1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-1第二章 圆锥曲线与方程成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 圆锥曲线与方程 第二章 第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2.4 抛物线2.4.2 抛物线的几何性质第1课时 抛物线的几何性质第二章 第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课前自主预习第二
2、章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线抛物线的几何性质.第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 1.抛物线的标准方程有几种形式？2抛物线的标准方程中参数p
3、的几何意义是什么？答案：1.抛物线的标准方程有4种形式即y22px，y22px，x22py，x22py(p0)2在抛物线的方程中只有一个参数p，它的几何意义是焦点到准线的距离，因此p0，p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 一、抛物线的几何性质设抛物线的标准方程为y22px(p0)，其性质有如下几个方面：1范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口向右2对称性以y
4、代y，方程不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形抛物线的对称轴叫做抛物线的轴第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y0时，x0，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点4离心率抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义知e1.注意：抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线，它没有中心第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选
5、修2-1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，y0)，若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|()A2 2 B2 3C4D2 5答案 B导学号 64150487第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 依题意，设抛物线方程为 y22px(p0)，其准线方程为 xp2.因为点 M 在抛物线上，所以由抛物线定义，得 2p23，解得 p2，故抛物线方程为 y24x，且 y20428，|OM|x20y20 2282 3.第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数
6、学 选修2-1 二、四种标准形式的抛物线几何性质比较 图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点坐标(p2，0)(p2，0)(0，p2)(0，p2)第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0 x0y0y0对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e1参数 p 的几何意义参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越开阔第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 设抛
7、物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，则抛物线的方程为_答案 y28x或y216x解析 当 m0 时，准线方程为 xm42，m8，此时抛物线方程为 y28x；当 m0)过焦点 F 的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线的准线为 l，过 A，B 作准线的垂线，垂足为 A1，B1.第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切；以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切(2)A1FB1F；ANBN.(3)|AB|x1x2p 2psin2(为直线 AB 的倾斜角)；特别地，当 90时，AB
8、 叫做抛物线的通径，是焦点弦中最短的(4)SAOB p22sin(为直线 AB 的倾斜角)(5)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2p24，y1y2p2.(6)1|AF|1|BF|2p.第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 过抛物线y22px(p0)的焦点的一条直线和抛物线交于两点，两个交点的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2p2.解析 证法一：由 y22px，得焦点 F(p2，0)，设过 F 的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(1)当 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk(xp
9、2)由 y22px 可得 xy22p.代入，得 ky22pykp20.由根与系数的关系，得 y1y2p2.导学号 64150489第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)当 AB 的斜率不存在时，则有 ABy 轴，由抛物线定义可知 y1p，y2p，y1y2p2.综上，y1y2p2.证法二：由 y22px(p0)得焦点 F(p2，0)，并设过 F 的直线交抛物线于 A(y212p，y1)，B(y222p，y2)A，B，F 三点共线，当 kAB 存在时，有y1y212pp2y2y222pp2.第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路
10、高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 整理，得(y1y2p2)(y2y1)0.当 y1y2 时，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾，y1y2，y1y2p2.当 kAB 不存在时，由抛物线定义知 y1p，y2p，y1y2p2.综上，y1y2p2.第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 四、焦半径公式设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫做抛物线的焦半径，由抛物线的定义可知：若 M(x0，y0)在抛物线 y22px(p0)上，则|MF|x0p2.利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，
11、解题时方便快捷第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 过抛物线 y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若|PQ|4p，则 y21y22等于()A4p2B5p2C6p2D8p2答案 C解析 设焦点为 F，则|PQ|PF|QF|(x1p2)(x2p2)x1x2p4p，则 x1x23p，y21y222p(x1x2)6p2.导学号 64150490第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 五、与抛物线有关的最值问题1涉及抛物线上的点与焦点或准线有关的
12、距离最值问题，一般用定义转化为几何问题求解2最值问题的一般方法是根据条件建立目标函数，转化为求函数的最值问题(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解；也可以转化为抛物线的切线与定直线平行时，两直线的距离问题第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解常用的设点技巧是设 P(x0，y0)是 y22px(p0)上一点，则x0y202p，即 P(y202p，y0)，或设 P(2pt
13、2,2pt)由两点间的距离公式、点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解此时应注意变量范围的应用如 y22px(p0)，则 x0，y20.第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 求抛物线y264x上的点到直线4x3y460的距离的最小值，并求取得最小值时该点的坐标解析 解法 1：设 P(x0，y0)为抛物线 y264x 上一点，则其到直线 4x3y460 的距离 d|116y23y46|5 180(y24)22.故当 y24，即 P 的坐标为(9，24)时距离最小值为 2.导学号 64150491第二章 2.4 2.4.
14、2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解法 2：y264x，4x3y460 无实根，直线与抛物线没有公共点设与直线 4x3y460 平行的直线为 y43xb，由y43xb，y264x消去 x 得 y248y48b0第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 设此直线与抛物线相切，即只有一个公共点，4824(48b)0，b12.代入得 y24，x9，即点(9，24)到直线 4x3y460 的距离最短，最短距离为 d|4932446|52.第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B
15、版 数学 选修2-1 课堂典例探究第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程思路分析 先确定椭圆短轴所在的坐标轴，再利用抛物线的几何性质可求抛物线几何性质求标准方程 导学号 64150492第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 椭圆 9x24y236 可化为x24y291，则抛物线对称轴为 x 轴，设抛物线方程为 y2ax(a0)，又抛物线焦点到顶点的距离为 3，则有|
16、a4|3，a12，故所求抛物线方程为 y212x 或 y212x.方法总结 若已知焦点在 x 轴，则抛物线可设为 y2ax(a0)，且注意焦点到顶点的距离与 x 系数的关系式第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 分别求适合下列条件的抛物线方程(1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点 A(2,3)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.分析 根据条件，结合抛物线的定义，求出焦参数 p，从而求得方程导学号 64150493第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1
17、解析(1)由题意，方程可设为 y2mx 或 x2ny，将点A(2,3)的坐标代入，得 32m2 或 22n3，m92或 n43.所求的抛物线方程为 y292x 或 x243y.(2)由焦点到准线的距离为52，可知 p52.所求抛物线方程为 y25x 或 y25x 或 x25y 或 x25y.第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 抛物线中最值问题已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标思路分析 若设出P点坐标利用两点间距离公式求解，含有根号较复杂，考虑用定义
18、将|PF|转化为到准线的距离导学号 64150494第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 由定义知，抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点P 到准线 l 的距离 d，由图可知，求|PA|PF|的问题可转化为求|PA|d 的问题将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y 6.62，点 A 在抛物线内部第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 设抛物线上点 P 到准线 l：x12的距离为 d，由定义知|PA|PF|PA|d，由图可知，当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值为72
19、，即|PA|PF|的最小值为72，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y22x，得 x2.点 P 坐标为(2,2)方法总结 解决这类问题，关键是数形结合，弄清定点与抛物线的位置关系，然后再运用定义进行转化求解第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 抛物线y4x2上的点到直线y4x5的距离最短，则该点坐标是什么？分析 只需在抛物线上设出点，进而表示出点到直线距离，转化为函数求解即可解析 设所求点为(x0，y0)，则 y04x20，故(x0，y0)到直线 y4x5 的距离为d|4x0y05|17|4x04x205|17|2x0124|17.故当
20、2x01，x012时，dmin4 1717，y01.故此时所求点为(12，1).导学号 64150495第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 抛物线的证明与求值过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作一条直线交抛物线于 A，B 两点，求 1|AF|1|BF|的值思路分析|AF|和|BF|是抛物线的两条焦点弦的长，可利用焦点弦公式求解，由于中间出现了 x1x2，x1x2，所以应用韦达定理比较方便导学号 64150496第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 设焦点坐标为 F(
21、p2，0)，则直线 AB 方程为 yk(xp2)，将其与 y22px(p0)联立，得 k2x2(k2p2p)xk2p24 0.设焦点弦的端点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，得|AF|x1p2，|BF|x2p2，且 x1x2k2p2pk2，x1x2p24，第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 1|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1x2px1x2p2x1x2p24k2p2pk2pp24 p2k2p2pk2p242p.即 1|AF|1|BF|的值为2p，为定值第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路
22、高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方法总结 在本题中，我们可以得到抛物线的几个重要结论：设线段 AB 为过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的倾斜角为，则(1)x1x2p24，y1y2p2；(2)|AB|2psin2，当 90时，|AB|min2p，这时的弦 AB 叫做抛物线的通径；(3)1|AF|1|BF|2p；(4)以 AB 为直径的圆与准线相切；(5)焦点 F 对 A，B 两点在准线上射影的张角为 90.第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 设 AB 为过抛物
23、线 y22px(p0)焦点 F 的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)为弦的两端点，直线 AB 的倾斜角为.求证：|AB|2psin2.解析 因为直线 AB 为抛物线 y22px(p0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以|AB|x1x2p.已知焦点 F(p2，0)，设直线 AB 的方程为 yk(xp2)导学号 64150497第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 将它与 y22px(p0)联立，得 k2x2(k2p2p)xk2p24 0.由韦达定理，得 x1x2k2p2pk2，x1x2p24，所以|AB|x1x2pk
24、2p2pk2p2p(11k2)因为直线 AB 的倾斜角为，所以 ktan，所以 11k21 1tan21cos2sin2sin2cos2sin2 1sin2，所以|AB|2psin2.第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 抛物线焦点位置考虑不周致错已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2y24 相交的公共弦长等于 2 3，求这条抛物线的方程错解 设抛物线方程为 y22px，交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由对称性，x1x2，y1y2.y1y22 3，解得 y2 3，y1 3，x1x21，导学号 64150
25、498第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 C(1，3)在 y22px 上，p32，所求的抛物线方程为 y23x.错因分析 因为圆和抛物线都关于 x 轴对称，所以它们的交点也关于 x 轴对称，即公共弦被 x 轴垂直平分，于是由弦长等于 2 3，可知交点纵坐标为 3.同时应注意抛物线开口方向第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 正解 设所求抛物线方程为 y22px(p0)或 y22px(p0)设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，则|y1|y2|2 3，即 y1y22 3，由对称性知：y2y1 代入上式得 y1 3.把 y1 3代入 x2y24，得 x1，点 C(1，3)在抛物线 y22px 上，点 C(1，3)在抛物线 y22px 上，32p 或 32p(1)，p32，所求抛物线方程为 y23x 或 y23x.第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 抛物线的几何性质(掌握)范围对称性顶点：原点离心率：e1第二章 2.4 2.4.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课 时 作 业（点此链接）
