1、第二章 函数、导数及其应用 第十一节 变化率与导数、导数的计算 第二章 函数、导数及其应用 主干知识梳理一、导数的概念1函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点处的(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为(x0，f(x0)切线的斜率yf(x0)f(x0)(xx0)第二章 函数、导数及其应用 2函数 f(x)的导函数称函数 f(x)f（x x）f（x）x为 f(x)的导函数第二章 函数、导数及其
2、应用 二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)f(x)xn(nQ*)f(x)f(x)sin xf(x)f(x)cos xf(x)f(x)axf(x)0nxn1cos xsin xaxln a第二章 函数、导数及其应用 f(x)exf(x)ex f(x)logaxf(x)1xln af(x)ln xf(x)1x第二章 函数、导数及其应用 三、导数的运算法则 1f(x)g(x)f(x)g(x)；2f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3f（x）g（x）f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0)第二章 函数、导数及其应用 4复合函数的导数复合函数
3、yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx，即y对x的导数等于的与的导数的乘积yuuxy对u导数u对x第二章 函数、导数及其应用 基础自测自评1(教材习题改编)若 f(x)xex，则 f(1)()A0 BeC2e De2C f(x)exxex，f(1)2e.第二章 函数、导数及其应用 2曲线 yxln x 在点(e，e)处的切线与直线 xay1 垂直，则实数 a 的值为()A2 B2C.12D12第二章 函数、导数及其应用 3(教材习题改编)某质点的位移函数是 s(t)2t312gt2(g10 m/s2)，则当 t2 s 时，它的加速度是()A14 m/s2B4 m/
4、s2C10 m/s2D4 m/s2A 由 v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，得 t2 时，a(2)v(2)1221014(m/s2)第二章 函数、导数及其应用 4函数yxcos xsin x的导数为_解析 y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x.答案 xsin x第二章 函数、导数及其应用 5(2014湖北黄冈一模)已知函数f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，则f(0)_解析 f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，f(0)(1)(
5、2)(3)(4)(5)120.答案 120第二章 函数、导数及其应用 关键要点点拨1函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误第二章 函数、导数及其应用 2曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(2)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点点P可以是切点，也可以不是
6、切点，而且这样的直线可能有多条第二章 函数、导数及其应用 典题导入用定义法求下列函数的导数(1)yx2；(2)y4x2.利用导数的定义求函数的导数第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练1一质点运动的方程为 s83t2.(1)求质点在1，1 t这段时间内的平均速度；(2)求质点在 t1 时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)解析(1)s83t2，s83(1t)2(8312)6t3(t)2，vst63t.第二章 函数、导数及其应用 第二章 函数、导数及其应用 典题导入求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2
7、)yex1ex1；(3)yln(2x5)导数的运算第二章 函数、导数及其应用 听课记录(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y（ex1）（ex1）（ex1）（ex1）（ex1）2 ex（ex1）（ex1）ex（ex1）22ex（ex1）2.(3)令 u2x5，yln u，则 y(ln u)u12x5222x5，即 y22x5.第二章 函数、导数及其应用 规律方法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误(3)复合函数求导的关键是分清函数的复合形式
8、，其导数为两层导数的积，必要时可换元处理第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练2求下列函数的导数(1)yexln x；(2)yxx21x1x3；(3)y 3x.第二章 函数、导数及其应用 解析(1)y(exln x)exln xex1xexln x1x.(2)yx311x2，y3x22x3.第二章 函数、导数及其应用(3)设 u3x，则 y 3x由 yu12与 u3x 复合而成故 yf(u)u(x)(u12)(3x)12u(1)12u12 3x 3x2x6.第二章 函数、导数及其应用 典题导入(2014济南模拟)已知函数f(x)mx32nx212x的减区间是(2，2)(1)试求m、n的值；(2)
9、过点A(1，t)是否存在与曲线yf(x)相切的3条切线，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由导数的几何意义第二章 函数、导数及其应用 听课记录(1)由题意知：f(x)3mx24nx120 的解集为(2，2)，所以2 和 2 为方程 3mx24nx120 的两个根，由根与系数的关系知 04n3m，4123m，即 m1，n0.第二章 函数、导数及其应用(2)存在满足条件的三条切线设点 P(x0，f(x0)是曲线 f(x)x312x 的切点，则在 P 点处的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)，即 y3(x204)x2x30.因为其过点 A(1，t)，所以 t3(x204)2x3
10、02x303x2012，因为有三条切线，所以方程应有 3 个实根，设 g(x)2x33x2t12，故只要使此曲线有 3 个零点即可第二章 函数、导数及其应用 令 g(x)6x26x0，x0 或 x1 分别为 g(x)的极值点，当x(，0)和(1，)时，g(x)0，g(x)在(，0)和(1，)上单调递增，当 x(0，1)时，g(x)0，g(x)在(0，1)上单调递减，所以，x0 为极大值点，x1 为极小值点所以要使曲线与 x 轴有 3 个交点，当且仅当g（0）0，g（1）0，即t120，t110，解得12t11.第二章 函数、导数及其应用 互动探究在本例条件下，求过点A(1，11)且与曲线yf(
11、x)相切的切线方程解析 由例3知m1，n0.f(x)x312x.f(x)3x212，f(1)1312111，当A为切点时，kf(1)9.切线方程为9xy20.当A不为切点时，设切点P(x0，f(x0)，kf(x0)3x12.第二章 函数、导数及其应用 切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)，即 y3(x204)x2x30.切线过点 A(1，11)，代入得 2x303x2010，(x01)2(2x01)0，x01 或 x012，即 P(12，478)kf(12)454.切线方程为 45x4y10.所以过 A(1，11)的切线为 9xy20 或 45x4y10.第二章 函数、导数及其应用 规
12、律方法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点 A(x0，f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1)，即解方程 f(x1)k；(3)已知切线过某点 M(x1，f(x1)(不是切点)求切点，设出切点 A(x0，f(x0)，利用 kf（x1）f（x0）x1x0f(x0)求解 第二章 函数、导数及其应用 跟踪训练3(1)(2012新课标全国卷)曲线yx(3ln x1)在点(1，1)处的切线方程为_解析 y3ln x13，所以曲线在点(1，1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y14(x1)，即y4x3.
13、答案 y4x3第二章 函数、导数及其应用(2)(2014乌鲁木齐诊断性测验)直线y12xb与曲线y12xln x相切，则 b 的值为()A2 B1C12D1第二章 函数、导数及其应用 B 设切点的坐标为a，12aln a，依题意，对于曲线 y12xln x，有 y121x，所以121a12，得 a1.又切点1，12 在直线 y12xb 上，故1212b，得 b1.第二章 函数、导数及其应用 (2014上海徐汇摸底)已知函数f(x)x33x，过点P(2，2)作曲线yf(x)的切线，则切线的方程为_【错解】由f(x)x33x知f(x)3x23，kf(2)3439.切线方程为y29(x2)，y9x1
14、6.【创新探究】忽视判断点是否为切点而致误第二章 函数、导数及其应用【错因】上述解法中易认为P(2，2)是曲线切线的切点，从而导致解答中缺少一种解的可能性【解析】当P(2，2)为切点时，切线方程为y9x16；当P(2，2)不是切点时，设切点为(a，b)，则ba33a，由于y3x23，所以切线的斜率k3a23，第二章 函数、导数及其应用 故切线方程为 yb(3a23)(xa)，又切线过点(2，2)，所以2b(3a23)(2a),解得a1，b2或a2，b2，(舍去)，所以切线方程为 y2.综上，所求的切线方程为 y9x16 或 y2.【答案】y9x16 或 y2第二章 函数、导数及其应用【高手支招
15、】求曲线的切线方程时要注意过某点的切线问题中此点不一定是切点，此点也可能不在曲线上，所以要先判断再去解决，切忌盲目地认为给出点就是切点第二章 函数、导数及其应用 体验高考(2012安徽高考)设定义在(0，)上的函数 f(x)ax 1axb(a0)(1)求 f(x)的最小值；(2)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y32x，求 a，b 的值第二章 函数、导数及其应用 解析(1)解法一：由题设和均值不等式可知，f(x)ax 1axb2b，其中等号成立时当且仅当 ax1，即当 x1a时，f(x)取最小值为 2b.解法二：f(x)的导数 f(x)a 1ax2a2x21ax2，当 x1a时，f(x)0，f(x)在1a，上递增；第二章 函数、导数及其应用 当 0 x1a时，f(x)0，f(x)在0，1a 上递减 所以当 x1a时，f(x)取最小值为 2b.(2)f(x)a 1ax2，由题设知，f(1)a1a32，解得 a2 或 a12(不合题意，舍去)将 a2 代入 f(1)a1ab32，解得 b1.所以 a2，b1.第二章 函数、导数及其应用 课时作业
