1、20202021学年度第一学期高二年级运东七县联考数学试卷第卷一、选择题（本大题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知命题，那么是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题可求出.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以是“”.故选：D.2. 设，为椭圆的两焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可得轴，从而可得，再利用椭圆的定义可得，即求.【详解】因为线段的中点在y轴上，所以轴，所以故选：C3. 在平行六面体中，与的交点为，设，则下列向量中与相
2、等的向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由，又,，可得答案.【详解】 故选：D4. 某校举行2020年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）A. 85，0.4B. 85，0.8C. 84，0.6D. 84，1.8【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图提供的数据计算均值和方差【详解】由茎叶图知有效的数据有，平均数为，方差为故选：B5. 先后抛掷两枚骰子，骰子朝上的点数分别记为，则满足的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】朝上的点数，组成的数对一共36个，满足所求事件的
3、有5个，即可算出答案.【详解】朝上的点数，组成的数对一共36个，期中满足的数对有6个，但是，故满足的数对有5个，因此所求概率为，故选：B6. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A. 甲地：总体均值为3，中位数为4B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大
4、于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差7. 某高中在校学生有2 000人为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表： 高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz其中abc235，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取(
5、)A. 36人B. 60人C. 24人D. 30人【答案】A【解析】根据题意可知样本中参与跑步的人数为200120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为12036.8. 已知，若是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出不等式，根据已知条件可得出集合的包含关系，由此可求得实数的取值范围.【详解】解不等式，可得或，解得或，由于是的必要不充分条件，所以，或，所以.故选：A.二、选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）9. 下列有关线性回归的说法，正确的有（ ）A. 相关关系的两个变量不一定是因果关系B. 散点图能直观地反映数据的
6、相关程度C. 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D. 任一组数据都有线性回归方程【答案】ABC【解析】【分析】根据相关关系的两个变量的关系以及散点图的作用和线性回归分析的相关概念可判断得出答案.【详解】根据两个变量具有相关关系的概念，可知A正确，散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度，且回归直线最能代表它们之间的相关关系，所以B、C正确.只有线性相关的数据才有回归直线方程，所以D不正确.故选：ABC10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的一条切线，与圆相切于点，与双曲线的右支交于点，且，则有关双曲线的说法正确的有（ ）A. 双曲线渐近线方程为B. 双曲线渐近线方程为C
7、. 双曲线的离心率等于D. 双曲线的方程为【答案】AC【解析】【分析】由结合双曲线的定义得，利用勾股定理得的关系可求得离心率，求得渐近线方程，但求不出双曲线方程，从而判断各选项【详解】，又，又，渐近线方程为，缺少条件求不出双曲线方程故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质，解题方法是双曲线的定义求得，然后由圆的切线得出的关系，从而可求得离心率与渐近线方程，本题中双曲线的定义是解题关键11. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则（ ）A.
8、B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据抛物线的定义进行推理判断【详解】由抛物线的定义，A正确；，是的平分线，B正确；若，由是外角平分线，得，从而有，于是有，这样就有，为等边三角形，也即有，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；连接，由A、B知，又，是平行四边形，显然，D正确【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，掌握抛物线的定义是解题基础12. 下列四个结论正确的是（ ）A. 任意向量，若，则或或B. 若空间中点，满足，则，三点共线C. 空间中任意向量都满足D. 已知向量，若，则为钝角【答案】AB【解析】【分析】由向量的数量积为即可判断选项A；由向量共线定理可判断B；向量的数量积运算
9、不满足结合律判断C；利用向量求夹角公式判断出当为钝角或时，即可判断选项D.详解】对于选项A：若，则或或，即或或，选项A正确；对于选项B：由，因为，所以，三点共线，选项B正确；对于选项C：向量的数量积运算不满足结合律，选项C不正确；对于选项D：，当为钝角或时，解得：，故若，则为钝角或.选项D不正确；故选：AB.【点睛】易错点睛：注意，向量，不一定垂直；，两向量，的夹角不一定为钝角.第卷（非择题）三、填空题13. 抛物线y=ax2(a0)的准线方程为_【答案】【解析】抛物线的标准方程为,所以其准线方程为.14. 为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分
10、布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为，最大频率为0.32，则的值为_【答案】54【解析】【分析】根据频率分布直方图先求出两组中的频数，再根据后5组频数和求出前三组频数和，从而求出第三组频数，再由最大频率求出第四组频数，即可求出结果.【详解】前两组中的频数为，因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38，第三组频数为，又最大频率为0.32，所以最大频数即第四组频数为，所以故答案为：5415. 过双曲线的右焦点向的两渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形（为坐标原点）的面积等于_【答案】12【解析】【分析】先由双曲线方程，得到，以
11、及两条渐近线的方程，根据点到直线距离公式，得到和的值，再由勾股定理，求出和的值，进而可求出四边形的面积.【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，则由题意，可得，因此故四边形（为坐标原点）的面积故答案为：1216. 已知椭圆的右焦点为，过原点的直线交椭圆于、两点，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】先记椭圆的左焦点为，根据题中条件，由对称性，得到，结合椭圆定义，得到，利用余弦定理，在三角形，列出等式求出；在三角形中，利用余弦定理，求出，进而可求出离心率.【详解】记椭圆的左焦点为，因为过原点的直线交椭圆于、两点，根据对称性，可得，由椭圆定义可得，在三角形中，所以由余弦定理可得：，故，解得，
12、在三角形中，由余弦定理可得所以，因此 故答案为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于利用椭圆的定义，结合对称性，得到，再利用余弦定理，分别求出椭圆的长半轴和半焦距，即可求解离心率.四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17. 如图所示，在正方体中，点，分别在，上，且，求与所成角的余弦值【答案】【解析】【分析】设正方体的棱长为3，分别以，为正交基底建立空间直角坐标系，由向量的夹角得异面直线所成的角【详解】解：不妨设正方体的棱长为3，分别以，为正交基底建立空间直角坐标系，则，所以，所以，因此，与所成角的余弦值是【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角解题方法是空间向量法求异面
13、直线所成角的两种方法：（1）定义法（几何法）：作出异面直线所成的角（并证明），然后解三角形得角；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法计算18. 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如图所示：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170185cm的概率；(3)从样本中身高在180190cm的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm的概率【答案】（）400（）（）【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图，求出样本中男生人数，再由分层抽样比例，估计全校男生人数；（2）由统计图计算出样本中身高在170
14、185cm之间的学生数，根据样本数据计算对应的概率；（3）利用列举法计算基本事件数以及对应的概率试题解析：（）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.（）由统计图知，样本中身高在170185cm之间的学生有35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170185cm之间的频率为，故可估计该校学生身高在170185cm之间的概率为；（）样本中身高在180185cm之间的男生有4人，设其编号为，样本中身高在185190cm之间的男生有2人，设其编号为，从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有
15、1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式19. 已知函数，（1）若对任意，恒有，求实数的取值范围；（2）若对任意，存在，使得，求实数取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】利用已知条件易知和在都是增函数，先求出的值域和的值域；（1）利用已知条件可得，代入求解即可；（2）利用已知条件可得，列出不等式组求解即可.【详解】易知和在都是增函数，因此当时的值域，的值域；（1）因对任意，恒有，则，即，所以（2）因对，使得，故，所以【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成
16、立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集 20. 某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱已知该网络购物平台近5年“双十一”购物当天成交额如下表：年份20152016201720182019成交额（百亿元）912172127（1）求成交额（百亿元）与时间变量（记2015年为，2016年为，以此类推）的线性回归方程；（2）试预测2021年该平台“双十一”购物当天的成交额（百亿元）参考公式： 【答案】（1）；（2）35.2百亿元【解析】【分析】（1）先根据题中条件，求出平均值，再利用最小二乘法求出和，进
17、而可得回归方程；（2）由（1）的结果，将代入，即可得出结果.【详解】（1）由已知得：，所以，则，所以；（2）以题意可知2021年为，当时，（百亿元）所以估计2021年该平台“双十一”购物当天的成交额为35.2（百亿元）【点睛】思路点睛：利用最小二乘法求回归直线方程的一般步骤：先根据题中数据求出两变量的平均值，再由最小二乘法对应的公式求出和，进而可求出直线方程.21. 已知曲线上的动点到直线的距离比它到点的距离大2（1）求曲线的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，分别交曲线于点、和、，求四边形面积的最小值【答案】（1）；（2）32【解析】【分析】（1）已知变形为动点到直线的距离和它到点的距离相
18、等轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程；（2）显然两直线的斜率都存在且不等于0，设直线的斜率为，直线方程抛物线抛物线方程后应用韦达定理得，由焦点弦长得，同理得，求出面积，再由基本不等式得最小值【详解】解：（1）由题意可知曲线上的动点到直线的距离和它到点的距离相等，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为（2）由题意可知两直线的斜率都存在且不等于0，设直线的斜率为，直线的方程为，代入，整理得：，由抛物线的定义可知同理可求，四边形面积，当且仅当，即时取等号，四边形的面积的最小值是32【点睛】方法点睛：本题考查求轨迹方程，考查直线与抛物线相交弦长问题根据曲线的定义求轨迹方程是基本方法过抛物
19、线的焦点弦问题：设交点坐标为，直线方程是，焦点弦长为，而可由韦达定理求得22. 已知椭圆，右焦点为过的直线交椭圆于点、两点，的中垂线交轴于点（1）若椭圆过点，且，求的值（2）对于任意给定的满足的椭圆，是否为定值，请说明理由【答案】（1）；（2）定值，理由见解析【解析】【分析】(1)根据条件先求出椭圆方程为，设的方程为：与椭圆方程联立可得中点，得出的中垂线的方程，进而求出点坐标，得出 的长，再由弦长公式得出，从而得出答案.(2) 直线的斜率存在，设的方程为：，与椭圆方程联立，得出的中垂线的方程，进而求出点坐标，当时，得出 的长，再由弦长公式得出，再讨论的情况，得出答案.【详解】解：（1）由题意知，所以焦点坐标为 由椭圆过点，椭圆的方程由题意可知，直线的斜率存在，设的方程为：，则联立整理得，整理得，中点的横坐标为，则 所以中点，当时，的中垂线的方程为：，令，则，所以，又所以当时，的中垂线为轴，为原点，此时，综上，的值为（2）由题意可知，直线的斜率存在，设的方程为：，则联立，整理得，则中点的横坐标为的中点的纵坐标为 中点，当时，的中垂线的方程为：，又当时，的中垂线为轴，为原点，此时，综上，（定值）【点睛】关键点睛：本题考查椭圆与直线的位置关系，考查弦长公式的应用，解答本题的关键是求出中点，进一步求出，然后求出，属于难题.
