1、山西省运城市新绛县第二中学2021届高三数学1月联考试题 理考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚3考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区堿内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效4本试卷主要命题范围：高考范围一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的
2、点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知全集，集合，则（ ）A B C D3“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是（ ）A1087 B937 C387 D3275若单位向量满足，则与的夹角为（ ）A B C D6摩索拉斯陵墓位于哈利卡纳素斯，在土耳其的西南方，陵墓由下至上分别是墩座墙、柱子构成的拱廊、四棱锥金字塔以及由四匹马拉着的一架古代战车的雕像，总高度45米，其中墩座墙和
3、柱子围成长、宽、高分别是40米、30米、32米的长方体，长方体的上底面与四棱锥的底面重合，顶点在底面的射影是长方形对角线交点，最顶部的马车雕像高6米，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为（注：）（ ）A2.77 B2.43 C1.73 D1.357若，则（ ）A B C D8函数在区间上的图象大致为（ ）A B C D9在面积为的中，角的对边分别为，若，则（ ）A1 B C2 D310已知函数，则（ ）A B C D11点为抛物线的焦点，横坐标为的点为抛物线上一点，过点且与抛物线相切的直线与轴相交于点，则（ ）A B C D12已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）A B C D二
4、、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知实数满足约束条件则的最小值为_14已知，则_15已知双曲线的右焦点为为双曲线的右顶点，过点作轴的垂线，与双曲线交于，若直线的斜率是双曲线的一条渐近线斜率的倍，则双曲线的离心率为_16在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，当的面积最大时，四棱锥的高为_，四棱锥外接球的表面积为_（本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（本小题满分12分）已知数列满足，且（1）求数列的通项公式；
5、（2）令，求数列的前项和18（本小题满分12分）如图1中，多边形为平面图形，其中，将沿边折起，得到如图2所示四棱锥，其中点与点重合（1）当时，求证：平面；（2）当二面角为135时，求平面与平面所成二面角的正弦值19（本小题满分12分）某校为了调硏学情，在期末考试后，从全校高一学生中随机选取了20名男学生和20名女学生，调查分析学生的物理成绩为易于统计分析，将20名男学生和20名女学生的物理成绩，分成如下四组：，并分别绘制了如下图所示的频率分布直方图：规定：物理成绩不低于80分的为优秀，否则为不优秀（1）根据这次抽查的数据，填写下列的列联表；优秀不优秀合计男生女生合计（2）根据（1）中的列联表，
6、试问能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关？（3）用样本估计总体，将频率视为概率在全校高一学生中随机抽取8名男生和8名女生，记“8名男生中恰有名物理成绩优秀”的概率为，“8名女生中恰有名物理成绩优秀”的概率为，试比较与的大小，并说明理由附：临界值参考表与参考公式0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）20（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与交于两点，且的坐标为（1）求椭圆的方程；（2）过作与直线不重合的直线与相交于两点，若直线和直线
7、相交于点，求证：点在定直线上21（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）已知是曲线上一点，是直线上位于极轴所在直线上方的一点，若，求面积的最大值23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设，且（1）求证：；（2）用表示的最大值，求的最小值高
8、三理科数学参考答案、提示及评分细则1A ，所以复数在复平面内对应的点位于第一象限故选A2B 由，得，所以故选B3A 由，得；由，得故选A4D 依据题意，抽样间隔为25，又237除以25的余数为12，故所抽取的编号为，所以327不符合故选D5B 由，得，所以，所以，又，所以故选B6C 根据长、宽分别是40米、30米得金字塔的底面对角线长50米，可算出四棱锥高7米，所以侧棱长为，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为故选C7C ，有故选C8A 由，可知为偶函数，又由当时，故选A9B 由三角形的面积公式，得，即，由余弦定理，得，所以故选B10A 由题意有，两式作差得，有，又，所以，又，所以，故故选A1
9、1C 由抛物线的对称性，不妨设点位于第一象限，可得点的坐标为，设直线的方程为，联立方程消去后整理为，有，有，解得，可得直线的方程为，令，得，直线与轴的交点的坐标为，所以，又，所以，所以，所以故选C12D 由，得，令，则问题可以转化为：对任意恒成立，即函数在上单调递增，因为，所以转化为在上恒成立，因为，所以在上恒成立，即转化为令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以故选D13 画出可行域（如图阴影部分），当直线过点时，取得最小值，的最小值为14 对两边分别求导，得，令，得152 设焦点的坐标为，双曲线的离心率为，不妨设点位于第一象限，可求得点的坐标为，点的坐标为，直线的
10、斜率为，又由，有，整理为，解得或（舍）16 点在以弦，所对的圆周角为60的优弧上运动，作为垂足，由侧面底面，得底面当为的中点时，为等边三角形，此时的面积最大，且，即四棱锥的高为设等边的中心为，正方形的中心为，过、分别作平面、平面的垂线，且交于点，则为四棱锥外接球的球心，显然，于是四棱锥外接球的表面积为17解：（1）因为，所以，又， 3分所以数列是首项为1，公差为1的等差数列 4分所以，得，即数列的通项公式为 6分（2）由（1），得， 9分则 12分18（1）证明：由，易求，所以，所以 2分因为，所以，所以又平面，所以平面 5分（2）解：取的中点，过点在平面内作的垂线交于，以直线作为轴，直线为轴
11、，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则 6分因为为的中点，所以，又，所以在中，所以，所以，所以 8分设平面的法向量为，由，有解得令，得； 9分设平面的法向量为，由，有解得令，得， 10分所以，故平面与平面所成二面角的正弦值为 12分19解：（1）列出列联表，如下：优秀不优秀合计男生15520女生51520合计202040 3分（2），所以能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关 6分（3）根据频率分布直方图，可得男生物理成绩优秀的概率为，女生物理成绩优秀的概率为 7分设“8名男生中物理成绩优秀”的人数为随机变量，“8名女生中物理成绩优秀”的人数为随机变量，根据题意
12、，得， 8分则， 10分当时，于是；当时，于是；当时，于是 12分20（1）解：由题意，得，且， 1分则，即， 2分所以， 3分故椭圆的方程为 4分（2）证明：由（1）及的对称性，得点的坐标为， 5分设直线的方程为，点的坐标分别为，联立方程消去后整理为，所以 6分直线的斜率为，直线的方程为，直线的斜率为，直线的方程为， 8分将直线和直线方程作差消去后整理为，可得， 9分而由，可得，解得，即直线和的交点的横坐标恒为4， 11分所以点在定直线上 12分21（1）解：的定义域为 1分令，方程的判别式，（i）当，即时，恒成立，即对任意，所以在上单调递增 2分（ii）当，即或当时，恒成立，即对任意，所以
13、在上单调递增 3分当时，由，解得所以当时，；当时，；当时，所以在上，在上，所以函数在和上单调递增；在上单调递减 6分综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减 7分（2）证明：由，得，所以， 8分因为，所以，令，则，所以，所以 10分所以要证，只要证，即证 11分由（1）可知，当时，所以在上是增函数，所以，当时，即成立，所以成立 12分22解：（1）由的参数方程得的普通方程为，所以的倾斜角为，所以直线的极坐标方程为； 2分由曲线的参数方程得的普通方程为，又所以曲线的极坐标方程为 4分（2）由，则的极坐标为设，则 8分当，即时， 10分23（1）证明：因为（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），所以，由，得（当且仅当时等号成立） 5分（2）解：设，则，从而，即 8分当且仅当，即时， 10分