1、一元一次方程及其应用 一、选择题 1 （2018湖北省武汉3 分）将正整数 1 至 2018 按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A2019 B2018 C2016 D2013【分析】设中间数为 x，则另外两个数分别为 x1、x+1，进而可得出三个数之和为 3x，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出 x 的值，由 x 为整数、x 不能为第一列及第八列数，即可确定 x 值，此题得解【解答】解：设中间数为 x，则另外两个数分别为 x1、x+1，三个数之和为（x1）+x+（x+1）=3x 根据题意得：3x=2019、3x=2018、3x=2016、3x=2013，
2、解得：x=673，x=672（舍去），x=672，x=671 673=848+1，2019 不合题意，舍去；672=848，2016 不合题意，舍去；671=837+7，三个数之和为 2013 故选：D【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 2（2018湖北恩施3 分）一商店在某一时间以每件 120 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 20%，另一件亏损 20%，在这次买卖中，这家商店（）A不盈不亏 B盈利 20 元 C亏损 10 元 D亏损 30 元【分析】设两件衣服的进价分别为 x、y 元，根据利润=销售收入进价，即可分
3、别得出关于 x、y 的一元一次方程，解之即可得出 x、y 的值，再用 240两件衣服的进价后即可找出结论【解答】解：设两件衣服的进价分别为 x、y 元，根据题意得：120 x=20%x，y120=20%y，解得：x=100，y=150，120+120100150=10（元）故选：C【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 3（2018甘肃白银，定西，武威3 分）已知，下列变形错误的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解【解答】由得，3a=2b，A.由得，所以变形正确，故本选项错误；B.由得
4、 3a=2b，所以变形错误，故本选项正确；C.由可得，所以变形正确，故本选项错误；D.3a=2b 变形正确，故本选项错误.故选 B.二.填空题(要求同上一.)1.（2018四川成都3 分）已知，且，则的值为_ 【答案】12 【考点】解一元一次方程，比例的性质 【解析】【解答】解：设 则 a=6k，b=5k，c=4k 6k+5k-8k=6，解之：k=2 a=62=12 故答案为：12【分析】设，分别用含 k 的式子表示出 a、b、c 的值，再根据，建立关于k 的方程，求出 k 的值，就可得出 a 的值。2.（2018湖南省常德3 分）5 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个
5、实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报 4 的人心里想的数是 9 【分析】设报 4 的人心想的数是 x，则可以分别表示报 1，3，5，2 的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可【解答】解：设报 4 的人心想的数是 x，报 1 的人心想的数是 10 x，报 3 的人心想的数是 x6，报 5 的人心想的数是 14x，报 2 的人心想的数是 x12，所以有 x12+x=23，解得 x=9 故答案为 9【点评】本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用规律与趋势：这道题的
6、解决方法有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决本题还可以根据报 2 的人心想的数可以是 6x，从而列出方程 x12=6x求解 3.（2018山东临沂3 分）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数 0.为例进行说明：设 0.=x，由 0.=0.7777可知，l0 x=7.7777，所以 l0 xx=7，解方程，得x=，于是得 0.=将 0.写成分数的形式是 【分析】设 0.=x，则 36.=100 x，二者做差
7、后可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设 0.=x，则 36.=100 x，100 xx=36，解得：x=故答案为：【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 三.解答题(要求同上一)1.（2018湖北省宜昌10 分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算第一年
8、有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12经过三年治理，境内长江水质明显改善（1）求 n 的值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加个相同的数值 a在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因甲方案治理降低的 Q 值相等，第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及 a 的值【分析】（1）直接利用第一年有
9、40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12，得出等式求出答案；（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家得出等式求出答案；（3）利用 n 的值即可得出关于 a 的等式求出答案【解答】解：（1）由题意可得：40n=12，解得：n=0.3；（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，解得：m1=，m2=（舍去），第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），（3）设第一年用乙方案治理降低了 100n=1000.3=30，则（30a）+2a=39.5，解
10、得：a=9.5，则 Q=20.5 设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x，第二年 Q 值因乙方案治理降低了 100n=1000.3=30，解法一：（30a）+2a=39.5a=9.5 x=20.5【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 2.（2018安徽分）孙子算经中有过样一道题，原文如下：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”大意为：今有 100 头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每 3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题.【答案】城中有 75
11、户人家.【解析】【分析】设城中有 x 户人家，根据今有 100 头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每 3 家共取一头，恰好取完，可得方程 x+x=100，解方程即可得.【详解】设城中有 x 户人家，由题意得 x+x=100，解得 x=75，答：城中有 75 户人家.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出等量关系列方程进行求解是关键.3.（2018广东7 分）某公司购买了一批 A、B 型芯片，其中 A 型芯片的单价比 B 型芯片的单价少 9 元，已知该公司用 3120 元购买 A 型芯片的条数与用 4200 元购买 B 型芯片的条数相等（1）求该公司购买的 A、B 型芯片的
12、单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了 200 条，且购买的总费用为 6280 元，求购买了多少条 A 型芯片？【分析】（1）设 B 型芯片的单价为 x 元/条，则 A 型芯片的单价为（x9）元/条，根据数量=总价单价结合用 3120 元购买 A 型芯片的条数与用 4200 元购买 B 型芯片的条数相等，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买 a 条 A 型芯片，则购买（200a）条 B 型芯片，根据总价=单价数量，即可得出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）设 B 型芯片的单价为 x 元/条，则 A 型芯片的单价为（x9）元/条，根据题
13、意得：=，解得：x=35，经检验，x=35 是原方程的解，x9=26 答：A 型芯片的单价为 26 元/条，B 型芯片的单价为 35 元/条（2）设购买 a 条 A 型芯片，则购买（200a）条 B 型芯片，根据题意得：26a+35（200a）=6280，解得：a=80 答：购买了 80 条 A 型芯片【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程 4（2018 年四川省内江市）某商场计划购进 A，B 两种型号的手机，已知每部 A 型号手机的进价比每部 B 型号手机进价多 500 元，每部 A
14、 型号手机的售价是 2500 元，每部 B 型号手机的售价是 2100 元（1）若商场用 50000 元共购进 A 型号手机 10 部，B 型号手机 20 部，求 A、B 两种型号的手机每部进价各是多少元？（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过 7.5 万元采购 A、B 两种型号的手机共 40 部，且 A 型号手机的数量不少于 B 型号手机数量的 2 倍 该商场有哪几种进货方式？该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用【分析】（1）设 A、B 两种型号的手机每部进价各是 x 元、y 元，根据每部 A 型号手
15、机的进价比每部 B 型号手机进价多 500 元以及商场用 50000 元共购进 A 型号手机 10 部，B 型号手机 20 部列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）设 A 种型号的手机购进 a 部，则 B 种型号的手机购进（40a）部，根据花费的钱数不超过 7.5 万元以及 A 型号手机的数量不少于 B 型号手机数量的 2 倍列出不等式组，求出不等式组的解集的正整数解，即可确定出购机方案；设 A 种型号的手机购进 a 部时，获得的利润为 w 元列出 w 关于 a 的函数解析式，根据一次函数的性质即可求解【解答】解：（1）设 A、B 两种型号的手机每部进价各是 x 元、y 元，根据题意得
16、：，解得：，答：A、B 两种型号的手机每部进价各是 2000 元、1500 元；（2）设 A 种型号的手机购进 a 部，则 B 种型号的手机购进（40a）部，根据题意得：，解得：a30，a 为解集内的正整数，a=27，28，29，30，有 4 种购机方案：方案一：A 种型号的手机购进 27 部，则 B 种型号的手机购进 13 部；方案二：A 种型号的手机购进 28 部，则 B 种型号的手机购进 12 部；方案三：A 种型号的手机购进 29 部，则 B 种型号的手机购进 11 部；方案四：A 种型号的手机购进 30 部，则 B 种型号的手机购进 10 部；设 A 种型号的手机购进 a 部时，获得的利润为 w 元 根据题意，得 w=500a+600（40a）=100a+24000，100，w 随 a 的增大而减小，当 a=27 时，能获得最大利润此时 w=10027+24000=21700（元）因此，购进 A 种型号的手机 27 部，购进 B 种型号的手机 13 部时，获利最大 答：购进 A 种型号的手机 27 部，购进 B 种型号的手机 13 部时获利最大【点评】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出满足题意的等量关系与不等关系是解本题的关键