1、3.4 生活中的优化问题举例1把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为()A12 B1C21 D2解析设圆柱高为x，底面半径为r，则r，圆柱体积V()2x(x312x236x)(0x6)，V(x2)(x6)，当x2时，V最大此时底面周长为4，底面周长高4221.答案C2某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A150 B200C250 D300解析总利润P(x)由P(x)0，得x300，故选D.答案D3正三棱柱体积是V，当其
2、表面积最小时，底面边长为()A. B.C. D2解析设底面边长为x，侧棱长为l，则Vx2sin60l，l，S表2S底S侧x2sin603xlx2，S表x0，x34V，即x.又当x(0，)时，y0，当x时，表面积最小答案C4某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关数据统计显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一段路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：yt3t236t.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A6时 B7时C8时 D9时解析令yt2t360，即3t212t3680，解得t8或t12(舍去)当0t0；当t8时，y0.所以
3、当t8时，函数有极大值，也是最大值答案C5用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为()A120 000 cm3 B128 000 cm3C150 000 cm3 D158 000 cm3解析设水箱的高为x cm(0x60)，则水箱底面边长为(1202x)cm，水箱的容积V(1202x)2x(1202480x4x2)x，V12x2960x120120，解V0，得x20或x60(舍去)当0x0；当20x60时，V0.yxx220x.(0x40)yx20，令y0得x20，当0x0；当20x40时，y0)，贷款
4、的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能够全部贷出去若存款利率为x(x(0,0. 048)，则存款利率为_时，银行可获得最大收益解析由题意知，存款量g(x)kx(k0)，银行应支付的利息h(x)xg(x)kx2，x(0,0.048)设银行可获得收益为y，则y0.048kxkx2.于是y0.048k2kx.令y0，得x0.024.依题意知，y在x0.024处取得最大值答案0.0248某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2造价为12元，则箱子的最低总造价为_解析设箱底一边的长度为x m，总造价为y元，依据题意，得y1231
5、516，则y72.令y0，得x4或x4(舍去)，易知当x4时，总造价最低，最低价为816元答案816元9如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD中，A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_解析设CDx，则点C，B，矩形ABCD的面积Sf(x)xx3x，x(0,2)由f(x)x210，得x时，f(x)有最大值.答案10某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底面半径，才使得所用材料最省？解设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S(R)2Rh2R2，又VR2h，则h，S(R)2R2R22R2，由S(R)4R0，解得R ，从而h2 ，即h2R，当R 时，S(R) 时
6、，S(R)0.因此，当R 时，S(R)有极小值，且是S(R)的最小值答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省11某物流公司购买了一块长AM30米，宽AN20米的矩形地形AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米(1)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，AB长度应在什么范围内？(2)若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方体建筑，问AB长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)解(1)依题意三角形NDC与三角形NAM相似，即，AD20x，矩形ABCD的面积为S20
7、xx2，定义域为0x30，要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，即20xx2144，化简得x230x2160，解得12x18，AB长度应在12,18内(2)仓库体积为V20x2x3(0x30)V40x2x20，得x0，或x20，当0x0；当20x30时V0，x20时V取最大值米3, 即AB长度为20米时仓库的库容量最大12某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件若售价降低销售量可以增加，且售价降低x(0x8)元时，每天多卖出的件数与x2x成正比已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件(1)试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；(2)该商品售价为多少元时，一天的销售利润最大？解(1)由题意，可设每天多卖出的件数为k(x2x)，则36k(323)，解得k3.又每件商品的利润为(2012x)元，每天卖出的商品件数为483(x2x)，该商品一天的销售利润为f(x)(8x)483(x2x)3x321x224x384(0x8)(2)f(x)9x242x243(x4)(3x2)令f(x)0，可得x或x4.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x04(4,8)8f(x)00f(x)384极小值极大值0当x4时，f(x)有极大值432，也是最大值故当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元
