1、康县一中2020-2021学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合A1，2，4，B2，6，则AB等于（）A2B1，2，4，6C1，2，4D2，62（5分）设集合U1，2，3，4，5，A1，2，3，B2，4，则图中阴影部分所表示的集合是（）A4B2，4C4，5D1，3，43（5分）若f（x）2x，则f（2）（）A4B2CD4（5分）下列函数是偶函数的是（）Ay2x23Byx3Cyx2，x0，1Dyx5（5分）函数的定义域是（）ARBx|x0Cx|x0Dx|x06（5分）下列四组函数中，表示同
2、一个函数的是（）ABCD7（5分）函数f（x）2x+x的零点所在的区间为（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）8（5分）设a20.5，b0.52，c，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbcaCcbaDbac9（5分）已知函数f（x）对任意x，yR都有f（x+y）f（x）+f（y），且f（2）4，则f（1）（）A2B1C0.5D210（5分）已知函数yf（x）是R上的减函数，若f（a）f（2），则a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da211（5分）设函数f（x），则满足f（x）2的x的取值范围是（）A1，2B0，2C1，+）D0，+）12（5分）定义集合A、B的一种运算：A*
3、Bx|xx1+x2，x1A，x2B，若A1，2，3，B1，2，则A*B中的所有元素之和为（）A21B18C14D9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）函数f（x）ax（a0且a1）的图象恒过点 14（5分）函数的定义域是 15（5分）如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f（）的值等于 16（5分）若函数f（x）同时满足：对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（x）0；对于定义域上的任意x1，x2，当x1x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”给出下列四个函数中：（1）f（x） （2）f（x）x2
4、（3）f（x） （4）f（x），能被称为“理想函数”的有 （填相应的序号）三、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）计算：（1）；（2）（lg5）2+lg2lg5018（12分）设全集为实数集R，Ax|3x7，Bx|2x10，Cx|xa（1）求R（AB）及（RA）B；（2）如果AC，求a的取值范围19（12分）已知函数f（x）|x1|（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）在右边所给的坐标第中画出该函数的图象；（3）写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间（不要求证明）20（12分）动物园要建造一面靠墙的2间面积相同
5、的长方形熊猫居室（如图所示）如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？21（14分）已知函数，（xR）（）求证：不论a为何实数f（x）在（，+）上为增函数；（）若f（x）为奇函数，求a的值；（）在（）的条件下，求f（x）在区间1，5）上的最小值22（10分）当，时，求函数的值域2020-2021学年甘肃省陇南市康县第一中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1【分析】直接利用集合的并集的运算法则求解即可【解答】解：
6、集合A1，2，4，B2，6，AB1，2，42，61，2，4，6，故选：B【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，常考题型2【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是B中去掉A那部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得出阴影部分为BUA，代入进行求解；【解答】解：集合U1，2，3，4，5，A1，2，3，B2，4，则图中阴影部分所表示，为BUA，UA4，5可得BUA4，故选：A【点评】本题根据图形中阴影部分，让我们找出它所表示的集合，着重考查了Venn图表达集合的关系及运算，考查了数形结合的思想，属于基础题3【分析】直接把2代入函数解析式即可得到结论【解答】解：因为f（x）2x，所以f（2）22故选：D
7、【点评】本题主要考察求函数的值属于基础题目，计算时认真细致即可4【分析】根据偶函数的定义可得，只有当函数的定义域关于原点对称，且以x代替x后，所得到的函数值不变，这个函数才是偶函数，检验各个选项中的函数是否满足这两个条件【解答】解：根据偶函数的定义可得，只有当函数的定义域关于原点对称，且以x代替x后，所得到的函数值不变，这个函数才是偶函数经检验只有A中的函数满足条件，故选：A【点评】本题主要考查偶函数的定义以及判断方法，属于基础题5【分析】转化函数的不等式为分式形式，分母被开方数大于0，求解即可得到函数的定义域【解答】解：函数，要使函数有意义，必须x0，所以函数的定义域为：x|x0故选：C【点
8、评】本题考查函数的定义域的求法，转化思想的应用，考查计算能力6【分析】表示同一个函数要从三方面来判断，一是定义域，二是对应法则，三是值域，B、C、D的定义域都不同，得到只有A所给的两个函数是同一函数【解答】解：A是同一函数，B的定义域不同，f（x）定义域是R，g（x）的定义域是x|x0，C的定义域不同，g（x）定义域是R，f（x）的定义域是x|x1，D的定义域不同，g（x）定义域是R，f（x）的定义域是x|x0，故选：A【点评】本题考查同一函数的概念，从三个方面考查函数，这是函数的三要素，是一个基础题，这种题目可以作为选择和填空出现7【分析】将选项中区间的两端点值分别代入f（x）中验证，若函数
9、的两个值异号，由零点存在定理即可判断零点必在此区间【解答】解：当x0时，f（0）20+010，当x1时，f（1）0，由于f（0）f（1）0，且f（x）的图象在1，0上连续，根据零点存在性定理，f（x）在（1，0）上必有零点，故选：B【点评】本题主要考查了函数的零点及零点存在性定理，关键是将区间的端点值逐个代入函数的解析式中，看函数的两个值是否异号，若异号，则函数在此开区间内至少有一个零点8【分析】b0.521，a1，比较a与c时把c化为以2为底的指数式，然后根据指数函数的单调性即可比较【解答】解：b0.520.25201，bac故选：D【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值及不等关系与不等式，
10、解答此题的关键往往是以0、1等特殊值为媒介，或是化为同底的指数式或对数式进行大小比较，是基础题9【分析】令 xy0，求出f（0）的值，令xy1，据f（2）4，求出f（1），再由 01+（1），求f（1）【解答】解：因为函数f（x）对任意x，yR都有 f（x+y）f（x）+f（y），所以f（0+0）f（0）+f（0），即f（0）0又f（1）+f（1）f（1+1）f（2）4f（1）2f（1）+f（1）f（1+1）f（0）0f（1）2；故选：A【点评】依据函数特征，给自变量取特殊值，体现特殊值的解题思想10【分析】利用函数的单调性，将不等式转化为具体不等式，即可确定a的取值范围【解答】解：函数yf（
11、x）是R上的减函数，f（a）f（2），a2a的取值范围是a2故选：D【点评】本题考查函数的单调性，考查解不等式，属于基础题11【分析】分类讨论：当x1时；当x1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可【解答】解：当x1时，21x2的可变形为1x1，x0，0x1当x1时，1log2x2的可变形为x，x1，故答案为0，+）故选：D【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解12【分析】根据新定义A*Bx|xx1+x2，x1A，x2B，把集合A与集合B中的元素分别代入再求和即可求出答案【解答】解：A*Bx|xx1+x2，x1A，x2B，A1，2，3，B1，
12、2，A*B2，3，4，5，A*B中的所有元素之和为：2+3+4+514，故选：C【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，属于基础题，关键是根据新定义求解二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13【分析】根据指数函数的单调性和特殊点，函数f（x）ax（a0且a1）的图象恒过点（0，1）【解答】解：由指数函数的定义和性质可得，函数f（x）ax（a0且a1）的图象恒过点（0，1），故答案为 （0，1）【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题14【分析】根据对数及根式有意义的条件可得4x30，log5（4x3）0，解不等式可得【解答】解：由已知，根据对数及根式有意义的条件可
13、得：，即解得x|x1函数的定义域是1，+）故答案为：1，+）【点评】本题是函数定义域最基本的考查，建立使函数有意义的不等式之后，关键是要准确解不等式，属于基础试题15【分析】首先根据图形求出f（3）的值，由图形可知f（3）1，然后根据图形判断出f（1）的值【解答】解：f（3）1，1，f（）f（1）2故答案为2【点评】本题主要考查函数的值的知识点和函数的图象与图象变化的知识点，解答本题的关键是熟练运用数形结合进行解题，本题难度不大16【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，f（x）为奇函数，f（x）为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可【解答】解：依题意，
14、性质反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，（1）f（x） 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（，0），（0，+），故排除（1）；（2）f（x）x2 为定义域上的偶函数，排除（2）；（3）f（x）1，定义域为R，由于y2x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除（3）；（4）f（x）的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故（4）为理想函数故答案为 （4）【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复
15、合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法三、解答题：本大题共6小题，共计74分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质求解即可（2）利用对数的运算性质展开lg50，化为平方和公式，即可求解【解答】解：（1）（2）（lg5）2+lg2lg50（lg5）2+lg2lg（252）（lg5）2+lg2（2lg5+lg2）（lg5）2+2lg2lg5+（lg2）2（lg2+lg5）21【点评】本题考查指数与对数的运算性质，考查计算能力18【分析】（1）由全集为实数集R，Ax|3x7，Bx|2x10，知ABx|2x10，RAx|x3
16、，或x7，由此能求出R（AB）及（RA）B（2）由Ax|3x7，Cx|xa，利用AC，能求出a的取值范围【解答】解：（1）全集为实数集R，Ax|3x7，Bx|2x10，ABx|2x10，RAx|x3，或x7R（AB）x|x2或x10；（RA）Bx|2x3或7x10；（2）Ax|3x7，Cx|xaAC，a3【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答19【分析】（1）根据绝对值的意义，分当x1时，当x1时两种情况求解，最后再写成分段函数的形式，（2）每一段都是一次函数，图象是一条直线，在定义域内任取两点作图即可（3）根据图象，定义域即看横轴覆盖部分，值域即看纵
17、轴覆盖部分，奇偶性，看是否关于原点对称或关于纵轴对称单调增区间看上升趋势，单调减区间看下降趋势【解答】解：（1）（2）（3）定义域为R，值域为y|y0，图象即不关于原点对称也不关于y轴对称，所以f（x）是非奇非偶函数，单调增区间1，+），单调减区间（，1）【点评】本题主要考查绝对值函数转化为分段函数，研究其图象和性质还考查了数形结合的思想与方法20【分析】设熊猫居室的总面积为y平方米，x和（303x）就是养鸡场的长或宽然后用面积做等量关系可列方程求解解法1：配方后得y3（x5）2+75，利用二次函数的性质求得y取得最大值；解法2：将原函数式化成：，再结合基本不等式求出y取得最大值【解答】解：设
18、熊猫居室的总面积为y平方米，由题意得：yx（303x）（0x10）（6分）解法1：y3（x5）2+75，因为5（0，10），而当x5时，y取得最大值75 （10分）所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米 （12分）解法2：75，当且仅当3x303x，即x5时，y取得最大值75 （10分）所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米 （12分）【点评】点评：考查了函数模型的选择与应用、基本不等式等知识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解21【分析】（I）根据函数的单调性的定义进行判定，任取x1x2，然后判定f（
19、x1）f（x2）的符号，从而得到结论；（II）根据奇函数的定义建立等式关系，解之即可求出a的值；（III）根据函数在R上单调递增，求出函数f（x）在区间1，5）上的最小值即可【解答】解：（）f（x）的定义域为R，任取x1x2，则x1x2，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）所以不论a为何实数f（x）总为增函数（4分）（）f（x）在xR上为奇函数，f（0）0，即解得 （8分）（）由（）知，由（） 知，f（x）为增函数，f（x）在区间1，5）上的最小值为f（1），f（x）在区间1，5）上的最小值为（12分）【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，以及函数的最值，属于中档题22【分析】
20、由条件可得log2x2，令tlog2x2，则函数y（t3）（t1）在2，+）上是增函数，再利用函数的单调性求出函数的值域【解答】解：由可得 1，故有x4，log2x2函数（log2x3）（log2x1）令tlog2x2，则函数y（t3）（t1）在2，+）上是增函数，故当t2时，函数y（t3）（t1）取得最小值为1，故函数的值域为1，+）【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质的应用，属于中档题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/10/16 19:29:50；用户：13830903920；邮箱：13830903920；学号：19649881
