1、能力提升练导数及其应用(建议用时：90分钟)一、选择题1(2014济宁一模)若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a的值为()A2B1C1D2解析直线ax2y10的斜率为，函数的导数为f(x)sin xxcos x，所以fsincos 1，由11，解得a2.答案D2(2014韶关模拟)曲线yex在点A处的切线与直线xy30平行，则点A的坐标为()A(1，e1)B(0,1)C(1，e)D(0,2)解析直线xy30的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为yex，所以由yex1，解得x0，此时ye01，即点A的坐标为(0,1)答案B3(2014山东省实验中学诊断)曲线
2、yx3x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()ABCD解析yf(x)x21，在点的切线斜率为kf(1)2.所以切线方程为y2(x1)，即y2x，与坐标轴的交点坐标为，所以三角形的面积为.答案B4(2014肇庆期末考试)函数f(x)x的单调递减区间是()A(1,1)B(1,0)(0,1)C(1,0)，(0,1)D(，1)，(1，)解析函数f(x)x的定义域为x0，令f(x)10，解得1x0或0x1，所以函数f(x)的单调递减区间是(1,0)，(0,1)答案C5设函数g(x)x(x21)，则g(x)在区间0,1上的最小值为()A1B0CD解析g(x)x3x，由g(x)3x210，解得x或(舍去
3、)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g(x)0g(x)0极小值0所以当x时，g(x)有最小值g.答案C6(2014即墨模拟)函数ysin x的图象大致是()解析函数yf(x)sin x为奇函数，所以图象关于原点对称，排除B.当x时，y0，排除D.f(x)cos x，由f(x)cos x0，得cos x，所以函数yf(x)sin x的极值有很多个，排除A，所以选C.答案C7(2014厦门质检)已知函数f(x)sin xx(x0，)，那么下列结论正确的是()Af(x)在上是增函数Bf(x)在上是减函数Cx0，f(x)fDx0，f(x)f解析注意到f(x)cos x，当x时，f(
4、x)0；当x时，f(x)0，f(x)ln x12ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f(x)0有两个不等的正根，即函数yln x1与y2ax的图象有两个不同的交点(x0)，则a0；设函数yln x1上任一点(x0,1ln x0)处的切线为l，则kly，当l过坐标原点时，x01，令2a1a，结合图象知0a0，即x(ex2)0，xln 2或x0.令f(x)0，即x(ex2)0，0xln 2.因此函数f(x)的递减区间是(0，ln 2)；递增区间是(，0)和(ln 2，)(2)易知f(x)ex(x1)ex2kxx(ex2k)f(x)在x0，)上是增函数，当x0时，f(x)x(ex2k)0恒成立ex
5、2k0，即2kex恒成立由于ex1，2k1，则k.又当k时，f(x)x(ex1)0当且仅当x0时取等号因此，实数k的取值范围是.16(2014温州五校联考)已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式；(2)若过点A(1，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围解(1)f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即解得a1，b0.f(x)x33x.(2)由(1)知f(x)3x233(x1)(x1)，曲线方程为yx33x，点A(1，m)(m2)不在曲线上设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0x3x0.f(x0)3(x1)，切线
6、的斜率为3(x1)，整理得2x3xm30.过点A(1，m)可作曲线的三条切线，关于x0的方程2x3xm30有三个实根设g(x0)2x3xm3，则g(x0)6x6x0，由g(x0)0，得x00或1.g(x0)在(，0)和(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减函数g(x0)2x3xm3的极值点为x00和1.关于x0的方程2x3xm30有三个实根的充要条件是解得3m0)(1)若对于x(0，)都有f(x)2(a1)成立，试求a的取值范围；(2)记g(x)f(x)xb(bR)，当a1时，函数g(x)在区间e1，e上有两个零点，求实数b的取值范围解(1)f(x).由f(x)0，解得x；由f(x)0，解得0x2(a1)成立，所以只需满足f2(a1)即可则aln 22(a1)，即aln a.由aln a，解得0a0解得x1；由g(x)0解得0x1.所以函数g(x)在区间(0,1)上为减函数，在区间(1，)上为增函数又因为函数g(x)在区间e1，e上有两个零点，所以解得1be1，所以b的取值范围是.
