1、浙江省名校协作体2021届高三数学下学期2月开学联试题考生注意：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.第卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集，集合，则集合（ ）A.B.C.D.2.过点且倾斜角为30的直线被圆所截的弦长为（ ）A.B.1C.D.3.设实数x、y满足不等式组，则的最大值为（ ）A.B.C.0D.64.已知平面，l，m是两条不
2、同的直线，且（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.设函数，则函数的图像可能为（ ）A.B.C.D.6.将函数的图象向右平移个长度单位所得图象的对应函数为，则“”是“为偶函数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是（ ）A.，B.，C.，D.，8.过双曲线C：的左焦点F作x轴的垂线交双曲线于点A，双曲线C上存在点B（异于点A），使得.若，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.9.设函数满足，且当时，当时，又函数，函数在上的零点个数为（ ）A.4B.5C.6D.710.在矩形中，E、F分别为边
3、、上的点，且，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成角为，则（ ）A.B.C.D.第卷（非选择题部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积_；表面积是_.12.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则_；_.13.二项展开式，则_；_.14.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，
4、假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数，若，_；若，则随机变量X的期望_.15.有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有_种不同的坐法16.设实数a，b满足，则的最大值是_.17.不共线向量，满足.若对于给定的实数，存在唯一的点P，满足（）且，则的最小值是_.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知角，（，）的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，点，分别在角，的终边上.（）设函数，
5、求的最大值；（）若点C在角的终边上，且线段的长度为，求的面积.19.已知四边形，将沿翻折至.（）若，求证：；（）若二面角的余弦值为，求与面所成角的正弦值.20.已知数列满足：，.（）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（）记，求使成立的最大正整数n的值.（其中，符号表示不超过x的最大整数）21.已知椭圆：和抛物线：，点Q为第一象限中抛物线上的动点，过Q作抛物线的切线l分别交y轴、x轴于点A、B，F为抛物线的焦点.（）求证：平分；（）若直线l与椭圆相切于点P，求面积的最小值及此时p的值.22.已知函数，定义域为.（）当时，求的单调区间；（）记，当，求的最大值；（）在（）的条件下，是否存在，
6、使得.若存在，求c的取值范围；若不存在，请说明理由.2020学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高三年级数学学科一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案BCDDBAACDD10.【答案】D【解析】过A作的垂线，分别交，于M，G，N.显然.因为，所以直线与所成角即为.当在平面上的射影为G时，平面，此时.于是当在平面上的射影在线段上时，所以.由于，进而得，.因为是在平面上的射影，所以由线面角最小性知，即.再由二面角的最大性知.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.
7、，12.0，13.，14.，；15.48016.17.417.【答案】4【解析】由得（其中为向量，的夹角），因为P点唯一，所以关于的方程有唯一解，于是.又，所以消去得，进而，等号当且仅当时等号成立.【解析】由点P的唯一性知，所以，又得.两式联合得，所以，等号当且仅当时等号成立.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.【解析】解：（）由过点知，.（）由过点知，即.由余弦定理知，.（少一解扣1分）由正弦定理知，.（少一解扣1分）19.【解析】（）取的中点E，连接，不妨设，则，即因为，所以，则，又因为，所以，且，面，面，则.（）取的中点O，连接，过点E作，
8、不妨设，则，即因为，则，又因为O为中点，E为的中点，则，所以，所以为二面角的平面角.且，面，面，又，则面，在中，所以，所以点D到面距离为，设与面所成的角为，则解法2：取的中点O，连接，过点E作，不妨设，则，即因为，则，又因为O为中点，E为的中点，则，所以，所以为二面角的平面角.因此以点O为坐标原点，以，分别为x，y，z轴建空间直角坐标系如图：，设面的法向量为， 则，所以，令，则，所以面的一个法向量为，设与面所成的角为，则.20.（）证明：， 为等比数列，且.（） ， ， ，.21.（）设，l：.l与抛物线联立得：.由题意知，即.而Q的横坐标，B的横坐标，所以B为的中点.由Q到焦点的距离等于Q到
9、准线的距离可知，.所以平分.（）l与椭圆联立得：.由条件知，即.由（1）知，可得：.又因为，所以.P的横坐标，.所以面积 令.（当即时取等）所以面积的最小值是2，此时.22.（）解：当时，因为在区间上单调递增，且.所以在区间上单调递减；在区间上单调递增.（），且.显然对每个存在唯一的正数，满足即，所以最小值在处取到，即令，所以在区间上，在区间上单调递增；在区间上，在区间上单调递减.所以，此时.（）由（）知当时，且当时不等号左边0，因此.设存在，使成立，令，则，且，且，所以当，即时，单调递增，当时，单调递减，当，单调递增，所以，即成立；当时，又时，所以存在使；所以，当时，有单调递减，单调递减，即，故不合.综上，.
