1、湖南省长沙市2023届高三月考试卷(二)数学本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,时量120分钟，满分150分.第I卷一、选择题:本题共8小题 ,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合, 则A. (0,2)B. 0,2C. -1,4)D. -1,22. 在平面直角坐标系中, 以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为A. B. C. D. 3Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着
2、已初步遏制疫情，则约为A60B63C66D694在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是ABCD5. 已知圆锥的母线长为 2 , 轴截面顶角的正弦值是, 过圆锥的母线作截面,则截面面积的最大值是A. 1 B. C. 1 或 2 D. 26. 设函数, 若为函数的一个极值点, 则下列图象不可能为的图象的是7. 已知分别是双曲线的左、右焦点, 过的直线与双曲线的左支相交于、两点, 且. 若, 则双曲线的离心率为A. B. C. D. 8. 在
3、棱长为 6 的正方体中,是的中点, 点是面内的动点, 且满足 , 则三棱锥体积的最大值是A. B. 24C. D. 36二、选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分,有选错的得0分，部分选对的得2分.9.关于统计数据的分析,有以下几个结论，其中正确的是A.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后， 期望与方差均没有变化C.调查剧院中观众观后感时,从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法D.样本数据9,3,5
4、,7,12,13,1,8,10,18的第80百分位数是12.5101748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有AB CD11. 已知函数, 则下列结论正确的是A. 是偶函数B. 在区间单调递C. 的周期是D. 的最大值为 212. 下列不等关系正确的是A. B. C. D. 第卷三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 已知且, 则的夹角是_.14. 已知函数(为常数)为奇函数, 且为增函数, 则实数的取值范围是_.15. 已知抛物线, 直线与相交于
5、两点, 若使, 则 _.16. 已知三角形数表:现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列，记此数列的前项和为.若，则的最小值是_.四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)已知,抛物线与轴正半轴相交于点.设为该拋物线在点处的切线在轴上的截距.(1)求数列的通项公式;(2) 设, 求证: （且）.18.（本小题满分 12 分)在中, 角的对边分别为, 若.(1) 求证: ;(2) 对, 请你给出一个的值, 使不等式成立或不成立,并证明你的结论.19. (本小题满分 12 分)如图 1, 在中,是边的中点
6、. 现把沿折成如图 2所示的三棱锥, 使得(1)求证: 平面平面;(2)求二面角的余弦值.20. (本小题满分 12 分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述(1)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，写出的可能值集合，并求的分布列；(2)某品酒师
7、在相继进行的三轮测试中，都有，试按(1)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由21. (本小题满分 12 分)已知是圆上的任意一点, 线段的垂直平分线交于点.(1) 求动点的轨迹的方程;(2) 设交轨迹于另两点. 记和的面积分别为. 求的取值范围.22. (本小题满分 12 分)已知函数 (为正有理数).(1) 求函数的单调区间;(2) 证明: 当时,湖南省长沙市2023届高三月考试卷(二)数学参考答案一、二选择题题号123456789101112答案BACDCDBAADABCABABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
8、.13.14.15. 216. 95四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(1) 抛物线在点处的切线方程为, 所以它在轴上的截距 .(2).18.【解析】(1) 由且得.(2) 当时, 不等式成立, 即有. 证明如下:由余弦定理有由 (1) 知,所以, 即.或当时, 不等式成立, 即有. 证明如下:由正弦定理有 (其中是外接圆的半径)由 (1) 知.而, 所以, 又,所以, 即.或,而由余弦定理 由 (1) 知 ,所以, 即.或当时, 不等式不成立, 即不成立. 证明如下:取, 则有,所以, 即.说明此时不成立19.【解析】（1）在图1中，取
9、CP的中点O，连接AO交CB于E，则.在图2中，取CP的中点O,连接AO,OB, 因为, 所以且 . 在中, 由余弦定理有,所以, 所以, 又,所以面, 又面, 所以平面平面.（2）因为面且，故可建立如图2空间直角坐标系，则.设平面的法向量为, 则由得又平面的法向量为.所以.因此, 二面角的余弦值为.20.【解析】(1) 的可能取值集合为,在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个, 所以中奇数个数等于中偶数个数, 因此与的奇偶性相同, 从而必为偶数.的值非负, 且易知其值不大于 8 .容易举出使得的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子.可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计
10、算每种排列下的的值，在等可能的假定下，得到的分布列为02468（2）首先将三轮测试都有X2的概率记做P ,有上述结果和独立性假设得由于是一个很小的概率,这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能,不是靠随机猜测.21.【解析】(1) 由题意可知,所以动点的轨迹是以A、F为焦点且长轴长为 4 的椭圆, 因此方程为设, 则在中, 由余弦定理得,则有. 同理.所以.设, 则. 同理可得所以. 易知,所以的取值范围是.22.【解析】(1) 函数的定义域为.当时, ; 当时, . 所以函数的单调区间为且在(0,1)上单调递增, 在上单调递减.(2) 因为在单调递减, 所以.记，因此要证，只要证即可而且,因此只要证明: 当时,.而.令, 令, 则. 令,所以在(0,1上单调递增, 又, 又在(0,1上连续, 故存在, 使得时,时, $G(m)0$. 所以在上单调递减, 在单调递增. 又, 所以.即, 所以在单调递减, 所以, 即.综上所述, 当时,.
