1、第二课时参数方程和普通方程的互化 目 标 导 学 1掌握参数方程化为普通方程的方法2理解参数方程与普通方程互相转化的原理及其应用知识梳理1曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程2如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数t的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致(1)一般地，将参数方程中的参数消去就会得到普通方程，常采用消去法或代入法进行消参(2)普通方程化为参数方程一般找出变数x，y中的一个与参数t的关系，如：xf(t)，把它
2、代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是所求的曲线的参数方程(3)消参的常用方法代入法，先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程利用代数或三角函数中的恒等式消去参数，例如对于参数方程如果t是常数，是参数，那么可以利用公式sin2cos21消参；如果是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(mn)2(mn)24mn消参题型一将参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程，并说明是什么曲线(1)(t为参数)；(2)(为参数)；(3)(t为参数)【思路探索】解决此题的关键是消去参数【解】(1)x12，.x1，将代入y34，得2xy10(x1)，表示一
3、条射线(2)xcos sin sin，x， x212sin cos ，将sin cos y代入，得x212y且|x| ，是抛物线的一部分(3)由y得t2，代入x，可得8x2y21且y1，是少一点的椭圆名 师 点 拨并不是所有的参数方程都能化为普通方程；参数方程化为普通方程时要保证转化过程的等价性，坐标x，y的变化范围不能扩大或缩小，即对应曲线上的点的坐标不能有增减实际上，坐标x，y的取值范围是由参数方程给定的，所以为了防止转化过程中出现范围的变化，也可以先由参数方程讨论x，y的变化范围，再对方程进行转化.(2019文昌高二期中)将下列参数方程化为普通方程(1)(2)解：(1)当k0时，xy0，
4、当k0时，2k，k，将k代入x，得4x2y26y.当xy0时，上式也成立所求普通方程为4x2y26y.(2)将ysin cos 两边平方，得y21sin 2，与x1sin 2相加，得y2x2.所求普通方程为xy22.已知曲线C的参数方程(k为参数)(1)求x的取值范围；(2)把参数方程化为普通方程【解】(1)由x知，当k0时，x0，当k0时，x；当k0时，x，0x；当k0时，x.x0.综上，得x.(2)由(k为参数)，得.k代入y得，y，整理得4x2y2y0.又y，0y1，曲线的普通方程为4x2y2y0x，y(0,1.名 师 点 拨在消参时，还要注意常数的取值对消参的影响(常数是对参数而言的，
5、其实它的取值也是变化的)，也就是要注意分类讨论思想的应用，分类讨论的关键是根据题意确定分类的标准，使分类不重不漏.将下列参数方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线(1)(t为参数)；(2)(t为参数)解：(1)由xcos2t1sin2t1y2，得y2x1.xcos2t，0x1.普通方程为y2x1(0x1)由y2(x1)知，它表示的是以(1,0)为顶点，开口向左的一条抛物线上的一段(2)由已知得，x2y22221，由x1，而0，得x1，普通方程为x2y21(x1)，它表示以原点为圆心，以1为半径的圆(除去点(1,0)题型二将普通方程化为参数方程根据下列条件求椭圆1的参数方程(1)x2sin
6、 ，为参数；(2)y3t，t为参数【思路探索】将x2sin 和y3t分别代入椭圆方程，分别求出y和x即可【解】(1)把x2sin 代入1中，得1cos2，y3|cos |，由于具有任意性，取y3cos .故1的参数方程为(为参数)(2)把y3t代入1中，得x24(1t2)，x2，椭圆1的参数方程为(t为参数)和(t为参数).名 师 点 拨同一个普通方程，由于选择参数不同，得到的参数方程也不同，由普通方程化为参数方程的主要过程是解方程，在求解过程中要注意等价变形，如开方，去分母等.(2019张家口阶段测试)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为22cos 30，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的方程为ykx.(1)求曲线C的参数方程；(2)曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|OB|2，求k的值解：(1)曲线C的直角坐标方程为x2y22x30，即(x1)2y24，曲线C的参数方程为(为参数)(2)直线l的参数方程为(t为参数)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t230.设t1，t2为方程的两个根，则t1t2，t1t230，|OA|OB|t1t2|2，k0.
