得,从而求出OCE 的面积.9（2018新疆生产建设兵团5 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm现将其沿AE 对折，使得点 B 落在边 AD 上的点 B1处，折痕与边 BC 交于点 E，则 CE 的长为（）A6cm B4cm C3cm D2cm【分析】根据翻折的性质可得B=AB1E=90，AB=AB1，然后求出四边形 ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得 BE=AB，然后根据 CE=BCBE，代入数据进行计算即可得解【解答】解：沿 AE 对折点 B 落在边 AD 上的点 B1处，B=AB1E=90，AB=AB1，又BAD=90，四边形 ABEB1是正方
12、形，BE=AB=6cm，CE=BCBE=86=2cm 故选：D【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键 10（2018新疆生产建设兵团5 分）如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M，N 分别是 AB，BC 边上的中点，则 MP+PN 的最小值是（）A B1 C D2【分析】先作点 M 关于 AC 的对称点 M，连接 MN 交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值然后证明四边形 ABNM为平行四边形，即可求出 MP+NP=MN=AB=1【解答】解：如图，作点 M 关于 AC 的对称点
13、 M，连接 MN 交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值，最小值为 MN的长 菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点，M是 AD 的中点，又N 是 BC 边上的中点，AMBN，AM=BN，四边形 ABNM是平行四边形，MN=AB=1，MP+NP=MN=1，即 MP+NP 的最小值为 1，故选：B【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键 11.（2018四川宜宾3 分）在ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知
14、DE=4，EF=3，点 P 在以DE 为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2的最小值为（）A B C34 D10【考点】M8：点与圆的位置关系；LB：矩形的性质【分析】设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN，则 MN、PM 的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出 NP 的最小值，再利用 PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论【解答】解：设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN 交半圆于点 P，此时 PN 取最小值 DE=4，四边形 DEFG 为矩形，GF=DE，MN=EF，MP=FN=DE=2，NP=MNMP=EFMP=1，PF2+P
15、G2=2PN2+2FN2=212+222=10 故选：D 【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出 PN 的最小值是解题的关键 12（2018天津3 分）如图，在正方形中，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：点 E 关于 BD 的对称点 E在线段 CD 上，得 E为 CD 中点，连接 AE，它与 BD 的交点即为点 P，PA+PE 的最小值就是线段 AE的长度；通过证明直角三角形 ADE直角三角形 ABF 即可得解 详解：过点 E 作关于 BD 的对称点 E，连接 AE，
16、交 BD 于点 P PA+PE 的最小值 AE；E 为 AD 的中点，E为 CD 的中点，四边形 ABCD 是正方形，AB=BC=CD=DA，ABF=AD E=90,DE=BF，ABF AD E，AE=AF.故选 D.点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题、正方形的性质此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”因此只要作出点 A（或点 E）关于直线 BD 的对称点A（或 E），再连接 EA（或 AE）即可 13（2018四川自贡4 分）如图，在边长为 a 正方形 ABCD 中，把边 BC 绕点 B 逆时针旋转60，得到线段 BM，连接 AM 并延长交 CD 于 N，连接 MC
17、，则MNC 的面积为（）A B C D【分析】作 MGBC 于 G，MHCD 于 H，根据旋转变换的性质得到MBC 是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出 MH、CH，根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：作 MGBC 于 G，MHCD 于 H，则 BG=GC，ABMGCD，AM=MN，MHCD，D=90，MHAD，NH=HD，由旋转变换的性质可知，MBC 是等边三角形，MC=BC=a，由题意得，MCD=30，MH=MC=a，CH=a，DH=aa，CN=CHNH=a（aa）=（1）a，MNC 的面积=（1）a=a2，故选：C 【点评】本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌
18、握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键 14（2018台湾分）如图 1 的矩形 ABCD 中，有一点 E 在 AD 上，今以 BE 为折线将 A 点往右折，如图 2 所示，再作过 A 点且与 CD 垂直的直线，交 CD 于 F 点，如图 3 所示，若 AB=6，BC=13，BEA=60，则图 3 中 AF 的长度为何？（）A2 B4 C2 D4【分析】作 AHBC 于 H则四边形 AFCH 是矩形，AF=CH，AH=CF=3在 RtABH 中，解直角三角形即可解决问题；【解答】解：作 AHBC 于 H则四边形 AFCH 是矩形，AF=CH，AH=CF=3 在 RtAHB 中，ABH=30，B
19、H=ABcos30=9，CH=BCBH=139=4，AF=CH=4，故选：B【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 15（2018浙江宁波4 分）在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和 b（ab）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部分的面积为 S1，图 2 中阴影部分的面积为 S2当 ADAB=2 时，S2S1的值为（）A2a B2b C2a2b D2b【考点】正方
20、形的性质【分析】利用面积的和差分别表示出 S1和 S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差【解答】解：S1=（ABa）a+（CDb）（ADa）=（ABa）a+（ABb）（ADa），S2=AB（ADa）+（ab）（ABa），S2S1=AB（ADa）+（ab）（ABa）（ABa）a（ABb）（ADa）=（ADa）（ABAB+b）+（ABa）（aba）=bADabbAB+ab=b（ADAB）=2b 故选：B【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来也考查了正方形的性质 16（
21、2018重庆(A)4 分）下列命题正确的是 A.平行四边形的对角线互相垂直平分 B.矩形的对角线互相垂直平分 C.菱形的对角线互相平分且相等 D.正方形的对角线互相垂直平分【考点】四边形的对角线的性质【解析】A.错误。平行四边形的对角线互相平分。B.错误。矩形的对角线互相平分且相等。C.错误。菱形的对角线互相垂直平分，不一定相等。D.正确。正方形的对角线互相垂直平分。另外，正方形的对角线也相等。【点评】此题主要考查四边形的对角线的性质，属于中考当中的简单题。17（2018广东3 分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A圆 B菱形 C平行四边形 D等腰三角形【分析】根据轴对称
22、图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确 故选：D【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 18（2018河北2 分）用一根长为a(单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形.要将它按图 7 的方式向外等距扩 1（单位：cm)，得到新的正方形，则这根铁丝需增加（）A4cm
23、 B8cm C.(4)acm D(8)acm 19（2018广东3 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的一动点，它从点 A 出发沿在 ABCD路径匀速运动到点 D，设PAD 的面积为 y，P 点的运动时间为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致为（）A B C D【分析】设菱形的高为 h，即是一个定值，再分点 P 在 AB 上，在 BC 上和在 CD 上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可【解答】解：分三种情况：当 P 在 AB 边上时，如图 1，设菱形的高为 h，y=APh，AP 随 x 的增大而增大，h 不变，y 随 x 的增大而增大，故选项 C
24、不正确；当 P 在边 BC 上时，如图 2，y=ADh，AD 和 h 都不变，在这个过程中，y 不变，故选项 A 不正确；当 P 在边 CD 上时，如图 3，y=PDh，PD 随 x 的增大而减小，h 不变，y 随 x 的增大而减小，P 点从点 A 出发沿在 ABCD 路径匀速运动到点 D，P 在三条线段上运动的时间相同，故选项 D 不正确；故选：B 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点 P 的位置的不同，分三段求出PAD 的面积的表达式是解题的关键 20(2018 四川省眉山市 2 分)下列命题为真命题的是（）。A.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 B.相似
25、三角形面积之比等于相似比 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形【答案】A 【考点】命题与定理 【解析】【解答】解：A.根据平行线分线段成比例定理即可判断正确，A 符合题意；B.相似三角形面积之比等于相似比的平方，故错误，B 不符合题意；C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，C 不符合题意；D.顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正菱形，故错误，D 不符合题意；故答案为:A.【分析】A.根据平行线分线段成比例定理即可判断对错；B.根据相似三角形的性质即可判断对错；C.根据菱形的判定即可判断对错；D.根据矩形的性质和三角形中位线定理即可判断对错；
26、21（2018 四川省泸州市 3 分）如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE相交于点 G，若 AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A B C D【分析】如图作，FNAD，交 AB 于 N，交 BE 于 M设 DE=a，则 AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FNAD，交 AB 于 N，交 BE 于 M 四边形 ABCD 是正方形，ABCD，FNAD，四边形 ANFD 是平行四边形，D=90，四边形 ANFD 是解析式，AE=3DE，设 DE=a，则 AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，AN=BN，M
27、NAE，BM=ME，MN=a，FM=a，AEFM，=，故选：C【点评】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型 22（2018 年四川省南充市）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，P 为 CD 的中点，连结 AP，过点 B 作 BEAP 于点 E，延长 CE 交 AD 于点 F，过点 C 作 CHBE 于点 G，交 AB 于点 H，连接HF下列结论正确的是（）ACE=BEF=CcosCEP=DHF2=EFCF【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质
28、；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形【分析】首先证明 BH=AH，推出 EG=BG，推出 CE=CB，再证明ABCCEH，RtHFERtHFA，利用全等三角形的性质即可一一判断【解答】解：连接 EH 四边形 ABCD 是正方形，CD=ABBC=AD=2，CDAB，BEAP，CHBE，CHPA，四边形 CPAH 是平行四边形，CP=AH，CP=PD=1，EH=HB，HCBE，BG=EG，CB=CE=2，故选项 A 错误，CH=CH，CB=CE，HB=HE，ABCCEH，CBH=CEH=90，HF=HF，HE=HA，RtHFERtHFA，AF=EF，设 EF=AF=x，在 RtCDF 中，有
29、22+（2x）2=（2+x）2，x=，EF=，故 B 错误，PACH，CEP=ECH=BCH，cosCEP=cosBCH=，故 C 错误 HF=，EF=，FC=HF2=EFFC，故 D 正确，故选：D【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题 二.填空题 1(2018 四川省眉山市 1 分)如图，菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴的负半轴上，O 是坐标原点，A 点坐标为（10,0），对角线 AC 和 OB 相交于点 D 且 ACOB=160.若反比例函数 y=(x0）
30、的图象经过点 D，并与 BC 的延长线交于点 E,则 SOCESOAB=_.【答案】1:5 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义，全等三角形的判定与性质，菱形的性质 【解析】【解答】解：作 CGAO,BHAO,BOAC=160，S 菱形=BOAC=80，SOAC=S 菱形=40，AOCG=40，A（-10,0），OA=10,CG=8,在 RtOGE 中，OG=6，AG=4,C（-6,8），BAHCOG，BH=CG=8,AH=OG=6,B（-16,8），D 为 BO 的中点，D（-8,4），又D 在反比例函数上，k=-84=-32，C（-6,8），E（a，8），又E 在反比例函数上，8a=-3
31、2,a=-4,E（-4，8），CE=2，SOCE=CECG=28=8，SOAB=OABH=108=40,SOCE：SOAB=8:40=1:5.故答案为:1:5.【分析】解：作 CGAO,BHAO,根据菱形和三角形的面积公式可得 SOAC=S 菱形=40，从而得 OA=10,CG=8,在 RtOGE 中，根据勾股定理得 OG=6，AG=4,即 C（-6,8），根据全等三角形的性质和中点坐标公式可得 B（-16,8），D（-8,4），将 D 代入反比例函数解析式可得 k，设 E（a，8），将点 E 坐标代入反比例函数解析式，可得 E（-4，8）；根据三角形面积公式分别求得 SOCE和 SOAB ，
32、从而得 SOCE：SOAB.2（2018广西桂林3 分）如图，矩形 OABC 的边 AB 与 x 轴交于点 D，与反比例函数(k0)在第一象限的图像交于点 E，AOD=30，点 E 的纵坐标为 1，ODE 的面积是，则 k 的值是_ 【答案】【解析】分析：过 E 作 EFx 轴，垂足为 F，则 EF=1，易求DEF=30，从而 DE=，根据 ODE 的面积是求出 OD=，从而 OF=3，所以 k=3.详解：过 E 作 EFx 轴，垂足为 F，点 E 的纵坐标为 1，EF=1，ODE 的面积是 OD=，四边形 OABC 是矩形，且AOD=30,DEF=30,DF=OF=3，k=3.故答案为 3.
33、点睛：本题考查了反比例函数解析式的求法，求出点 E 的坐标是解题关键.3（2018广东广州3 分）如图，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（3，0），（-2，0）点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是_。【答案】（5，4）【考点】坐标与图形性质，菱形的性质，矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：A（3，0），B（-2，0）,AB=5，AO=3，BO=2，又四边形 ABCD 为菱形，AD=CD=BC=AB=5，在 RtAOD 中，OD=4，作 CEx 轴，四边形 OECD 为矩形，CE=OD=4，OE=CD=5，C（-5,4）.故答案为：（-5,4）.【分析】根据 A、B 两点坐标
34、可得出菱形 ABCD 边长为 5，在 RtAOD 中，根据勾股定理可求出 OD=4；作 CEx 轴，可得四边形 OECD 为矩形，根据矩形性质可得 C 点坐标.4（2018广东深圳3 分）如图，四边形 ACFD 是正方形，CEA 和ABF 都是直角且点 E、A、B 三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是_【答案】8 【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质 【解析】【解答】解：四边形 ACFD 是正方形，CAF=90，AC=AF，CAE+FAB=90，又CEA 和ABF 都是直角，CAE+ACE=90，ACE=FAB，在ACE 和FAB 中，,ACEFAB（AAS），AB=4，CE=AB=
35、4，S 阴影=SABC=ABCE=44=8.故答案为：8.【分析】根据正方形的性质得CAF=90，AC=AF，再根据三角形内角和和同角的余角相等得ACE=FAB，由全等三角形的判定 AAS 得ACEFAB，由全等三角形的性质得 CE=AB=4，根据三角形的面积公式即可得阴影部分的面积.5（2018广东广州3 分）如图 9，CE 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的垂直平分线，垂足为点 O，CE 与 DA 的延长线交于点 E，连接 AC，BE，DO，DO 与 AC 交于点 F，则下列结论：四边形 ACBE 是菱形；ACD=BAE AF：BE=2：3 其中正确的结论有_。（填写所有正确结论的序号
36、）【答案】【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：CE 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的垂直平分线，AO=BO,AOE=BOC=90,BCAE，AE=BE，CA=CB，OAE=OBC，AOEBOC（ASA），AE=BC，AE=BE=CA=CB，四边形 ACBE 是菱形，故正确.由四边形 ACBE 是菱形，AB 平分CAE，CAO=BAE，又四边形 ABCD 是平行四边形，BACD，CAO=ACD，ACD=BAE.故正确.CE 垂直平分线 AB，O 为 AB 中点，又四边形 ABCD 是平行四边形，B
37、ACD，AO=AB=CD，AFOCFD，=，AF:AC=1:3,AC=BE，AF:BE=1:3,故错误.CDOC,由知 AF:AC=1:3,=CDOC=,=+=,故正确.故答案为：.【分析】根据平行四边形和垂直平分线的性质得 AO=BO,AOE=BOC=90,BCAE，AE=BE，CA=CB，根据 ASA 得AOEBOC，由全等三角形性质得 AE=CB，根据四边相等的四边形是菱形得出正确.由菱形性质得CAO=BAE，根据平行四边形的性质得 BACD，再由平行线的性质得CAO=ACD，等量代换得ACD=BAE；故正确.根据平行四边形和垂直平分线的性质得 BACD，AO=AB=CD，从而得AFOC
38、FD，由相似三角形性质得=，从而得出 AF:AC=1:3,即 AF:BE=1:3,故错误.由 三 角 形 面 积 公 式 得 CDOC,从 知AF:AC=1:3,所 以=+=,从 而 得 出 故正确.6（2018四川宜宾3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，CB=2，点 E 为线段 AB 上的动点，将CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）当 E 为线段 AB 中点时，AFCE；当 E 为线段 AB 中点时，AF=；当 A、F、C 三点共线时，AE=；当 A、F、C 三点共线时，CEFAEF 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）
39、；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图 1 中，当 AE=EB 时，AE=EB=EF，EAF=EFA，CEF=CEB，BEF=EAF+EFA，BEC=EAF，AFEC，故正确，作 EMAF，则 AM=FM，在 RtECB 中，EC=，AME=B=90，EAM=CEB，CEBEAM，=，=，AM=，AF=2AM=，故正确，如图 2 中，当 A、F、C 共线时，设 AE=x 则 EB=EF=3x，AF=2，在 RtAEF 中，AE2=AF2+EF2，x2=（2）2+（3x）2，x=，AE=，故正确，如果，CEFAEF，则EAF=ECF=E
40、CB=30，显然不符合题意，故错误，故答案为【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题 7（2018四川自贡4 分）如图，在ABC 中，AC=BC=2，AB=1，将它沿 AB 翻折得到ABD，则四边形 ADBC 的形状是 菱 形，点 P、E、F 分别为线段 AB、AD、DB 的任意点，则 PE+PF的最小值是 【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出 F 关于 AB 的对称点 M，再过 M 作 MEAD，交 ABA 于点 P，此时 PE+PF 最小，求出 ME 即可【解答】
41、解：ABC 沿 AB 翻折得到ABD，AC=AD，BC=BD，AC=BC，AC=AD=BC=BD，四边形 ADBC 是菱形，故答案为菱；如图 作出 F 关于 AB 的对称点 M，再过 M 作 MEAD，交 ABA 于点 P，此时 PE+PF 最小，此时 PE+PF=ME，过点 A 作 ANBC，ADBC，ME=AN，作 CHAB，AC=BC，AH=，由勾股定理可得，CH=，可得，AN=，ME=AN=，PE+PF 最小为，故答案为【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键 8（2018湖北荆门3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy
42、中，函数 y=（k0，x0）的图象经过菱形 OACD 的顶点 D 和边 AC 的中点 E，若菱形 OACD 的边长为 3，则 k 的值为 【分析】过 D 作 DQx 轴于 Q，过 C 作 CMx 轴于 M，过 E 作 EFx 轴于 F，设 D 点的坐标为（a，b），求出 C、E 的坐标，代入函数解析式，求出 a，再根据勾股定理求出 b，即可请求出答案【解答】解：过 D 作 DQx 轴于 Q，过 C 作 CMx 轴于 M，过 E 作 EFx 轴于 F，设 D 点的坐标为（a，b）则 C 点的坐标为（a+3，b），E 为 AC 的中点，EF=CM=b，AF=AM=OQ=a，E 点的坐标为（3+a，
43、b），把 D、E 的坐标代入 y=得：k=ab=（3+a）b，解得：a=2，在 RtDQO 中，由勾股定理得：a2+b2=32，即 22+b2=9，解得：b=（负数舍去），k=ab=2，故答案为：2【点评】本题考查了勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等知识点，能得出关于 a、b 的方程是解此题的关键 9（2018株洲市3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交点 O，AC10，P、Q 分别为 AO、AD 的中点，则 PQ 的的长度为_.【答案】2.5【解析】分析：根据矩形的性质可得 AC=BD=10，BO=DO=BD=5，再根据三角形中位线定理可得 PQ=DO
44、=2.5 详解：四边形 ABCD 是矩形，AC=BD=10，BO=DO=BD，OD=BD=5，点 P、Q 是 AO，AD 的中点，PQ 是AOD 的中位线，PQ=DO=2.5 故答案为：2.5 点睛：此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分 10（2018山东青岛3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、F 分别在 AD、DC上，AE=DF=2，BE 与 AF 相交于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为 【分析】根据正方形的四条边都相等可得 AB=AD，每一个角都是直角可得BAE=D=90，然后利用“边角边”证
45、明ABEDAF 得ABE=DAF，进一步得AGE=BGF=90，从而知 GH=BF，利用勾股定理求出 BF 的长即可得出答案【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，BAE=D=90，AB=AD，在ABE 和DAF 中，ABEDAF（SAS），ABE=DAF，ABE+BEA=90，DAF+BEA=90，AGE=BGF=90，点 H 为 BF 的中点，GH=BF，BC=5、CF=CDDF=52=3，BF=，GH=BF=，故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键 11.（2018山东威海8 分）如
46、图，将矩形 ABCD（纸片）折叠，使点 B 与 AD 边上的点 K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕已知1=67.5，2=75，EF=+1，求 BC 的长 【分析】由题意知3=18021=45、4=18022=30、BE=KE、KF=FC，作 KMBC，设 KM=x，知 EM=x、MF=x，根据 EF 的长求得 x=1，再进一步求解可得【解答】解：由题意，得：3=18021=45，4=18022=30，BE=KE、KF=FC，如图，过点 K 作 KMBC 于点 M，设 KM=x，则 EM=x、MF=x，x+x=+1，解得：x=1，EK=、KF=2，BC=BE+EF+FC=E
47、K+EF+KF=3+，BC 的长为 3+【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 12（2018北京2 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC于点 F，若4AB，3AD，则CF 的长为_ F E D C B A【答案】103 【解析】四边形 ABCD 是矩形，4ABCD，ABCD，90ADC，在 RtADC中，90ADC，225ACADCD，E 是 AB 中点，1122AEABCD，ABCD，12AFAECFCD，21033CFAC【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形
48、的性质及判定 13（2018安徽4 分）矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8.点 P 在矩形 ABCD 的内部，点 E 在边 BC上，满足PBEDBC，若APD 是等腰三角形，则 PE 的长为数_.【答案】3 或 1.2【解析】【分析】由PBEDBC，可得PBE=DBC，继而可确定点 P 在 BD 上，然后再根据APD 是等腰三角形，分 DP=DA、AP=DP 两种情况进行讨论即可得.【详解】四边形 ABCD 是矩形，BAD=C=90，CD=AB=6，BD=10，PBEDBC，PBE=DBC，点 P 在 BD 上，如图 1，当 DP=DA=8 时，BP=2，PBEDBC，PE：CD=PB：D
49、B=2：10，PE：6=2：10，PE=1.2；如图 2，当 AP=DP 时，此时 P 为 BD 中点，PBEDBC，PE：CD=PB：DB=1：2，PE：6=1：2，PE=3；综上，PE 的长为 1.2 或 3，故答案为：1.2 或 3.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点 P 在线段 BD 上是解题的关键.14（2018湖北省武汉3 分）以正方形 ABCD 的边 AD 作等边ADE，则BEC 的度数是 30或 150 【分析】分等边ADE 在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得【解答】解：如图 1，四边形 ABCD 为正方形，ADE 为等边三角形，
50、AB=BC=CD=AD=AE=DE，BAD=ABC=BCD=ADC=90，AED=ADE=DAE=60，BAE=CDE=150，又 AB=AE，DC=DE，AEB=CED=15，则BEC=AEDAEBCED=30 如图 2，ADE 是等边三角形，AD=DE，四边形 ABCD 是正方形，AD=DC，DE=DC，CED=ECD，CDE=ADCADE=9060=30，CED=ECD=（18030）=75，BEC=36075260=150 故答案为：30或 150【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键 15（2018湖南省常德3 分）
51、如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 G处，点 C 落在点 H 处，已知DGH=30，连接 BG，则AGB=75 【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，EGH=ABC=90，从而可证明EBG=EGB，然后再根据EGHEGB=EBCEBG，即：GBC=BGH，由平行线的性质可知AGB=GBC，从而易证AGB=BGH，据此可得答案【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，EGH=ABC=90，EBG=EGB EGHEGB=EBCEBG，即：GBC=BGH 又ADBC，AGB=GBC AGB=BGH DGH=30，AGH=150，AGB=AGH=75，故答案为：75
52、【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 16.（2018山东滨州5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，点 E、F 分别在 BC、CD上，若 AE=，EAF=45，则 AF 的长为 【分析】取 AB 的中点 M，连接 ME，在 AD 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，则 NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明AMEFNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出 x 的值，在直角三角形 ADF 中利用勾股定理即可求出 AF 的长【解答】解：取 AB 的中点 M，连接 ME，在 AD
53、 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，四边形 ABCD 是矩形，D=BAD=B=90，AD=BC=4，NF=x，AN=4x，AB=2，AM=BM=1，AE=，AB=2，BE=1，ME=，EAF=45，MAE+NAF=45，MAE+AEM=45，MEA=NAF，AMEFNA，解得：x=，AF=故答案为：【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，17.（2018江西3 分）在正方形中，=6，连接,是正方形边上或对角线上一点，若=2，则的长为 .【解析】本题考察动点问题，涉及直角三角形，辅助线，勾股定理，方程思想，综合性较强
54、。30图3图2图1HPPBDBDBDACCACAP 首先，要能判断符合条件的 P 点共有 3 个：如图 1，PA=2；如图 2，因为APD是直角三角形，PD=2PA,所以PDA=30，所以 PA=；如图 3，设 PH=,则 PA=,PD=,所以,所以,所以 PA=【答案】2，18（2018山东枣庄4 分）如图，在正方形 ABCD 中，AD=2，把边 BC 绕点 B 逆时针旋转30得到线段 BP，连接 AP 并延长交 CD 于点 E，连接 PC，则三角形 PCE 的面积为 95 【分析】根据旋转的思想得 PB=BC=AB，PBC=30，推出ABP 是等边三角形，得到BAP=60，AP=AB=2，
55、解直角三角形得到 CE=22，PE=42，过 P 作 PFCD 于 F，于是得到结论【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，ABC=90，把边 BC 绕点 B 逆时针旋转 30得到线段 BP，PB=BC=AB，PBC=30，ABP=60，ABP 是等边三角形，BAP=60，AP=AB=2，AD=2，AE=4，DE=2，CE=22，PE=42，过 P 作 PFCD 于 F，PF=PE=23，三角形 PCE 的面积=CEPF=（22）（23）=95，故答案为：95 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键 19（2018四川成都
56、3 分）如图，在矩形 中，按以下步骤作图：分别以点和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和；作直线 交 于点 .若 ，则 矩 形 的 对 角 线 的 长 为_【答案】【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理，作图基本作图 【解析】【解答】连接 AE，根据题意可知 MN 垂直平分 AC AE=CE=3 在 RtADE 中，AD2=AE2-DE2 AD2=9-4=5 AC2=AD2+DC2 AC2=5+25=30 AC=【分析】根据作图，可知 MN 垂直平分 AC，根据垂直平分线的性质，可求出 AE 的长，再根据勾股定理可求出 AD 的长，然后再利用勾股定理求出 AC 即可。三.解答题
57、1.（2018山西12 分）(本 题 12 分)综 合 与 实 践 问 题 情 境：在 数 学 活 动 课 上，老 师 出 示 了 这 样 一 个 问 题：如 图 1，在 矩 形 ABCD 中，AD=2AB，E 是 AB 延 长 线 上 一 点，且 BE=AB，连 接 DE，交 BC 于 点 M，以 DE 为 一 边 在 DE 的 左 下 方 作 正 方 形 DEFG，连 接 AM 试 判 断 线 段 AM 与 DE 的 位 置 关 系 探 究 展 示：勤 奋 小 组 发 现，AM 垂 直 平 分 DE，并 展 示 了 如 下 的 证 明 方 法：证 明：B E A B,AE 2 AB AD
58、2 AB,AD AE 四 边 形 ABCD 是 矩 形，AD/BC.EMEBDMAB（依 据 ）BE AB,1EMDM EM DM.即 AM 是 ADE 的 DE 边 上 的 中 线，又 AD AE,AM DE.（依 据 2）AM 垂 直 平 分 DE 反 思 交 流：(1)上 述 证 明 过 程 中 的“依 据 1”“依 据 2”分 别 是 指 什 么？试 判 断 图 中 的 点 A 是 否 在 线 段 GF 的 垂 直 平 分 上，请 直 接 回 答，不 必 证 明；(2)创 新 小 组 受 到 勤 奋 小 组 的 启 发，继 续 进 行 探 究，如 图 2，连 接 CE，以 CE 为 一
59、 边 在 CE 的 左 下 方 作 正 方 形 CEFG，发 现 点 G 在 线 段 BC 的 垂 直 平 分 线 上，请 你 给 出 证 明；探 索 发 现：(3)如 图 3，连 接 CE，以 CE 为 一 边 在 CE 的 右 上 方 作 正 方 形 CEFG，可 以发 现 点 C，点 B 都 在 线 段 AE 的 垂 直 平 分 线 上，除 此 之 外，请 观 察 矩 形 ABCD 和 正 方 形 CEFG 的 顶 点 与 边，你 还 能 发 现 哪 个 顶 点 在 哪 条 边 的 垂 直 平 分线 上，请 写 出 一 个 你 发 现 的 结 论，并 加 以 证 明.【考 点】平 行 线
60、 分 线 段 成 比 例，三 线 合 一，正 方 形、矩 形 性 质，全 等【解 析】(1)答：依 据 1：两 条 直 线 被 一 组 平 行 线 所 截，所 得 的 对 应 线 段 成 比 例（或 平 行 线 分 线 段 成 比 例）.依 据 2：等 腰 三 角 形 顶 角 的 平 分 线，底 边 上 的 中 线 及 底 边 上 的 高 互 相 重 合（或 等 腰 三 角 形 的“三 线 合 一”）.答：点 A 在 线 段 GF 的 垂 直 平 分 线 上.(2)证 明：过 点 G 作 GH BC 于 点 H，四 边 形 ABCD 是 矩 形，点 E 在 AB 的 延 长 线 上，CBE A
61、BC GHC 90.1+2=90.四 边 形 CEFG 为 正 方 形，CG CE,GCE 90.1 3 90.2=3.GHC CBE.HC BE.四 边 形 ABCD 是 矩 形，AD BC.AD 2 AB,BE AB,BC 2BE 2HC.HC BH.GH 垂 直 平 分 BC.点 G 在 BC 的 垂 直 平 分 线 上 （3）答：点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上（或 点 F 在 AD 边 的 垂 直 平 分 线 上）.证 法 一：过 点 F 作 FM BC 于 点 M，过 点 E 作 EN FM 于 点 N.BMN ENM ENF 90.四 边 形 ABCD 是 矩 形
62、，点 E 在 AB 的 延 长 线 上，CBE ABC 90.四 边 形 BENM 为 矩 形.BM EN,BEN 90.1 2 90.四 边 形 CEFG 为 正 方 形，EF EC,CEF 90.2 3 90.1=3.CBE ENF 90,ENFEBC.NE BE.BM BE.四 边 形 ABCD 是 矩 形，AD BC.AD 2 AB,AB BE.BC 2BM.BM MC.FM 垂 直 平 分 BC，点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上.证 法 二：过 F 作 FN BE 交 BE 的 延 长 线 于 点 N，连 接 FB，FC.四 边 形 ABCD 是 矩 形，点 E 在
63、AB 的 延 长 线 上，CBE=ABC=N=90.1+3=90.四 边 形 CEFG 为 正 方 形，EC=EF，CEF=90.1+2=90.2=3.ENF CBE.NF=BE,NE=BC.四 边 形 ABCD 是 矩 形，AD=BC.AD=2AB，BE=AB.设 BE=a，则 BC=EN=2a,NF=a.BF=CF.点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上.2（2018山东枣庄10 分）如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处，过点 E 作 EGCD 交 AF 于点 G，连接 DG（1）求证：四边形 EFDG 是菱形；（2）探究线段 EG、GF、
64、AF 之间的数量关系，并说明理由；（3）若 AG=6，EG=2，求 BE 的长 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明DGF=DFG，从而得到 GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明 DG=GE=DF=EF；（2）连接 DE，交 AF 于点 O由菱形的性质可知 GFDE，OG=OF=GF，接下来，证明DOFADF，由相似三角形的性质可证明 DF2=FOAF，于是可得到 GE、AF、FG 的数量关系；（3）过点 G 作 GHDC，垂足为 H利用（2）的结论可求得 FG=4，然后再ADF 中依据勾股定理可求得 AD 的长，然后再证明FGHFAD，利用相似三角形的性质可求得 GH 的长，最
65、后依据 BE=ADGH 求解即可【解答】解：（1）证明：GEDF，EGF=DFG 由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，DGF=EGF，DGF=DFG GD=DF DG=GE=DF=EF 四边形 EFDG 为菱形（2）EG2=GFAF 理由：如图 1 所示：连接 DE，交 AF 于点 O 四边形 EFDG 为菱形，GFDE，OG=OF=GF DOF=ADF=90，OFD=DFA，DOFADF，即 DF2=FOAF FO=GF，DF=EG，EG2=GFAF（3）如图 2 所示：过点 G 作 GHDC，垂足为 H EG2=GFAF，AG=6，EG=2，20=FG（FG+6），整理得：FG2+6
66、FG40=0 解得：FG=4，FG=10（舍去）DF=GE=2，AF=10，AD=4 GHDC，ADDC，GHAD FGHFAD，即=GH=BE=ADGH=4=【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到 DF2=FOAF 是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得 GH 的长是解答问题（3）的关键 3（2018山东淄博8 分）如图，以 AB 为直径的O 外接于ABC，过 A 点的切线 AP 与 BC的延长线交于点 P，APB 的平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，
67、其中 AE，BD（AEBD）的长是一元二次方程 x25x+6=0 的两个实数根（1）求证：PABD=PBAE；（2）在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由 【考点】MR：圆的综合题【分析】（1）易证APE=BPD，EAP=B，从而可知PAEPBD，利用相似三角形的性质即可求出答案（2）过点 D 作 DFPB 于点 F，作 DGAC 于点 G，易求得 AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知 cosBDF=cosBAC=cosAPC=，从而可求出 AD 和 DG 的长度，进而证明四边形ADFE 是菱形，此时 F 点即
68、为 M 点，利用平行四边形的面积即可求出菱形 ADFE 的面积【解答】解：（1）DP 平分APB，APE=BPD，AP 与O 相切，BAP=BAC+EAP=90，AB 是O 的直径，ACB=BAC+B=90，EAP=B，PAEPBD，PABD=PBAE；（2）过点 D 作 DFPB 于点 F，作 DGAC 于点 G，DP 平分APB，ADAP，DFPB，AD=DF，EAP=B，APC=BAC，易证：DFAC，BDF=BAC，由于 AE，BD（AEBD）的长是 x25x+6=0，解得：AE=2，BD=3，由（1）可知：，cosAPC=，cosBDF=cosAPC=，DF=2，DF=AE，四边形
69、ADFE 是平行四边形，AD=AE，四边形 ADFE 是菱形，此时点 F 即为 M 点，cosBAC=cosAPC=，sinBAC=，DG=，在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形 其面积为：DGAE=2=【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力 4.（2018江苏扬州10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，DB=DA，点 F 是 AB 的中点，连接 DF 并延长，交 CB 的延长线于点 E，连接 AE（1）求证：四边形 AEBD 是菱形；（2）
70、若 DC=，tanDCB=3，求菱形 AEBD 的面积 【分析】（1）由AFDBFE，推出 AD=BE，可知四边形 AEBD 是平行四边形，再根据 BD=AD可得结论；（2）解直角三角形求出 EF 的长即可解决问题；【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADCE，DAF=EBF，AFD=EFB，AF=FB，AFDBFE，AD=EB，ADEB，四边形 AEBD 是平行四边形，BD=AD，四边形 AEBD 是菱形 （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，CD=AB=，ABCD，ABE=DCB，tanABE=tanDCB=3，四边形 AEBD 是菱形，ABDE，AF=FB，EF=DF
71、，tanABE=3，BF=，EF=，DE=3，S 菱形 AEBD=ABDE=3=15 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 5（2018江苏盐城10 分）在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点、满足，连接、，如图所示.（1）求证：；（2）试判断四边形 的形状，并说明理由.21.【答案】（1）解：证明：在正方形 ABCD 中，AB=AD，ABD=ADB=45，则ABE=ADF=135，又BE=DF，ABEADF。（2）解：解：四边形 AECF 是菱形。理由如下：由（1）得ABEADF，A
72、E=AF。在正方形 ABCD 中，CB=CD，CBD=CDB=45，则CBE=CDF=135，双BE=DF，CBECDF。CE=CF。BE=BE，CBE=ABE=135，CB=AB，CBEABE。CE=AE，CE=AE=AF=CF，四边形 AECF 是菱形。【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的判定，正方形的性质 【解析】【分析】（1）由正方形 ABCD 的性质可得 AB=AD，ABD=ADB=45，由等角的补角相等可得ABE=ADF=135，又由已知 BE=DF，根据“SAS”可判定全等；（2）由（1）的全等可得 AE=AF，则可猜测四边形 AECF 是菱形；由（1）的思路可证明CBEABE
73、，得到CE=AE；不难证明CBEABE，可得 CE=AE，则可根据“四条边相等的四边形是菱形”来判定即可。3.6（2018湖北省宜昌8 分）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D，交 BC 于点 E，延长 AE 至点 F，使 EF=AE，连接 FB，FC（1）求证：四边形 ABFC 是菱形；（2）若 AD=7，BE=2，求半圆和菱形 ABFC 的面积 【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）设 CD=x，连接 BD利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：AB 是直径，A
74、EB=90，AEBC，AB=AC，BE=CE，AE=EF，四边形 ABFC 是平行四边形，AC=AB，四边形 ABFC 是菱形（2）设 CD=x连接 BDAB 是直径，ADB=BDC=90，AB2AD2=CB2CD2，（7+x）272=42x2，解得 x=1 或8（舍弃）AC=8，BD=，S 菱形 ABFC=8 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 7（2018湖北省宜昌11 分）在矩形 ABCD 中，AB=12，P 是边 AB 上一点，把PB
75、C 沿直线PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G，过点 B 作 BECG，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F（1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证：AEBDEC；（2）如图 2，求证：BP=BF；当 AD=25，且 AEDE 时，求 cosPCB 的值；当 BP=9 时，求 BEEF 的值 【分析】（1）先判断出A=D=90，AB=DC 再判断出 AE=DE，即可得出结论；（2）利用折叠的性质，得出PGC=PBC=90，BPC=GPC，进而判断出GPF=PFB即可得出结论；判断出ABEDEC，得出比例式建立方程求解即可得出 AE=9，DE=16，再判断出ECFGCP
76、，进而求出 PC，即可得出结论；判断出GEFEAB，即可得出结论【解答】解：（1）在矩形 ABCD 中，A=D=90，AB=DC，E 是 AD 中点，AE=DE，在ABE 和DCE 中，ABEDCE（SAS）；（2）在矩形 ABCD，ABC=90，BPC 沿 PC 折叠得到GPC，PGC=PBC=90，BPC=GPC，BECG，BEPG，GPF=PFB，BPF=BFP，BP=BF；当 AD=25 时，BEC=90，AEB+CED=90，AEB+ABE=90，CED=ABE，A=D=90，ABEDEC，设 AE=x，DE=25x，x=9 或 x=16，AEDE，AE=9，DE=16，CE=20，
77、BE=15，由折叠得，BP=PG，BP=BF=PG，BEPG，ECFGCP，设 BP=BF=PG=y，y=，BP=，在 RtPBC 中，PC=，cosPCB=；如图，连接 FG，GEF=BAE=90，BFPG，BF=PG，BPGF 是菱形，BPGF，GFE=ABE，GEFEAB，BEEF=ABGF=129=108【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键 8.（2018山东青岛8 分）已知：如图，平行四边形 ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，点 G 为 AD 的中点，连接 CG
78、，CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F，连接 FD（1）求证：AB=AF；（2）若 AG=AB，BCD=120，判断四边形 ACDF 的形状，并证明你的结论 【分析】（1）只要证明 AB=CD，AF=CD 即可解决问题；（2）结论：四边形 ACDF 是矩形根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，BECD，AB=CD，AFC=DCG，GA=GD，AGF=CGD，AGFDGC，AF=CD，AB=CF （2）解：结论：四边形 ACDF 是矩形 理由：AF=CD，AFCD，四边形 ACDF 是平行四边形，四边形 ABCD 是平行四边形，BAD=
79、BCD=120，FAG=60，AB=AG=AF，AFG 是等边三角形，AG=GF，AGFDGC，FG=CG，AG=GD，AD=CF，四边形 ACDF 是矩形【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 9（2018山东泰安11 分）如图，ABC 中，D 是 AB 上一点，DEAC 于点 E，F 是 AD 的中点，FGBC 于点 G，与 DE 交于点 H，若 FG=AF，AG 平分CAB，连接 GE，CD（1）求证：ECGGHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC请你帮助小亮同学证明这一结论（
80、3）若B=30，判定四边形 AEGF 是否为菱形，并说明理由 【分析】（1）依据条件得出C=DHG=90，CGE=GED，依据 F 是 AD 的中点，FGAE，即可得到 FG 是线段 ED 的垂直平分线，进而得到 GE=GD，CGE=GDE，利用 AAS 即可判定ECGGHD；（2）过点 G 作 GPAB 于 P，判定CAGPAG，可得 AC=AP，由（1）可得 EG=DG，即可得到 RtECGRtGPD，依据 EC=PD，即可得出 AD=AP+PD=AC+EC；（3）依据B=30，可得ADE=30，进而得到 AE=AD，故 AE=AF=FG，再根据四边形 AECF是平行四边形，即可得到四边形
81、 AEGF 是菱形【解答】解：（1）AF=FG，FAG=FGA，AG 平分CAB，CAG=FGA，CAG=FGA，ACFG，DEAC，FGDE，FGBC，DEBC，ACBC，C=DHG=90，CGE=GED，F 是 AD 的中点，FGAE，H 是 ED 的中点，FG 是线段 ED 的垂直平分线，GE=GD，GDE=GED，CGE=GDE，ECGGHD；（2）证明：过点 G 作 GPAB 于 P，GC=GP，而 AG=AG，CAGPAG，AC=AP，由（1）可得 EG=DG，RtECGRtGPD，EC=PD，AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形 AEGF 是菱形，证明：B=30，ADE=3
82、0，AE=AD，AE=AF=FG，由（1）得 AEFG，四边形 AECF 是平行四边形，四边形 AEGF 是菱形 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含 30角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键 10（2018山东潍坊8 分）如图，点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点，连接 AM，作 DEAM于点 E，BFAM 于点 F，连接 BE（1）求证：AE=BF；（2）已知 AF=2，四边形 ABED 的面积为 24，求EBF 的正弦值 【分析】（1）通过证明ABFDEA 得
83、到 BF=AE；（2）设 AE=x，则 BF=x，DE=AF=2，利用四边形 ABED 的面积等于ABE 的面积与ADE 的面积之和得到xx+x2=24，解方程求出 x 得到 AE=BF=6，则 EF=x2=4，然后利用勾股定理计算出 BE，最后利用正弦的定义求解【解答】（1）证明：四边形 ABCD 为正方形，BA=AD，BAD=90，DEAM 于点 E，BFAM 于点 F，AFB=90，DEA=90，ABF+BAF=90，EAD+BAF=90，ABF=EAD，在ABF 和DEA 中，ABFDEA（AAS），BF=AE；（2）解：设 AE=x，则 BF=x，DE=AF=2，四边形 ABED 的
84、面积为 24，xx+x2=24，解得 x1=6，x2=8（舍去），EF=x2=4，在 RtBEF 中，BE=2，sinEBF=【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题也考查了解直角三角形 11.（2018甘肃白银，定西，武威）已知矩形中，是边上的一个动点，点，分别是，的中点.（1）求证：；（2）设，当四边形是正方形时，求矩形的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据点 F,H 分别是 BC,CE 的中点，根据中位线的性质有 FHBE，点 G 是 BE
85、的中点，即可证明BGF FHC（2）当四边形 EGFH 是正方形时，可知 EFGH 且证明，即可求出矩形的面积.【解答】（1）点 F,H 分别是 BC,CE 的中点，FHBE，又点 G 是 BE 的中点，又，BGF FHC（2）当四边形 EGFH 是正方形时，可知 EFGH 且 在BEC 中，点 G，H 分别是 BE,EC 的中点,且 GHBC,又ADBC,ABBC,，【点评】考查中位线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.12（2018北京5 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC，BD交于点O，AC 平分BAD，过点C
86、 作CEAB交 AB 的延长线于点 E，连接OE （1）求证：四边形 ABCD 是菱形；（2）若5AB，2BD，求OE 的长 OEDCBA【解析】（1）证明：ABCD CABACD AC 平分BAD CABCAD CADACD ADCD 又 ADAB ABCD 又 ABCD 四边形 ABCD 是平行四边形 又 ABAD ABCDY是菱形（2）解：四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 交于点O ACBD12OAOCAC，12OBODBD，112OBBD 在 RtAOB中，90AOB 222OAABOB CEAB，90AEC 在 RtAEC中，90AEC O 为 AC 中点 122OEAC
87、OA【考点】菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边中线 13（2018北京7 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点 A，B 重合），连接 DE，点 A 关于直线 DE 的对称点为 F，连接 EF 并延长交 BC 于点G，连接DG，过点 E 作 EHDE交 DG 的延长线于点 H，连接 BH （1）求证：GFGC；（2）用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明 GHFEDCBA【解析】（1）证明：连接 DF A，F 关于 DE 对称 ADFD AEFE 在ADE和FDE中 ADFDAEFEDEDE ADEFDE DAEDFE 四边形 ABCD 是正方
88、形 90AC ADCD 90DFEA 18090DFGDFE DFGC ADDF ADCD DFCD 在 RtDCG和 RtDFG DCDFDGDG RtDCG RtDFG CGFG（2）2BHAE 证明：在 AD 上取点 M 使得 AMAE，连接 ME 四这形 ABCD 是正方形 ADAB90AADC DAEDFE ADEFDE 同理：CDGFDG EDGEDFGDF 1122ADFCDF 1452ADC DEEH 90DEH 18045EHDDEHEDH EHDEDH DEEH ABCDEFHGMGHFEDCBA90A 90ADEAED 90DEH 90AEDBEH ADEBEH ADAB
89、 AMAE DMEB 在DME和EBH中 DMEBMDEBEHDEEH DMEEBH MEBH 在 RtAME中，90A，AEAM 222MEAEAMAE 2BHAE【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定 14（2018浙江舟山6 分）如图，等边AEF 的顶点 E，F 在矩形 ABCD 的边 BC，CD 上，且CEF=45。求证：矩形 ABCD 是正方形 【考点】三角形全等的判定，矩形的性质，正方形的判定 【解析】【分析】证明矩形 ABCD 是正方形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，则可证一组邻边相等【解答】四边形 ABCD 是矩形，B=D=C
90、=90 AEF 是等边三角形 AE=AF，AEF=AFE=60，又CEF=45，CFE=CEF=45，AFD=AEB=180-45-60=75，AEBAFD（AAS），AB=AD,矩形 ABCD 是正方形。.【点评】本题考查三角形全等的判定，矩形的性质，正方形的判定，属中档题.15.（2018广东广州12 分）如图，在四边形 ABCD 中，B=C=90，ABCD，AD=AB+CD（1）利用尺规作ADC 的平分线 DE，交 BC 于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，证明：AEDE；若 CD=2，AB=4，点 M，N 分别是 AE，AB 上的动点，求 BM+MN
91、的最小值。【答案】（1）（2）证明：在 AD 上取一点 F 使 DF=DC，连接 EF，DE 平分ADC，FDE=CDE，在FED 和CDE 中，DF=DC，FDE=CDE，DE=DE FEDCDE（SAS），DFE=DCE=90，AFE=180-DFE=90 DEF=DEC，AD=AB+CD，DF=DC，AF=AB，在 RtAFERtABE（HL）AEB=AEF，AED=AEF+DEF=CEF+BEF=（CEF+BEF）=90。AEDE 解：过点 D 作 DPAB 于点 P，由可知，B，F 关于 AE 对称，BM=FM，BM+MN=FM+MN，当 F，M，N 三点共线且 FNAB 时，有最小
92、值，DPAB，AD=AB+CD=6，DPB=ABC=C=90，四边形 DPBC 是矩形，BP=DC=2，AP=AB-BP=2，在 RtAPD 中，DP=，FNAB，由可知 AF=AB=4，FNDP，AFNADP ，即，解得 FN=，BM+MN 的最小值为 【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作图基本作图，轴对称的应用-最短距离问题，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据角平分的做法即可画出图.（2）在 AD 上取一点 F 使 DF=DC，连接 EF；角平分线定义得FDE=CDE；根据全等三角形判定 SAS 得FEDCDE，再由全等三角形性质和补角定义得DFE=DCE=
93、AFE=90，DEF=DEC；再由直角三角形全等的判定 HL 得 RtAFERtABE，由全等三角形性质得AEB=AEF，再由补角定义可得 AEDE.过点 D 作 DPAB 于点 P；由可知，B，F 关于 AE 对称，根据对称性质知 BM=FM，当 F，M，N 三点共线且 FNAB 时，有最小值，即 BM+MN=FM+MN=FN；在 RtAPD 中，根据勾股定理得 DP=；由相似三角形判定得AFNADP，再由相似三角形性质得，从而求得 FN，即 BM+MN 的最小值.16.（2018广东深圳8 分）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角
94、形的亲密菱形，如图，在CFE 中，CF=6,CE=12,FCE=45,以点 C 为圆心，以任意长为半径作 AD，再分别以点 A 和点 D 为圆心，大于 AD 长为半径做弧，交 于点 B,ABCD.（1）求证：四边形 ACDB 为CFE 的亲密菱形；（2）求四边形 ACDB 的面积.【答案】（1）证明：由已知得：AC=CD,AB=DB,由已知尺规作图痕迹得：BC 是FCE 的角平分线,ACB=DCB，又ABCD,ABC=DCB，ACB=ABC，AC=AB，又AC=CD,AB=DB,AC=CD=DB=BA，四边形 ACDB 是菱形，又ACD 与FCE 中的FCE 重合，它的对角ABD 顶点在 EF
95、 上，四边形 ACDB 为FEC 的亲密菱形.（2）解：设菱形 ACDB 的边长为 x，CF=6,CE=12,FA=6-x，又ABCE,FABFCE,即，解得：x=4，过点 A 作 AHCD 于点 H,在 RtACH 中，ACH=45,sinACH=,AH=4=2,四边形 ACDB 的面积为：.【考点】菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）依题可得：AC=CD,AB=DB,BC 是FCE 的角平分线,根据角平分线的定义和平行线的性质得ACB=ABC，根据等角对等边得 AC=AB，从而得 AC=CD=DB=BA，根据四边相等得四边形是菱形即可得四边形 ACDB 是菱形；
96、再根据题中的新定义即可得证.（2）设菱形 ACDB 的边长为 x，根据已知可得 CF=6,CE=12,FA=6-x，根据相似三角形的判定和性质可得，解得：x=4,过点 A 作 AHCD 于点 H,在 RtACH 中，根据锐角三角形函数正弦的定义即可求得 AH,再由四边形的面积公式即可得答案.17.（2018广东6 分）如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，CBD=75，（1）请用尺规作图法，作 AB 的垂直平分线 EF，垂足为 E，交 AD 于 F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接 BF，求DBF 的度数 【分析】（1）分别以 A、B 为圆心，大于AB 长为半径画弧，
97、过两弧的交点作直线即可；（2）根据DBF=ABDABF 计算即可；【解答】解：（1）如图所示，直线 EF 即为所求；（2）四边形 ABCD 是菱形，ABD=DBC=ABC=75，DCAB，A=C ABC=150，ABC+C=180，C=A=30，EF 垂直平分线线段 AB，AF=FB，A=FBA=30，DBF=ABDFBE=45【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型 18.（2018广东7 分）如图，矩形 ABCD 中，ABAD，把矩形沿对角线 AC 所在直线折叠，使点 B 落在点 E 处，AE 交 CD 于点
98、 F，连接 DE（1）求证：ADECED；（2）求证：DEF 是等腰三角形 【分析】（1）根据矩形的性质可得出 AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出 AD=CE、AE=CD，进而即可证出ADECED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出DEF=EDF，利用等边对等角可得出 EF=DF，由此即可证出DEF 是等腰三角形【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是矩形，AD=BC，AB=CD 由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，AD=CE，AE=CD 在ADE 和CED 中，ADECED（SSS）（2）由（1）得ADECED，DEA=EDC，即DEF=EDF，EF=DF，DEF 是
99、等腰三角形 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出 AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出DEF=EDF 19（2018 年四川省内江市）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E，F 分别是 AB，BC 上的点，AE=CF，并且AED=CFD 求证：（1）AEDCFD；（2）四边形 ABCD 是菱形 【考点】L9：菱形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质【分析】（1）由全等三角形的判定定理 ASA 证得结论；（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论【解答】（1）
100、证明：四边形 ABCD 是平行四边形，A=C 在AED 与CFD 中，AEDCFD（ASA）；（2）由（1）知，AEDCFD，则 AD=CD 又四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABCD 是菱形 【点评】考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关的性质与定理 20（2018株洲市）如图，在 RtABM 和 RtADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD，其中AM=AN.(1)求证：RtABMRtAND (2)线段 MN 与线段 AD 相交于 T，若 AT=,求的值 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）利用 HL 证明即可；（2
101、）证明DNTAMT，可得，由 AT=AD，推出，在 RtABM 中，tanABM=详解：（1）AD=AB，AM=AN，AMB=AND=90 RtABMRtAND（HL）（2）由 RtABMRtAND 易得：DAN=BAM，DN=BM BAM+DAM=90；DAN+ADN=90 DAM=AND NDAM DNTAMT AT=AD，RtABM tanABM=点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 21.（2018 年江苏省南京市）如图，在四边形 ABCD 中，BC=CD，C=2BADO 是四边形ABCD
102、内一点，且 OA=OB=OD求证：（1）BOD=C；（2）四边形 OBCD 是菱形 【分析】（1）延长 AO 到 E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；（2）连接 OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可【解答】证明：（1）延长 OA 到 E，OA=OB，ABO=BAO，又BOE=ABO+BAO，BOE=2BAO，同理DOE=2DAO，BOE+DOE=2BAO+2DAO=2（BAO+DAO）即BOD=2BAD，又C=2BAD，BOD=C；（2）连接 OC，OB=OD，CB=CD，OC=OC，OBCODC，BOC=DOC，BCO=DCO，BOD=BOC+DOC，BCD=BCO+D
103、CO，BOC=BOD，BCO=BCD，又BOD=BCD，BOC=BCO，BO=BC，又 OB=OD，BC=CD，OB=BC=CD=DO，四边形 OBCD 是菱形【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答 22（2018 年江苏省泰州市12 分）对给定的一张矩形纸片 ABCD 进行如下操作：先沿 CE 折叠，使点 B 落在 CD 边上（如图），再沿 CH 折叠，这时发现点 E 恰好与点 D 重合（如图）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开 如图，折叠该矩形纸片，使点 C 与点 H 重合，折痕与 AB 相交于点 P，再将该矩形纸片展开求证：H
104、PC=90；不借助工具，利用图探索一种新的折叠方法，找出与图中位置相同的 P 点，要求只有一条折痕，且点 P 在折痕上，请简要说明折叠方法（不需说明理由）【分析】（1）依据BCE 是等腰直角三角形，即可得到 CE=BC，由图，可得 CE=CD，而 AD=BC，即可得到 CD=AD，即=；（2）由翻折可得，PH=PC，即 PH2=PC2，依据勾股定理可得 AH2+AP2=BP2+BC2，进而得出 AP=BC，再根据 PH=CP，A=B=90，即可得到 RtAPHRtBCP（HL），进而得到CPH=90；由 AP=BC=AD，可得ADP 是等腰直角三角形，PD 平分ADC，故沿着过 D 的直线翻折
105、，使点 A 落在 CD 边上，此时折痕与 AB 的交点即为 P；由BCE=PCH=45，可得BCP=ECH，由DCE=PCH=45，可得PCE=DCH，进而得到 CP 平分BCE，故沿着过点 C 的直线折叠，使点 B 落在 CE 上，此时，折痕与 AB 的交点即为 P【解答】解：（1）由图，可得BCE=BCD=45，又B=90，BCE 是等腰直角三角形，=cos45=，即 CE=BC，由图，可得 CE=CD，而 AD=BC，CD=AD，=；（2）设 AD=BC=a，则 AB=CD=a，BE=a，AE=（1）a，如图，连接 EH，则CEH=CDH=90，BEC=45，A=90，AEH=45=AH
106、E，AH=AE=（1）a，设 AP=x，则 BP=ax，由翻折可得，PH=PC，即 PH2=PC2，AH2+AP2=BP2+BC2，即（1）a2+x2=（ax）2+a2，解得 x=a，即 AP=BC，又PH=CP，A=B=90，RtAPHRtBCP（HL），APH=BCP，又RtBCP 中，BCP+BPC=90，APH+BPC=90，CPH=90；折法：如图，由 AP=BC=AD，可得ADP 是等腰直角三角形，PD 平分ADC，故沿着过 D 的直线翻折，使点 A 落在 CD 边上，此时折痕与 AB 的交点即为 P；折法：如图，由BCE=PCH=45，可得BCP=ECH，由DCE=PCH=45，
107、可得PCE=DCH，又DCH=ECH，BCP=PCE，即 CP 平分BCE，故沿着过点 C 的直线折叠，使点 B 落在 CE 上，此时，折痕与 AB 的交点即为 P 【点评】本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等解题时常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案 23（2018湖南省永州市12 分）如图 1，在ABC 中，矩形 EFGH 的一边 EF 在 AB
108、上，顶点 G、H 分别在 BC、AC 上，CD 是边 AB 上的高，CD 交 GH 于点 I若 CI=4，HI=3，AD=矩形 DFGI恰好为正方形 （1）求正方形 DFGI 的边长；（2）如图 2，延长 AB 至 P使得 AC=CP，将矩形 EFGH 沿 BP 的方向向右平移，当点 G 刚好落在 CP 上时，试判断移动后的矩形与CBP 重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图 3，连接 DG，将正方形 DFGI 绕点 D 顺时针旋转一定的角度得到正方形 DFGI，正方形 DFGI分别与线段 DG、DB 相交于点 M，N，求MNG的周长【分析】（1）由 HIAD，得到=，求出 AD
109、 即可解决问题；（2）如图 2 中，设等 G 落在 PC 时对应的点为 G，点 F 的对应的点为 F求出 IG和 BD的长比较即可判定；（3）如图 3 中，如图将DMI绕点 D 逆时针旋转 90得到DFR，此时 N、F、R 共线想办法证明 MN=MI+NF，即可解决问题；【解答】解：（1）如图 1 中，HIAD，=，=，AD=6，ID=CDCI=2，正方形的边长为 2 （2）如图 2 中，设等 G 落在 PC 时对应的点为 G，点 F 的对应的点为 F CA=CP，CDPA，ACD=PCD，A=P，HGPA，CHG=A，CGH=P，CHG=CGH，CH=CG，IH=IG=DF=3，IGDB，=
110、，=，DB=3，DB=DF=3，点 B 与点 F重合，移动后的矩形与CBP 重叠部分是BGG，移动后的矩形与CBP 重叠部分的形状是三角形 （3）如图 3 中，如图将DMI绕点 D 逆时针旋转 90得到DFR，此时 N、F、R 共线 MDN=NDF+MDI=NDF+DFR=NDR=45，DN=DN，DM=DR，NDMNDR，MN=NR=NF+RF=NF+MI，MNG的周长=MN+MG+NG=MG+MI+NG+FR=2IG=4【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构
111、造全等三角形解决问题，属于中考压轴题 24（2018株洲市）如图，在 RtABM 和 RtADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD，其中AM=AN.(1)求证：RtABMRtAND (2)线段 MN 与线段 AD 相交于 T，若 AT=,求的值 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）利用 HL 证明即可；（2）证明DNTAMT，可得，由 AT=AD，推出，在 RtABM 中，tanABM=详解：（1）AD=AB，AM=AN，AMB=AND=90 RtABMRtAND（HL）（2）由 RtABMRtAND 易得：DAN=BAM，DN=BM BAM+DAM=90；DAN+ADN=90 DAM=AND NDAM DNTAMT AT=AD，RtABM tanABM=点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
