1、因式分解的高级方法一双十字相乘法1双十字相乘法原理计算从计算过程可以发现，乘积中的二次项只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。2所以运用双十字乘法对型的多项式分解因式的步骤：（1）用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；（2）在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含的一次项的系数E，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含的一次项的系数D二对称式与轮换对称式【定义1】一个元代
2、数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的（），都有那么，就称这个代数式为元对称式，简称对称式。例如，都是对称式。如果元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为元对称多项式。由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式中，若有项，则必有项；若有项，则必有，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。根据对称多项式的定义，可以写出含个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母的二次对称多项式的般形式是：【定义2】如果一个元多项式的各项的次数均等于同一个常数，那么称这个多项式为元次齐次多项式。由定义2知，元多项式是次齐次多项式，当且仅当对
3、任意实数有例如，含三个字母的三元三次齐对称式为： 【定义3】一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的，都有那么就称这个代数式为元交代式。例如，均是交代式。【定义4】如果一个交代数式，如果将字母以代，代代代后代数式不变，即那么称这个代数式为元轮换对称式，简称轮换式。显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，是对称式也是轮换式；是轮换式，但不是对称式。对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式； （2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式； （3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式；
4、 （4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式； （5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。【定义5】下面个对称多项式称为元基本对称多项式。例如，二元基本对称多项式是指，三元基本对称式是指当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。2对称式、轮换式、交代式在解题中的应用 为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似的处理即可。 下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧（1）若是对称式，则在解题中可设。（为什么？） （2）若是对称式，则当满足性质时，也满
5、足性质。 （3）若是轮换式，则在解题中可设最大（小），但不能设。（为什么？） （4）若是轮换式，且满足性质，则也满足性质。 （5）若是交代多项式，则是的因式，即其中是对称式。 其中是对称式。 在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的。 齐次对称多项式的一般形式：（1）二元齐次对称多项式一次：， 二次： 三次：（2）三元齐次对称多项式 一次： 二次： 三次： 判定是否为多项式的因式的方法是：令，计算，如果，那么就是的因式，在实际操作时，可首先考虑的如下特殊情形：三拆、添项法将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用
6、分组分解法进行分解因式例如：四换元法将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原例如：，设，则原式，最后再换回来就是五主元法当题目中的字母较多、问题较复杂时，我们可以把某一字母作为主元，而将其他字母作为常数去解决问题例如：六：因式定理与待定系数（1）若时，,即，则多项式有一次因式；（2）若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等一考点：1双十字相乘法；2对称式与轮换对称式；3拆、添项法；4换元法；5主元法；6因式定理与待定系数二重难点：对称式与轮换对称式；拆、添项法三易错点：因式分解过程中计算错误题模一：双十字相乘法例1.1.1 （
7、1） （2）【答案】 （1）（2）【解析】 （1）先用十字相乘法分解，再将常数项的两个因数写在第二个十字的右边，由于第2列与第3列交叉相乘之积的和等于8，再看第1列与第3列交叉相乘之积的和等于13x，那么原式就可以分解成（2）例1.1.2 （1） （2）【答案】 （1）（2）【解析】 （1）=（2）=题模二：轮换对称式法例1.2.1 分解因式【答案】 见解析【解析】 是它的因式。又因为是4次齐次式，所以它还有一个一次对称式因式于是，可表示为令得，例1.2.2 分解因式【答案】 见解析【解析】 是3次齐次对称多项式令，得是的一个因式故它的另一个因式比为二次齐次对称式所以可表示为令，得再令，得所以
8、题模三：拆、添项法例1.3.1 【答案】 【解析】 题模四：换元法例1.4.1 因式分解：【答案】 【解析】 令，则原式题模五：主元法例1.5.1 【答案】 【解析】 题模六：因式定理与待定系数法例1.6.1 因式分解：【答案】 【解析】 以 （常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。解：时，原式有一次因式，随练1.1 因式分解：【答案】 【解析】 随练1.2 因式分解：【答案】 见解析【解析】 可设，可求出随练1.3 分解因式：【答案】 【解析】 随练1.4 分解因式：【答案】 【解析】 随练1.5 分解因式：【答案】 【解析】 随练1.6 因式分解：【答案】 【解析】 用最高次项的系数2的约数，别去除常数项3的约数，得商1，2，再分别以这些商代入原式求值，可知只有当时，原式值为0故可知有因式设（a是待定系数）比较右边和左边的系数得， 作业1 因式分解：【答案】 【解析】 作业2 因式分解：【答案】 见解析【解析】 可设，可求出作业3 【答案】 【解析】 作业4 分解因式：【答案】 【解析】 作业5 分解因式：【答案】 【解析】 作业6 分解因式：【答案】 【解析】
