1、长沙市名校2022届高三上学期第一次月考数学本试卷共8页时量120分钟满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，集合，则（ ）A B C D2设复数z满足则（ ）A1 B C D3对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型预测当时，y的估计值为（ ）A210.5 B211 C211.5 D2124过抛物线，的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则（ ）A2 B3 C
2、 D5公元前3世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出k的值17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）假设运用此体积公式求得球奖（直径为a），等边圆柱（底面圆的直径为a），正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为，那么（ ）A B C D6已知且，若，则（ ）A或 B或1 C1 D7某电视台的夏日水上闯关节目一共有三天，第一关与第二关的过关率分别为只有
3、通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立一选手参加该节目，则该选手能进人第三关的概率为（ ）A B C D8已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若，且双曲线C的离心率为2则（ ）A B C D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9已知函数，则下列关于的说法正确的是（ ）A最大值为4 B在上单调递减C是它的一个对称中心 D是它的一条对称轴10已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）A BC
4、若不等式的解集为，则D若不等式的解集为，且，则11如图已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧上的一点，若，则的值可以是（参考数据）（ ）A B C0 D112如图所示，在矩形中，E为上一动点，现将沿折起至，在平面内作，G为垂足设，则下列说法正确的是（ ） A若平面，则 B若平面，则C若平面平面，且，则 D若平面平面，且，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若是偶函数，则_14，已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则_15设函数，若曲线在处的切线经过点则实数a的值为；在（e为自然对数的底数，）上的最小值为_16在数列中，对任意，当且仅当，若满
5、足，则m的最小值为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）在中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知，面积，求的值18（本小题满分12分）比知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为若对恒成立求正整数m的最大值19（本小题满分12分） 设甲、乙两位同学在高中年级上学期间，甲同学每天6：30之前到校的概率均为，乙同学每天6：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（1）设A为事件“上学期间的五天中，甲同学在6：30之前到校的天数为3天”，B为事件“上学期间的五天中，甲
6、同学有且只有一次连续两天在6：30之前到校”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，（2）甲、乙同学组成了学习互助小组后，若某天至少有一位同学在6：30之后到校，则之后的一天甲，乙同学必然同时在6：30之前到校，在上学期间的五天，随机变量Y表示甲、乙同学同时在6：30之前到校的天数，求Y的分布列与数学期望20（本小题满分12分）如图，在中，O为的外心，平面，且（1）求证： 平面；（2）设平面平面；若点M在线段上运动，且，当直线l与平面所成角取最大值时，求的值21（本小题满分12分）设椭圆长轴的左，右顶点分别为A，B（1）若P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为，求的最小值；（2
7、）已知过点的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点，直线分别交y轴于点S、T，记（O为坐标原点），当直线1的倾斜角为锐角时，求的取值范围22（本小题满分12分）已知函数（是自然对数的底数）（1）设，求的最小值；（2）讨论关于x的方程的根的个数，长沙市名校2022届高三上学期第一次月考数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案CBCCDDBA1C 【解析】由函数单调递增，不等式解得，即集合，则故选C2B 【解析】因为，所故选B3C 【解析】，将代入得，则，当时，应选答案C4C 【解析】分别过A，B作准线的垂
8、线，垂足分别为，设，则，故选C5D 【解析】由题意得球的体积为；等边圆柱的体积为；正方体的体积，所以，故选D6D【解析】由，得，所以，求得（舍），又，将的值代入上式可得：故选D7B【解析】该选手闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为，所以该选手能进入第三关的概率为故选B8A 【解析】由双曲线的定义知，即，在中，由余弦定理知，故选A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分题号9101112答案ADABDABCAC9AD 【解析】由，的最大值为4，所以A正确；因为当时，不是单调函数，所以B错误；因为
9、不在图象上，所以不是其对称中心，所以C错误；因为为函数的最大值，所以对称轴，所以D正确，故选AD10ABD 【解析】由题意，所以A正确；对于B：等号当且仅当，即时成立，所以B正确；对于C：由韦达定理，知，所以C错误；对于D：由韦达定理，知，则，解得，所以D正确；故选ABD11ABC 【解析】以圆心为原点，平行的直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则设，则，且，在递增，在递减，当时，最小值为，当时，的最大值为，则所以ABC正确，D错误，故选ABC12AC 【解析】对于A，若平面，则，在中，则，是三角形的高，则所以A正确；对于B，若平面，则有，则，在中，即，解得，所以B错误；对于C
10、，若平面平面，作，垂足为H，因为平面平面，所以平面，从而，又，所以平面，从而，因为，所以在等腰直角三角形中，所以在等腰直角三角形中，所以C正确；对于D，若平面平面，平面平面，又，故平面，所以，作，垂足为H，从而有平面，从而，从而有C，H，G三点共线，则，又，故，又，所以，故，因为，所以，所以D错误；故选AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13 【解析】是偶函数，经检验符合题意，故答案为14 【解析】圆，圆心，半径，直线过圆心，直线，倾斜角为，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，151 【解析】函数，则定义域为，由题设，解得从而；当时，时，可知在单调递增在上单调递减又，所以
11、在上的最小值为16512 【解析】不妨设，由题意可得，因为，所以，同理可得，所以，因为，所以，解得，又，所以k的最小值整数解为9，故m的最小值为故答案为：512四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17【解析】由三角形面积公式，则， 4分（法一）由正弦定理得，又由得，所以， 8分所以 10分（法二）由余弦定理得，即，解得（舍）或， 8分由余弦定理得 10分18【解析】（1）因为数列满足：，所以，设的公比为q，可得， 4分又，即，解得， 4分所以； 5分（2）， 6分， 7分上面两式相减可得， 8分化简可， 9分因为， 10分所以递增，最小，且为所以， 11分解
12、得，则m的最大值为2021 12分19【解析】（1）事件包含6种情况；甲同学第1、2、4天6：30之前到校；甲同学第1、2、5天6：30之前到校；甲同学第2、3，、5天6：30之前到校；甲同学第1、3、4天6：30之前到校；甲同学第1、4、5天6：30之前到校；甲同学第2、4、5天6：30之前到校，故，又，所以 5分（2）随机变量Y的所有可能取值为2、3、4、5则，. 10分则随机变量Y的分布列为：Y2345P 11分则 12分20【解析】（1）如图，连接，交于点D，O为的外心，所以，所以故和都为等边三角形， 3分即四边形为菱形，所以又平面，平面，所以平面 5分（2）由（1）同理可知因为平面，
13、平面，平面平面，所以 6分如图所示：以点D为原点，垂直平面的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则设所以设平面的法向量为，得令得 9分所以直线l与平面所成角的正弦值为：， 11分即当即点M是线段的中点时，直线l与平面所成角取最大值 12分21【解析】（1）设点，由椭圆的对称性知，不妨令，由已知，则，显然有， 2分则，则， 4分因，所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为 5分（2）当直线l的倾斜角为锐角时，设，设直线，由得，从而，又，得，所以， 6分又直线的方程是：，令，解得，所以点S为；直线的方程是：，同理点T为所以，因为，所以， 8分所以 11分，综上，所以，的范围是 12分22【解析】
14、（1）由题意可求得， 1分因为，当时，所以在上单调递减，当时，所以在上单调递增， 3分所以时，的最小值为 4分（2）设，令，则，所以在上递增，在递减 5分（i）当时，则，所以因为，所以，因此在上单调递增 7分（）当时，则，则因为，即，又，所以，因此在上单调递减综合（i）（）可知，当时， 5分当，即时，）没有零点，故关于x的方程根的个数为0，当，即时，只有一个零点，故关于x的方程根个数为1， 7分当，即时，当时，要使，可令，即； 9分当时，要使，可令，即，所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2， 11分综上所述：当时，关于x的方程根的个数为0，当时，关于x的方程根的个数为1，当时，关于x的方程根的个数为2 12分
