1、2021-2022学年二下学期罗平县第二中学第一次周练（数学）【考试用时：120分钟】【满分：150分】考试范围：人教A版(2019)选择性必修第一册、选择性必修第二册（占比80%）+人教A版(2019)选择性必修第三册第六章（占比20%）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使
2、用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在正项等比数列中，且是和的等差中项，则( )A.8B.6C.3D.2.某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往该地区三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，则不同的分配方案共有( )A.18种B.36种C.72种D.144种3.已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线PA，P
3、B分别与圆M相切于点A，B，当切线长PA最小时，弦AB的长度为( )A.B.C.D.4.已知抛物线的准线为l，点P是抛物线上的动点，直线的方程为，过点P分别作，垂足为M，垂足为N，则的最小值为( )A.B.C.D.5.已知定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则下列结论中正确的是( )A.B.C.D.6.如图，在正方体中，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是( )A.B.C.D.7.若P是双曲线上一点，以线段PO（O为坐标原点）为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于不同于原点的A，B两点，则四边形PAOB的面积为( )A.B.C.1D.28.已
4、知函数，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围是( )A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知正项数列的前n项和为，若对于任意的m，都有，则下列结论正确的是( )A.B.C.若该数列的前三项依次为x，3x，则D.数列为递减的等差数列10.已知直线l过抛物线的焦点，且与该抛物线交于M，N两点，若线段MN的长是16，MN的中点到y轴的距离是6，O是坐标原点，则下列说法正确的是( )A.抛物线C的方程是B.抛物线C的准线方程是C.直线l的方程是D.的面积是11.已知函数，则
5、( )A.当时，恒成立B.当时，是的极值点C.若有两个不同的零点，则a的取值范围是D.当时，只有一个零点12.已知正方体的棱长为1，E，F分别为线段，上的动点，则下列结论正确的是( )A.平面B.平面平面C.点F到平面的距离为定值D.直线AE与平面所成角的正弦值为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知的展开式中不含项，则_.14.已知等比数列的公比，其前n项和为，且，则数列的前2021项和为_.15.已知函数，当时，函数有极值，则函数在区间上的最大值为_.16.已知点A是抛物线C：上一点，O为坐标原点，若以点为圆心，的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且为等边三角形，
6、则_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入五个盒子中.(1)若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法?(2)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法?18. （12分）已知数列，满足，为数列的前n项和，.(1)求数列，的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.19. （12分）已知椭圆，A，B分别为椭圆C的右顶点、上顶点，F为椭圆C的右焦点，椭圆C的离心率为，的面积为.（1）求椭圆C
7、的标准方程；（2）过点F作直线交椭圆于M，N两点，若，求实数的取值范围.20. （12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，平面平面ABCD，E为棱PB上一点（不与P、B重合），平面ADE交棱PC于点F.（1）求证：；（2）若平面BAC与平面ACE夹角的余弦值为，求点B到平面AEC的距离.21. （12分）如图，双曲线的左顶点为P，左、右焦点分别为，以线段为直径的圆O与双曲线在第一象限内交于Q点，与其渐近线交于E点，且直线与双曲线的斜率小于O的渐近线平行.（1）求双曲线C的离心率；（2）若直线交双曲线于B点，且，求的值.22. （12分）已知函数，其中.（1）讨论的单调
8、性.（2）是否存在，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：B解析：设正项等比数列的公比为q，则.因为，是和的等差中项，以，所以，由于，所以，解得或（舍去），故.故选B.2.答案：B解析：考虑甲乙特殊，若三组人数为3，1，1，则甲乙还需一名成员，故不同的分配方案有；若三组人数为2，2，1，则甲乙为一组，不同的分配方案有，所以共计36种.故选：B.3.答案：B解析：解法一 由题意可得圆M的标准方程为.设，则，所以当时，取得最小值6，所以，此时，即，解得，故选B.解法二 因为，所以当取得最小值时，取得最小值，此时直线PM与直线l垂直，则，所以，
9、即，解得，故选B.4.答案：B解析：令抛物线的焦点为F，则，连接PF，如图，因为l是抛物线的准线，点P是抛物线上的动点，且于M，于是得，点到直线：的距离，又于N，显然点P在点F与N之间，于是有，当且仅当F，P，N三点共线时取“=”，所以的最小值为.故选：B.5.答案：B解析：由，得.因为定义在上，所以.令，则，故函数在区间上单调递增.由，得.又，所以，所以.同理令，则函数在区间上单调递减.由，得，即.综上.6.答案：B解析：设正方体的棱长为2，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，设平面的一个法向量为，则即令，得，所以.因为，所以，所以，由于，所以，故选B.7.答案：B解析：解法
10、一 由题意，知该双曲线的渐近线方程为，所以该双曲线的两条渐近线互相垂直.因为OP为圆的直径，点A，B在圆上，所以，所以四边形PAOB为矩形.设点，则点P到两条渐近线的距离分别为，所以四边形PAOB的面积为.又点在双曲线上，所以，所以，故选B.解法二 如图，由题意，点P为双曲线上任意一点，不妨设点P为双曲线的右顶点，即.易知双曲线的渐近线方程为，所以该双曲线的两条渐近线互相垂直.因为OP为圆的直径，点A，B在圆上，所以.又点到两条渐近线的距离均为，所以四边形PAOB为正方形，所以，故选B.8.答案：A解析：由题意易知不是函数的零点，则，令，因此的零点与的零点相同.设，则，则当时，；当时，故在，上
11、单调递增，在，上单调递减，又，当时，当时，当，所以可画出函数的大致图象，如图所示，存在唯一的零点且等价于直线与函数的图象存在唯一的交点，且交点的横坐标小于零，由图可得a的取值范围为.故选A.9.答案：AC解析：令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A正确；，所以，故B错误；根据等差数列的性质得，所以，故，故C正确；，因为，所以是递增的等差数列，故D错误.故选AC.10.答案：AD解析：设，根据抛物线的定义可知.又MN的中点到y轴的距离是6，所以，即，则，所以抛物线C的方程是，故A正确.由知抛物线C的准线方程为，故B错误.抛物线C的焦点为，设直线l的方程是，与抛物线方程联立，消元得，则，所以，解
12、得，所以直线l的方程是或，故C错误.，故D正确.故选AD.11.答案：BD解析：当时，易知，所以选项A错误；当时，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极值点，选项B正确；函数有两个不同的零点，即关于x的方程有两个不相等的实数根，易知，所以，即直线与函数的图象有两个不同的交点，易知当时，单调递增，当时，单调递减，所以，又，所以，选项C错误；当时，结合选项C可知，此时函数只有一个零点，选项D正确.故选BD.12.答案：ABC解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，由题意知，则，设，则， .设，则.对于A， ， ， ， ，又AC，平面，平面，故A正确；对于B
13、， ，又，平面，平面，又平面，平面平面，故B正确；对于C，平面，为平面的一个法向量，点F到平面的距离，为定值，故C正确；对于D，易知平面，是平面的一个法向量，设直线AE与平面所成的角为，又，不是定值，故D错误.故选ABC.13.答案：7解析：因为的展开式中不含项，所以的展开式中不含常数项，不含x项，不含项.因为的展开式的通项公式为，所以当，且时，方程，均无解，检验可得.14.答案：解析：因为，所以，所以，得或（舍去），所以，故.因为，所以.故答案为：15.答案：13解析：因为，当时，函数有极值，所以，解得，所以，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.双极大值，所以在区间上的最大值为1
14、3.16.答案：解析：由已知可得，所以是等腰三角形，根据圆的对称性可知，设AB与OM相交于点D，则D为AB、OM的中点，因为，所以，因为为等边三角形，所以，在中，所点A坐标为，因为点在抛物线上，所以，可得，故答案为：.17.解析：(1)编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中有种方法，球的编号与盒子编号相同的有1种，利用间接法可知满足题意的投放方法为种.(2)分为三类：第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种；第二类，三个球的编号与盒子的编号相同，其中球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种，所以投放方法
15、有种；第三类，两个球的编号与盒子的编号相同，其中2个球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种，所以投放方法有种.根据分类加法计数原理得，所有的投放方法有种.18.答案：(1)；.(2).解析：(1)由题可知，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以.由得.(2)由(1)得，所以.所以.19.答案：（1）（2）解析：（1）由题意得，则，.的面积为，则.将，代入上式，得，则，故椭圆C的标准方程为.（2）由（1）知，当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为，将代入椭圆方程得，化简得，则，所以，.由得，即，则.得，所以，即，易知，故，易知恒成立，由，解得
16、.当直线MN的斜率等于0时，或，则或.综上，实数的取值范围为.20.解析：（1）证明：底面ABCD为矩形，又平面PBC，平面PBC，平面PBC.又平面ADE，平面平面，.（2）如图，取AD的中点O，连接PO，过点O作交BC于点H.侧面PAD为正三角形，平面平面ABCD，且交线为AD，平面ABCD，底面ABCD为矩形，.以O为原点，OA，OH，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则，.设，则，.设平面AEC的法向量为，则令，则，.平面AEC的一个法向量为.易知是平面ABC的一个法向量.，解得，.又平面AEC的一个法向量，点B到平面AEC的距离为.21.解析：（1）由题可
17、得双曲线的渐近线方程为，由得，又，故.（2）由（1）知，双曲线C的方程可化为，.直线的方程为，联立得，则.，联立得，易知，则，故，又，.22.答案：（1）见解析（2）存在满足题意的实数a，且实数a的值为解析：（1）由，得.当时，对任意，所以单调递减.当时，令，得，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在R上单调递减，无增区间；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）存在满足条件的实数a，且实数a的值为.理由如下：当，且时，由（1）知，在上单调递减，则时，则，所以此时不满足题意；当时，由（1）知，在上，单调递增，在上，单调递减，则当时，.当时，对任意，所以此时不满足题意；当时，令，由（1）知，在上单调递增，从而知在上单调递减，所以，.若对任意的，总存在，使得，则的值域为值域的子集，即即所以，解得.综上，存在满足题意的实数a，且实数a的值为.
