1、课时作业22空间向量的正交分解及其坐标表示时间：45分钟基础巩固类一、选择题1以下四个命题中正确的是(B)A空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B若a，b，c为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量CABC为直角三角形的充要条件是0D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底解析：使用排除法因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，所以A不正确；ABC为直角三角形并不一定有0，可能是0，也可能是0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确2已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且ijk，则B点的坐标为(D
2、)A(1,1，1) B(i，j，k)C(1，1，1) D不确定解析：ijk，只能确定的坐标为(1,1，1)，而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定故选D.3正方体ABCDABCD，O1，O2，O3分别是AC，AB，AD的中点，以，为基底，xyz，则x，y，z的值是(A)Axyz1 BxyzCxyz Dxyz2解析：()()()，对比xyz得xyz1.4若e1，e2，e3是空间的一个基底，又ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dxaybzc，则x，y，z分别为(A)A.，1， B.，1，C，1， D.，1，解析：xaybzcx(e1e2e3)y(e1e2e3)z(
3、e1e2e3)(xyz)e1(xyz)e2(xyz)e3e12e23e3，由空间向量基本定理，得x，y1，z.5点M(1,3，4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的射影的坐标分别是(A)A(1,3,0)、(1,0，4)、(0,3，4)B(0,3，4)、(1,0，4)、(0,3，4)C(1,3,0)、(1,3，4)、(0,3，4)D(0,0,0)、(1,0,0)、(0,3,0)6若向量、的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量、成为空间一组基底的关系是(C)A.B.C.D.2解析：A中M、A、B、C共面，因1；B中可能共面，但可能；D不对，2
4、，四点共面，故选C.7已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是(A)A(12,14,10) B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)解析：8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k.8已知正方体OABCOABC的棱长为1，若以，为基底，则向量的坐标是(A)A(1,1,1) B(1,0,1)C(1，1，1) D(1,0,1)解析：由向量的线性运算知，所以的坐标是(1,1,1)二、填空题9设a，b，c是三个不共面向量，现从ab，abc中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向
5、量为(填写代号)解析：ab与a，b共面，ab与a，b不能构成空间的一个基底abc与a，b不共面，abc与a，b构成空间的一个基底10a，b，c为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，则x0，y0，z0.解析：若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x0，则abc，a，b，c共面这与a，b，c是基底矛盾，故xyz0.11已知四面体ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则3a3b5c.解析：如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则(5a6b8c)(a2c)3a3b5c.三、解答题12如下图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P
6、，Q是MN的三等分点，用向量，表示和.解：()()()；()()().13如下图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB6，AA14，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1NNC13.(1)若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标(2)若以D为原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标解：(1)正方形ABCD中，AB6，ACBD6，从而OAOCOBOD3，各点坐标分别为A(3，0,0)，B(0,3，0)，C(3，0,0)
7、，D(0，3，0)，O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A1(3，0,4)，B1(0,3，4)，C1(3，0,4)，D1(0，3，4)，M(0,3，2)，N(3，0,3)(2)同理，A(6,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)，O(3,3,0)，O1(3,3,4)，M(6,6,2)，N(0,6,3)能力提升类14如图所示，在四棱锥OABCD中，点M是OA的中点，以，为基底的向量xyz，则(x，y，z).解析：，又xyz，x，y0，z1.15已知e1，e2，e3为空间的一个基底，且2e1e
8、23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判断P、A、B、C四点是否共面；(2)能否以，作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量.解：(1)假设四点共面，则存在实数x、y、z使xyz，且xyz1，即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)，比较对应项的系数，得到关于x、y、z的方程组解得与xyz1矛盾，故四点不共面；(2)能若向量、共面，则存在实数m、n使mn，同(1)可证，这不可能，因此，可以作为空间的一个基底令a，b，c，由e12e2e3a，3e1e22e3b，e1e2e3c，联立得到方程组，从中解得所以17530.
