1、试卷第 1页，总 4页2020-2021 学年度下学期第一学程质量测试高二年级数学试题（文科）一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1已知抛物线的方程为24yx，则其准线方程为（）A116x B116y C1x D1y 2抛物线22yx的焦点坐标为（）A 1,02B10,4C10,8D 1,083已知 F 为抛物线2:4C yx的焦点，过点 F 的直线l 交抛物线C 于 A，B 两点，若6AB，则线段 AB 的中点 M 到抛物线C 的准线的距离为（）A3B4C5D64函数()yf x在定义
2、域3(,3)2内可导，其图象如图所示，记()yf x的导函数为()yfx，则不等式()0fx的解集为（）A1,12,3)3B14 8 1,23 3C3 1,1,22 2D311 4,232 35设曲线 f(x)ax2 在点(2，4a)处的切线与直线 4xy40 垂直，则 a（）A2B 116C 12D16已知抛物线214yx上的动点 P 到直线 l3y 的距离为 d，A 点坐标为(2，0)，则|PAd的最小值等于（）A 4B 25C 2 5D357曲线()yf x在1x 处的切线如图所示，则(1)(1)ff（）A0B 1C1D12试卷第 2页，总 4页8利用反证法证明“若3abc，则 a，b，
3、c 中至少有一个数不小于 1”正确的假设为（）A a，b，c 中至多有一个数大于 1B a，b，c 中至多有一个数小于 1C a，b，c 中至少有一个数大于 1D a，b，c 中都小于 19在研究吸烟是否对患肺癌有影响的案例中，通过对列联表的数据进行处理，计算得到随机变量2K的观测值56.632k 在犯错误的概率不超过 0001 的前提下，下面说法正确的是（）下面临界值表供参考20P Kk0.0250.0100.0050.0010k5.0246.6357.87910.828A由于2K 的观测值10.828k，所以“吸烟与患肺癌有关系”，该结论犯错误的概率不超过0.001B由于2K 的观测值10
4、.828k，所以“吸烟与患肺癌有关系”，该结论犯错误的概率不低于0.001C由于2K 的观测值10.828k，所以“吸烟与患肺癌没有关系”，该结论犯错误的概率不超过0.001D由于2K 的观测值10.828k，所以“吸烟与患肺癌没有关系”，该结论犯错误的概率不低于0.00110下列结论正确的个数为（）若 yln2，则 y 12；若 f(x)21x，则 f（3）227；若 y2x，则 y2xln2；若 ylog5x，则 y1ln5xA4B1C2D311警察抓了 4 名偷窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，甲乙丙丁四人相互认识，警察将四名嫌疑人分别进行审问.甲说：“是乙和丙其中一个干的.”乙说：“我和甲都没干
5、.”丙说：“我和乙都没干.”丁说：“我没干.”已知四人中有两人说谎，且只有一人偷窃，下列两人不可能同时说谎的是（）A甲和乙B乙和丙C丙和丁D丁和甲12已知()f x 为定义在(0,)上的可导函数，且()()f xxfx恒成立，则不等式21()()0 x ff xx 的解集为（）A(1,)B(,1)C(2,)D(,2)二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13抛物线220yx的焦点到其准线的距离为_.14直线过点1,0P 且交拋物线24yx于,A B 两点，若 A 是线段 PB 的中点，则直线 AB 的斜率为_.15函数 322f xxaxbxa在1x 处取得极值 10，则 ab _.试卷第
6、 3页，总 4页16设函数 2lnxef xtxxxx恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是_.三、解答题（第 17 题 10 分，其他每小题 12 分，共 70 分）17已知抛物线2:2C ypx的焦点为 F，(1,)Mt 为抛物线 C 上的点，且3|2MF.（1）求抛物线 C 的方程；（2）若直线2yx与抛物线 C 相交于 A，B 两点，求弦长|AB.18第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的固体废物污染环境防治法（修订草案）中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中.为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取50 户居民进行调查
7、，得到如下的 22列联表.分类意识强分类意识弱合计试点后5试点前9合计50已知在抽取的50 户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58.（1）请将上面的 22列联表补充完整；（2）判断是否有99.5%的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；参考公式：22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，其中 nabcd .下面的临界值表仅供参考20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828试卷第 4页，总 4页19某研究机构对某校高二文科
8、学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据x681012y2356（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程；（2）试根据（1）中求出的线性回归方程，预测记忆力为 14 的学生的判断力.（参考公式：其中1122211,nniiiiiinniiiixxyyx ynxyybxa baybxxxxnx）20已知函数3()212f xxx（1）求()f x 在点(1,(1)f处的切线；（2）求()f x 在区间 1,3上的最大值和最小值21已知函数 xf xeax.（1）讨论 fx 的单调性；（2）当1a ，若关于 x 的不等式 f xmx在0,上恒成立，
9、求实数 m 的取值范围22已知点(1,0)F，直线 L：1x ，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 L 的垂线，垂足为Q，且QP QFFP FQ .（1）求点 P 的轨迹C 的方程.（2）是否存在正数m，对于过点(,0)M m且与曲线C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有0FA FB？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由答案第 1页，总 4页高二下学期第一学程测试参考答案数学（文科）一、选择题1C2C3A4A5B6B7C8D9A10D11C12A11【详解】对于 A，若甲和乙同时说谎，甲说谎：则意思是甲或丁干的，乙说谎：则意思是甲或乙干的，丙：丙和乙都没干，是丁或甲干的，丁：
10、甲或乙或丙干的，此时可能是甲干的；对于 B，若乙和丙同时说谎，甲：丙或乙干的，乙说谎：甲或乙干的，丙说谎：则意思是乙或丙干的，丁：甲或乙或丙干的，此时选可能是乙干的对于 C，若丙和丁同时说谎，甲：丙或乙干的，乙：丙或丁干的，丙说谎：则意思是乙或丙干的，丁说谎：则意思是丁干的，此时选不出是谁干的，所以丁和丙不可能同时说谎；对于 D，若丁和甲同时说谎，甲说谎：则意思是甲或丁干的，乙：丙或丁干的，丙：丙和乙都没干，是丁或甲干的，丁说谎：则意思是丁干的，此时可能是丁干的12【解析】令()()f xg xx，则2()()()xfxf xg xx()()f xxfx()()0 xfxf x，即2()()(
11、)0 xfxf xg xx在(0,)上恒成立()g x 在(0,)上单调递减21()()0 x ff xx 1()()1ff xxxx，即1()()gg xx 1xx，即1x 故选 A二、填空题1310142 2315 716 1,2 33ee15【详解】由题意，函数 322f xxaxbxa，可得 232fxxaxb，因为 fx 在1x 处取得极值 10，可得2(1)320(1)110fabfaba，解得4 11ab 或3 3ab ，检验知，当3,3ab 时，可得 223633(1)0fxxxx-，此时函数 fx 单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）；当4,11ab 时，可得 238
12、11(311)(1)fxxxxx，当113x 或1x 时，0fx，fx 单调递增；当1113x时，0fx，fx 单调递减，当1x 时，函数 fx 取得极小值，符合题意.所以7ab .故答案为：7.答案第 2页，总 4页16【详解】由题意，函数 2lnxef xtxxxx，0,x，可得 222112121xxxext xxe xefxtxxxx 212xxet xx，因为函数 2lnxef xtxxxx恰有两个极值点，所以方程 0fx恰有两个正根，显然1x 时方程 0fx的一个正根，所以方程20 xet x有唯一正根，即方程2xetx有唯一正根，等价于函数 2xg xex与函数 yt 在0,上只
13、有一个交点，且交点横坐标不等于 1，因为 2222022xxxexeexgxxx，所以函数 g x 在0,上单调递增，又由 102g，13eg，函数 g x 的图象如图所示，可得12t 且3et.三、解答题17（1）22yx；（2）2 10.【详解】（1）3|122PMF ，所以1p ，即抛物线 C 的方程22yx.5 分（2）设1122,A x yB xy，由222yxyx得2640 xx所以126xx，124x x 8 分所以22121212|124ABkxxxxx x2 36162 10.10 分18（1）填表见解析（2）有 99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有关，【详
14、解】解：（1）根据在抽取的50户居民中随机抽取1户，到分类意识强的概率为0.58，可得分类意识强的有 29 户，故可得 22列联表如下：分类意识强分类意识弱合计试点后20525试点前91625合计2921506 分（2）因为2K 的观测值250(20 165 9)60509.9347.87925 25 29 21609k，10 分所以有99.5%的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有关12 分答案第 3页，总 4页19（1）0.72.3yx（2）判断力为 7.5.【详解】（1）68 10 1294x，235644y，2 分41(3)(2)(1)(1)1 1 3 214iiixxyy ，4
15、22221(3)(1)1 320iixx ，4 分所以140.720b.40.7 92.3aybx.6 分故线性回归方程为 0.72.3yx.8 分（2）当14x 时 0.7 142.37.5y，故可预测记忆力为 14 的学生的判断力为 7.5.12 分20（1）640 xy；（2）18，8 2【详解】（1）3212f xxx，则 2612fxx2 分则 110f，16f 故切线为1061yx，即640 xy5 分（2）2612622fxxxx当 12x 时，()0,(2)0fxf，当23x时，()0fx()f x在 1,2)上单调递减，在(2,3 上单调递增7 分(1)10,(3)18,(2
16、)8 2fff 10 分()fx在区间 1,3上的最大值和最小值分别是 18，8 212 分21（1）24yx；（2）存在，32 2,32 2.【详解】（1）设 P 的坐标为(,)x y，则(1,)Qy，可得(1,0)QPx，(2,)QFy，(1,)FPxy，(2,)FQy，QP QFFP FQ ，2(1)2(1)(2)xxy，化简得24yx，即动点 P 的轨迹C 的方程为：24yx；4 分（2）设直线l 的方程为 xtym，过点(,0)M m(0)m 的直线l 与曲线C 的交点为11,A x y，22,B xy，联立24xtymyx，消去 x，得2440ytym（*），5 分则1y，2y 是
17、方程（*）的两根，2160tm，且121244yytyym，6 分又111,FAxy，221,FBxy，由0FA FB，可得1212110 xxy y，即1 2121210 x xxxy y，7 分答案第 4页，总 4页由于22121 244yyx x，代入不等式可得：2222121212104444yyyyy y，化简得：22121212121210164y yy yyyy y，由式，化简不等式得22614mmt，10 分对任意实数t，不等式240t 恒成立，不等式对于一切t 恒成立等价于2610mm，11 分解之得32 232 2m，由此可得：存在正数m，对于过点(,0)M m，且与曲线C
18、 有两个交点 A，B 的任一直线，都有0FA FB 且m 的取值范围是32 2,32 2.12 分22（1）答案见解析；（2）,1e.【详解】解：（1）xf xeax，xfxea.1 分当0a 时，则 0fx在,上恒成立，所以 fx 在,上单调递增；2 分当0a 时，由 0fx，得lnxa，由 0fx，得lnxa，4 分所以 fx 在,ln a上单调递减，在ln,a 上单调递增.5 分综上所述，当0a 时，函数 fx 在,上单调递增；当0a 时，函数 fx 在,ln a上单调递减，在ln,a 上单调递增；6 分（2）由题意知xexmx在0,上恒成立，即1xemx 恒成立，8 分令 1xeg xx，其中0 x，则 21xxegxx.9 分当01x时，则 0gx；当1x 时，则 0gx.10 分所以 g x 在0,1 上单调递减，在1,上单调递增，则 min11g xge .所以实数 m 的取值范围为,1e.12 分
