1、北师大版高中数学必修5 3.1 等比数列 第一章 数 列 高中数学必修5目标定位【学习目标】1通过类比，理解等比数列的概念并学会简单应用2通过类比，掌握等比中项的概念并会应用3通过类比，掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程【重、难点】重点：等比数列的定义和通项公式.难点：等比数列与指数函数的关系.学习目标和重难点新知探究（一）等比数列的概念等比数列的定义、通项公式的推导、等比中项、等比数列与指数函数的关系等的研究方法都与等差数列相似，你能否根据研究等差数列的方法来研究等比数列呢？请尝试完成下表.新知探究（一）等比数列的概念等差数列等比数列定义语言描述如果一个数列从第2项起，数列的每一项与前一
2、项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.如果一个数列从第2项起，数列的每一项与前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母q()表示.新知探究（一）等比数列的概念等差数列等比数列定义符号表示 1=(2)或+1 =(1)=(，)或+=(，)新知探究（二）等比数列的通项公式等差数列等比数列通项公式的推导不完全归纳法根据等差数列的定义+1 =，得+1=+.2=1+，3=1+2，4=1+3，=1+(1).根据等比数列的定义+1=，得+1=.2=1，3=2=12，4=3=13，=11.新知探究（二
3、）等比数列的通项公式等差数列等比数列通项公式的推导累加法根据等差数列的定义，1=，1 2=，2 3=，2 1=.将以上 1个等式相加，得 1+1 2+23+2 1(1)即 1=(1)，=1+1 根据等比数列的定义，=，=，=，=.将以上 个等式相乘，得 =,即=新知探究（二）等比数列的通项公式等差数列等比数列通项公式的推导法迭代根据等差数列的定义，=1+=2+=2+2=3+2=3+3=1+1 .根据等比数列的定义，=.新知探究（二）等比数列的通项公式等差数列等比数列通项公式的推导通项公式=1+1 =+公差=公比=+=+=新知探究（一）等差数列前 n 项和与的关系等差数列等比数列中项定义当三个数
4、 a，A，b成等差数列时，A叫做a与b的等差中项.性质2Aab注意事项任意两个数a与b都有等差中项，且等差中项是唯一的.当三个数 a，A，b成等比数列时，A叫做a与b的等比中项.=+只有当 时，a与b才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.典例突破例1.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an.由条件可得数列an是一个等比数列其中a10.84，q0.84.设an0.5，则0.84n0.5.两边取对数，得
5、nlg 0.84lg 0.5，用计算器算得n4.这种物质的半衰期大约为4年（一）等比数列通项公式的应用典例突破【解题反思】如何求解等比数列应用题？答：求解数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算不要在运算中出现问题（一）等比数列通项公式的应用典例突破变式.某人买了一辆价值13.5万元的新车.专家预测这种车每年按10%的速度折旧.（1）用一个式子表示n(N)年后这辆车的价值；（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得多少钱？【解析】（1）设n(N)年后这辆车的价值为，则=13.5(1 10%)（2）用满4年时
6、，这两车的价值为4=13.5(1 10%)4 88573（元）他大概能得到约88573元.（一）等比数列通项公式的应用典例突破（二）等比数列的判定例2.根据下图中的框图，写出所打印数列的前5 项，并建立数列的递推公式这个数列是等比数列吗？【解析】若将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，.由框图可知，a11，2=1 12=12，3=2 12=14，4=3 12=18，5=4 12=116.典例突破（二）等比数列的判定于是，可得递推公式 1=1 =12 1(1)，所以1=12，从而这个数列是等比数列，其通项公式是=121.【解题反思】如何判定一个数列是否为等比数列？要判定一个数列是等比数
7、列，只需证明对于任意正整数n，+1 是一个与n无关的常数就可以了.典例突破变式2.已知数列an的前n项和为Sn，Sn13(an1)()(1)求a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列（二）等比数列的判定【解析】(1)由S113(a11)，得a113(a11)，解得a112.又S213(a21)，即a1a213(a21)，得a214.(2)证明：当n2时，anSnSn113(an1)13(an11)，得+1=12an是首项为12，公比为12的等比数列典例突破（三）等差比数列的项例3.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项【解析】设这个等比数列的第1项是a1，公比是q
8、，那么a1q212 a1q318 由，得q32，将q12代入，得a1163.a2a1q163 328.这个数列的第1项与第2项分别是163 与8.典例突破【解题反思】在等比数列an中，如何求解a1，q，n，an中的量？答：在上述四个量中，至少要知道其中的三个量，才能求其他的量，而且求解时常常利用方程思想，通过方程组解得（三）等比数列的项典例突破变式3.在等比数列an中，已知a2a518，a3a69，求an.【解析】2+5=1+14=183+6=12+15=9，解得=12，a132.ana1qn13212n126n.（三）等差数列的项典例突破例4.已知等比数列的前三项和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项【解析】设该等比数列的公比为q，首项为a1，则 1+1+12=1681 14=42 ,即 1 1+2=1681 1 3=42 ，解得a196，=12 5=96 (12)4=6，7=96 (12)6=32设G是a5，a7的等比中项，则 =5 7=9 =3，即a5，a7的等比中项为3.（四）等比中项的应用典例突破变式4.若a,2a2,3a3成等比数列，求实数a的值【解析】a,2a2,3a3成等比数列(2a2)2a(3a3)，解得a1，或a4.当 a1时，2a2,3a3均为0，舍去.a4.（四）等比中项的应用同学们，再见！