1、石家庄市第一中学20172018学年度第一学期期中考试高二年级理科数学试题第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，故答案为C.考点：1、一元二次不等式的解法；2、集合的基本运算.2. 命题:“”的否定是A. B. C. D. 【答案】C【解析】全称命题的否定为存在命题，命题:“”的否定是.3. 在等比数列中，已知，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】设等比数列的公比为，则，.若；若 ，选A.4. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点
2、重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D. 【答案】B 5. 设是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是A. 若则 B. 若则C. 若，则 D. 若则【答案】D【解析】若则或，A错误；若则与平面可能平行可能相交，也可能在平面内，B错误；若，则 或，C错误；若则，D正确，选D.6. 若下面框图所给的程序运行结果为,那么判断框中应填入的关于的条件是A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：当时进入循环可得，此时进入循环可得到.依题意此时要退出循环，故选（D）.考点：1.程序框图.2.递推的思想.7. 已知菱形的边长为，则A. B. C. D. 【
3、答案】D【解析】试题分析：由题意得，设，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.考点：向量的数量积的运算.8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为是边长为的正三角形，所以外接圆的半径，所以点到面的距离为，又因为为球的直径，所以点到面的距离为，所以棱锥的体积为，故选A.考点：1、外接球的性质及圆内接三角形的性质；2、棱锥的体积公式. 【方法点晴】本题主要考查外接球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式，属于难题.圆内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转
4、体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；注意运用性质.9. 一只蚂蚁从正方体 的顶点出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：最短距离是正方体侧面展开图，即矩形的对角线（经过）、或矩形的对角线（经过），故视图为.考点：最短距离.10. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b
5、0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而 2 /a +3 /b =(2 /a +3 /b )=2a+3b /6 =13 /6 +(b/ a +a/ b )13/ 6 +2=25 /6 ，故2/ a +3/ b 的最小值为：25 /6 11. 已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：,构造函数，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，由图象可知，当时，与的图象有三个公共点，故选C考点：1函数与方程；2数形结
6、合思想；3新定义函数问题12. 已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，的重心为，内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率A. B. C. D. 【答案】B【解析】在中，设，由三角形重心坐标公式可得重心，由， 故内心的纵坐标为，在焦点中， ，则，.选B.【点睛】这种求离心率问题椭圆和双曲线都有，都涉及到焦点三角形的重心和内切圆的圆心，都需要用到内切圆的半径的使用，使用方法就是借助焦点三角形面积相等解题，通过面积相等得出关于的等式，求出离心率.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分13. 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整
7、点报时，则他等待时间不多于分钟的概率为_【答案】【解析】该人等待时间可能性有60分钟，则他等待整点时间不多于10分钟时间的可能性有10分钟，则他等待时间不多于分钟的概率为.14. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程为 现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为_【答案】【解析】设数据模糊看不清为数据 .【点睛】本题考查线性回归方程及其性质，涉及函数与方程思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中等题型.首先根据定义求得，代入回归方程求得,利用平均数求得
8、.15. 点，实数是常数，是圆上两个不同点，是圆上的动点，若关于直线对称，则面积的最大值是_【答案】【解析】圆的圆心为，在直线上，圆的圆心为，半径为1，直线AB的方程为，即，圆心到直线AB的距离为，面积的最大值是.【点睛】首先要明确一个基本常识，圆上有两个点关于一条直线对称说明这条直线必过圆心，根据这个结论可求出圆的方程中的参数k，进而求出元新坐标和圆的半径长，根据A、B的坐标求出AB的长，然后求出圆上一点到直线的距离的最大值，若何求圆上一点到直线的距离的最大值，只需求出圆心到直线的距离，这个距离加上半径就是圆上一点到直线的距离的最大值，这个距离减去半径就是圆上一点到直线的距离的最小值.16.
9、 在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为_若，则与的夹角为锐角；对，若，则；若实数满足，则的最大值为；函数的图像关于点对称【答案】 【解析】试题分析：当共线且同向，即与的夹角为锐角为时，所以错误；的逆否命题为“若且，则”为真命题，所以原命题为真命题，故正确；的几何意义为圆上任意一点与定点连线的斜率，由数形结合可得斜率的最大值为，故正确；由得，即函数的对称中心为，当时对称中心为，故正确考点：1逻辑联结词与命题；2向量的数量积；3三角函数的图象和性质【易错点睛】对于易忽略两向量共线且同向而导致错误；对于不知道从命题的逆否命题入手去解决问题，导致判断不清；对于不知道代数式的几何意义，无从下手，不能
10、判断命题的真假属中档题三、解答题：本题共6小题，共70分17. 函数的部分图象如图所示（）写出的最小正周期及图中的值；（）求在区间上的最大值和最小值 【答案】（1）（2）最大值0，最小值-3【解析】试题分析：函数的最小正周期公式，利用解出值，第二个正数解为，并求出，根据的范围，求出的范围，在这个范围内考查函数的值的变化，给出最大值和最小值及取得最大值和最小值时的自变量x的值.试题解析：解：（）f(x)的最小正周期为T，x0，y03.（）因为x ，所以2x，于是当2x0，即x时，f(x)取得最大值0；当2x，即x时，f(x)取得最小值3.【点睛】有关函数性质问题，首先是周期，利用所学的正弦函数的
11、有关性质来研究函数性质，可以看成与两个函数复合函数去解决；当有确定的范围时，注意范围优先讨论，在范围内借助正弦函数图象研究解决问题.18. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，后得到如右图的频率分布直方图（）求图中实数的值；（）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率【答案】（1）0.03（2）544（3）【解析】试题分析：（1）根据图中所有小矩形的面积之和等
12、于1建立关于a的等式，解之即可求出所求；（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率总数可求出所求；（3）成绩在40，50）分数段内的人数，以及成绩在90，100分数段内的人数，列出所有的基本事件，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可试题解析：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.解得a=0.03 (2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为110(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思
13、想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85=544人 (3)成绩在40,50)分数段内的人数为400.05=2人,分别记为A,B，成绩在90,100分数段内的人数为400.1=4人,分别记为C,D,E,F.若从数学成绩在40,50)与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.(9分)如果两名学生的数学成绩都在40,50)分数段内或都在90,100分数段内,那
14、么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在40,50)分数段内,另一个成绩在90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)=.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题
15、目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19. 如图1，在直角梯形中， ，点为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示（）求证：平面；（）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：解析：（1）在图1中， 可得， 从而，故.取中点连结， 则， 又面 面，面 面 ，面， 从而平面.，又，.平面.（2）建立空间直角坐标系如图所示，则，.设为面的法向量，则即， 解得. 令， 可得.又为面的一个法向量，.二面角的余弦值为.（法二）如图，取的中点，的中点，连结.易知，又，又，.又为的中位线，因，且都在面内，故，故即为二面角的平
16、面角.在中，易知；在中，易知，.在中.故.二面角的余弦值为.考点：棱锥中的垂直以及二面角的平面角点评：主要是考查了运用向量法来空间中的角以及垂直的证明，属于基础题。20. 数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，（）求数列、的通项公式；（）设，数列的前项和为，证明：.【答案】（1），（2）见解析【解析】试题分析：本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力.第一问，先利用是和的等差中项，得到，由求，注意的情况，不要漏掉，会得到为等比数列，利用等比数列的通项公式，求和公式直接写出和，再利用已知求出，写出等差数列的通项公式；第二
17、问，先化简表达式，利用裂项相消法求和求，利用放缩法比较与的大小，作差法判断数列的单调性，因为数列为递增数列，所以最小值为，即，所以.试题解析：（1）是和的等差中项，当时，当时，即3分数列是以为首项，为公比的等比数列，5分设的公差为，6分（2）7分9分,10分数列是一个递增数列 .综上所述，. 12分考点：1.等差中项；2.由求；3.等比、等差数列的通项公式与求和公式；4.裂项相消法求和.21. 已知向量，且A,B,C分别为的三边a,b,c所对的角 （）求角的大小；（）若sinA,sinC,sinB成等差数列，且，求c边的长【答案】（1）（2）6【解析】试题分析：（1）先利用数量积公式得：，化简
18、得：，再有二倍角公式化简即可；（2）由（1）可得，由得：，得：，利用余弦定理可得的值试题解析：（1）对于，又，（2）由成等差数列，得，由正弦定理得，即由余弦弦定理，考点：1、数量积公式；2、等差中项；3、正弦定理；4、两角和正弦公式、二倍角正弦公式；5、余弦定理22. 已知椭圆与y轴的正半轴相交于点M，且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为（）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；（）求三角形ABM的面积的最大值【答案】（1）直线恒过定点（2）【解析】试题分析：利用设而不求思想设出点的坐标，首先考虑 直线斜率不存在的情况，然后研究直线斜率存在的一般情况，设出直线斜截式方程与椭圆
19、方程联立方程组，代入整理后写出根与系数关系，根据MA、MB的斜率之积为，代入，解出，得出直线过定点，第二步联立方程组后利用判别式大于零，求出k的范围，表示三角形的面积，利用基本不等式求出最值 .试题解析：解：（）由椭圆的方程得，上顶点,记 由题意知，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，故，且，因此，与已知不符，因此直线的斜率存在，设直线：，代入椭圆的方程得： 因为直线与曲线有公共点，所以方程有两个非零不等实根，所以，又， ，由 ，得 即 所以 化简得：，故或，结合知，即直线恒过定点（）由且得：或，又 ，当且仅当，即 时，的面积最大，最大值为 【点睛】设而不求思想是解决解析几何问题的重要思想，设出点的坐标，首先考虑直线斜率不存在的情况，然后研究直线斜率存在的一般情况，要掌握解析几何四个常见问题的结法，涉及最值和范围问题，存在性问题，定点定值问题，直线和圆锥曲线的位置关系问题以及离心率问题；求三角形面积的最值，就要表示三角形的面积，然后利用基本不等式或利用导数求出最值 .
