1、长沙市名校2021-2022学年高二上学期入学考试数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共8页时量120分钟满分100分第卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知，则“”是“”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件2已知复数z满足，则（ ）A B C D3下列命题中不正确的是（ ）A一组数据的平均数，众数，中位数相同B有A，B，C三种个体按312的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30C若甲组数据的方差为5，乙组数据为，则这两组数据中较稳定的是乙D一组
2、数的分位数为54已知两条不同的直线l，m和不重合的两个平面，且，有下面四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的序号是（ ）A B C D5已知向量，若，则（ ）A B C D6不等式对任意a，恒成立，则实数x的取值范围是（ ）A B C D7某人先后三次掷一颗骰子，则其中某两次所得的点数之和为11的概率为（ ）A B C D8已知函数，则方程的根的个数为（ ）A3 B5 C7 D9二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分）随交通堵塞状况
3、有所变化，其概率分布如表所示：所需时间/分30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是A任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.0410已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（ ）A B是图象的一个对称中心C D是图象的一条对称轴11如图，在棱长为6的正方体中，E为棱上一点，且，F为棱的中点，点G是
4、线段上的动点，则（ ）A无论点G在线段上如何移动，都有 B四面体的体积为24 C直线与所成角的余弦值为 D直线与平面所成最大角的余弦值为12已知定义在R上的函数满足条件，且函数是奇函数，则四个命题中，正确的命题有（ ）A函数是周期函数 B函数的图象关于点对称C函数是偶函数 D函数在R上是单调函数三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13函数的定义域为R，则实数m的取值范围是_14已知则的值为_15已知三个顶点都在球O的表面上，且，S是球面上异于A、B、C的一点，且平面，若球O的表面积为，则球心O到平面的距离为_16在中，已知，P为线段上的一点，且，则的最小值为_四、解答题（本题共6小
5、题，每小题8分，共48分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分8分）已知（1）若为真命题，为假命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围18（本小题满分8分）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c设（1）求B；（2）若的面积等于求的周长的小值19（本小题满分8分）某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A，B，C三道工序加工而成的，A，B，C三道工序加工的元件合格率分别为，已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为一等品；其他的为废品，不进入市场（1）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；（2）
6、从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率20（本小题满分8分）如图，三棱柱中，（1）求证：平面；（2）设直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值21（本小题满分8分）已知向量（1）若，求的值；（2）记，在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足，求函数的取值范围22（本小题满分8分）设函数（且），是定义域为R的奇函数：，（1）求k的值，（2）判断并证明当时，函数在R上的单调性；（3）已知，若对于时恒成立请求出最大的整数长沙市名校2021-2022学年高二上学期入学考试数学参考答案一、单项选择题题号123456789101112答案ACBABCC
7、CBDABDABDABC1A 2C3B 【解析】对于选项A，数据的平均数为，众数和中位数都是3，故选项A正确；对于选项B，根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项B不正确；对于选项C，乙组数据的平均数为乙组数据的方差为，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项C正确；对于D项，将该组数据从小到大排列，由，则该组数据的分位数为5，故D正确4A 【解析】因为两条不同的直线l，m和不重合的两个平面，且，对于，由，可得，故正确；对于，若，可得，故正确；对于，若，则有可能，故错误；对于，当时，则有可能，故错误综上，真命题的序号是5B 【解析】依题意得，所以，故6C 【解析】对任意恒成立，等价于，
8、由于（当时等号成立），解得，故选C7C 【解析】从反面来考虑该问题，因为，所以要使得两次所得的点数之和均不为11，则5和6两个数最多只有一个数可被选到，下面分情况讨论：第一种，5和6一个都不被选到，则有种选法；第二种，5和6恰好有一个被选到，不妨设5被选到，则有种不同的选法，故5和6恰好有一个被选到的选法有种不同的选法所以满足条件的概率为，故选C8C 【解析】令，先解方程（1）当时，则，得；（2）当时，则，即，解得，如图所示：直线与函数的交点个数为3、2、2，所以，方程的根的个数为二、多项选择题9BD 【解析】“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所
9、需的平均时间为分钟，线路二所需的平均时间为分钟，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，故C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为和三种情况，概率为，故D正确10ABD 【解析】由题意得，平移后的函数的图象关于y轴对称，则，因为，所以，故A正确；，由，得对称中心的横坐标为，故是图象的一个对称中心，故B正确； ，故C不正确；由，得，所以是图象的一条对称轴，故D正确11ABD 【解析】在正方体中，易证平面，又平面，所以，则A正确；，则B正确；在棱上取点N，使，连结（如图1），
10、则易知为直线与所成角或其补角，可得，则，则直线与所成角余弦值为，C错误；由题意知三棱锥为棱长为的正四面体，作平面，O为垂足，则O为正的中心，且为直线与平面所成角，所以，当点G移动到的中点时，最短，如图2，此时最小，最大，此时，则D正确12ABC 【解析】对于A，函数是以3为周期的周期函数，故A正确；对于B，是奇函数，其图象关于原点对称，又函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到的，所以函数的图象关于点对称，故B正确；对于C，由B知，对于任意的，都有，用换x，可得：，令则，函数是偶函数，故C正确；对于D，由C知是偶函数，偶函数的图象关于y轴对称，在R上不是单调函数，故D错误三、填空题13 【解
11、析】函数的定义域为R，等价于在上恒成立，则或者；当时，有，解得不符合题意；即，所以m的取值范围为14 【解析】，所以15 【解析】由，并且平面平面，且，平面，是直角三角形和的公共斜边，取的中点O，根据直角三角形的性质可知，所以点O是三棱锥外接球的球心，设，则，则三棱锥外接球的表面积，解得：，点O到平面的距离16 【解析】中，设，即，根据直角三角形可得，以C为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，P为线段上的一点，则存在实数使得，设则，则，当且仅当，即时，四、解答题17【解析】（1）当时，由，可得，即因为为真命题，为假命题，故p与q一真一假， 2分若p真q假，则该不等式
12、组无解；若p假q真，则，得或综上所述，实数x的取值范围为或 4分（2）由题意，因为p是q的充分不必要条件，故，故，得，故实数m的取值范围为 8分18【解析】（1）因为由正弦定理得显然，所以 2分所以，所以， 4分（2）依题意， 6分所以，当且仅当时取等号又由余弦定理得当且仅当时取等号所以的周长最小值为 8分19【解析】（1）不妨设一个元件经A、B、C三道工序加工合格的事件分别为A、B、C，则， 1分设事件D为“生产一个元件，该元件为二等品”，根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为. 4分（2）生产一个元件，该元件为一等品的概率 5分设事件E为“任意取
13、出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则所以至少有2个元件是一等品的概率为 8分20【解析】（1）证明：在中，由余弦定理，又，平面； 3分（2）由（1）知；两两垂直，以C为原点，所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点，其中，设平面法向量为，取，则，得，由已知，解得：，可得点， 5分设为平面的法向量，由取，则，可得， 6分，由图可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为 8分21【解析】 2分（1）， 4分（2），由正弦定理得，且， 6分又，故故函数的取值范围是 8分22【解析】（1）（且）是定义域为R的奇函数，解得此时，对任意，有，即是R上的奇函数，符合题意故 2分（2）由（1）得设，且，则，且，又，即，在R上为增函数 5分（3）由（1），不等式对于时恒成立，即，亦即不等式恒成立令，则，问题转化为关于t的不等式对任意恒成立，亦即不等式，对任意恒成立当时，则的最大整数为10 8分
