1、课时作业10直线与椭圆的位置关系基础巩固一、选择题1直线yx1与椭圆1的位置关系是()A相交 B相切C相离 D无法判断2若直线ykx2与椭圆1相切,则斜率k的值是()A. BC D3已知O是坐标原点,F是椭圆1的一个焦点,过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M,N两点,则cos MON的值为()A. BC. D4已知椭圆C:y21的右焦点为F,直线l:x2,点Al,线段AF交椭圆C于点B,若3,则|等于()A. B2C. D35已知椭圆C:1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切,则C的离心率为()A. B.C. D.二、填空题6过椭圆1的焦点
2、F的弦中最短弦长是_7直线yxm(mR)被椭圆2x2y22截得的线段的中点的横坐标为,则中点的纵坐标为_8已知椭圆1,过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,则|AB|_.三、解答题9对不同的实数m,讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系10已知椭圆1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程能力提升11椭圆mx2ny21与直线y1x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是()A. B.C. D.12设F1,F2分别为椭圆y21的左,右焦点,点A,B在椭圆上,若5,则点A的坐标是_13已知椭圆1(ab0)的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为,
3、直线l:ykxm交椭圆于不同的两点A,B.(1)求椭圆的方程;(2)若坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的最大值14设F1,F2分别是椭圆E:1(ab0)的左、右焦点,过点F1且斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列(1)求E的离心率;(2)设点P(0,1)满足|PA|PB|,求E的方程课时作业10直线与椭圆的位置关系1解析:方法一直线过点(0,1),而0141,即点(0,1)在椭圆内部,所以可推断直线与椭圆相交方法二联立直线与椭圆的方程得yx1,x25y241,消去y得9x210x150,10049(15)0,所以直线与椭圆相交答案:A2解析
4、:把ykx2代入x23y221,得(23k2)x212kx60,由于0,k223,k63.答案:C3解析:由题意,a24,b23,故ca2b2431.不妨设M(1,y0),N(1,y0),所以124y2031,解得y032,所以|MN|3,|OM|ON|12322132.由余弦定理知cos MON|OM|2|ON|2|MN|22|OM|ON|13221322322132132513.故选B.答案:B4解析:设点A(2,n),B(x0,y0)由椭圆C:x22y21知a22,b21.所以c21,即c1.所以右焦点F(1,0)由FA3FB得(1,n)3(x01,y0)所以13(x01)且n3y0.所
5、以x043,y013n.将(x0,y0)代入x22y21,得1243213n21.解得n21,所以|AF|(21)2n2112.故选A.答案:A5解析:以A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2,因为直线bxay2ab0与圆相切,所以|2ab|a2b2a得a23b2,由a2b2c2得e63,故选A.答案:A6解析:由方程知a216,b29,所以c7,因为在过焦点的弦中,当弦与长轴垂直时,弦长最短,所以设弦的端点为A(x1,y1),B(x1,y2),则x17,代入方程可得y94,所以弦长l|y1y2|92.答案:927解析:方法一由yxm,2x2y22,消去y并整理得3x22mxm220,设线段的
6、两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x22m3,2m313,解得m12.由截得的线段的中点在直线yx12上,得中点的纵坐标y161213.方法二设线段的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则2x21y212,2x22y222,两式相减得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.把y1y2x1x21,x1x213代入上式,得y1y2213,则中点的纵坐标为13.答案:138解析:易求得a5,b4,所以|AB|2b2a2425325.答案:3259解析:联立方程组yxm,x24y21.将代入得x24(xm)21,整理得5x28mx4m240.(8m)245
7、(4m24)16(5m2)当0,即5m5时,方程有两个不同的实数根,代入可得两个不同的公共点坐标,此时直线与椭圆相交;当0,即m5时,方程有两个相等的实数根,代入得一个公共点坐标,此时直线与椭圆相切;0,即m5或m5时,方程无实数根,直线与椭圆相离10解析:方法一易知直线的斜率k存在设所求直线的方程为y1k(x2),由y1k(x2),x216y241得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根,于是x1x28(2k2k)4k21.又M为AB的中点,x1x224(2k2k)4k212,解得k12,且满足0.故所求直线的
8、方程为x2y40.方法二设A(x1,y1),B(x2,y2)M(2,1)为AB的中点,x1x24,y1y22.又A,B两点在椭圆上,x214y2116,x224y2216,两式相减,得(x21x22)4(y21y22)0,于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0,y1y2x1x2x1x24(y1y2)44212,即kAB12.故所求直线AB的方程为x2y40.方法三设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)AB的中点为M(2,1),直线与椭圆的另一个交点为B(4x,2y)A,B两点都在椭圆上,x24y216,(4x)24(2y)216.由,得x2y40.显然点A的坐标满足这个方程
9、,代入验证可知点B的坐标也满足这个方程,而过A,B两点的直线只有一条,故所求直线的方程为x2y40.11解析:联立方程组y1x,mx2ny21(mn)x22nxn10,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),则x0x1x22nmn,y01x01nmnmmn.所以kOPy0x0mn22.故选A.答案:A12解析:方法一由题意知F1(2,0),F2(2,0)设点A和点B的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),则F1A(xA2,yA),F2B(xB2,yB)由F1A5F2B得xBxA625,yByA5,代入椭圆方程得xA62523yA521.又x2A3y2A1,由联立,
10、解得xA0,yA1.故点A的坐标为(0,1)或(0,1)方法二设射线F1A的反向延长线与椭圆交于点B.因为F1A5F2B,所以由椭圆的中心对称性可得F1A5BF1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|F1A|cax1a63x13,|F1B|63x23.所以63x13563x23,x125(2x2).解得x10,则y11.故点A的坐标为(0,1)方法三设射线F1A的反向延长线与椭圆交于点B,A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为yk(x2)由x23y23,yk(x2),得(13k2)x262k2x6k230.所以x1x262k213k2,x1x26k2313k2.由F1A5F
11、2B和椭圆的中心对称性可得,F1A5BF1,则有x125(2x2),即x15x262.联立,解得k212,从而解得x10,y11.故点A的坐标为(0,1)答案:(0,1)或(0,1)13解析:(1)由ca63,a3,所以c2,b1,所以椭圆的方程为x23y21.(2)由已知|m|1k232,所以m234(1k2),联立l:ykxm和x23y21,消去y,整理可得(13k2)x26kmx3m230,(6km)24(13k2)(3m23)0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1x26km13k2,x1x23m2313k2,所以|AB|2(1k2)(x1x2)212(1k2)(3k21m2
12、)(13k2)23(k21)(9k21)(13k2)2312k29k46k213129k21k264(k0),当且仅当k33时取等号,验证知k33满足题意,显然k0时,|AB|234.所以(SAOB)max1223232.14解析:(1)由椭圆的定义知|AF2|BF2|AB|4a,又2|AB|AF2|BF2|,得|AB|43a.直线l的方程为yxc,其中ca2b2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组yxc,x2a2y2b21,消去y,化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0,则x1x22a2ca2b2,x1x2a2(c2b2)a2b2.因为直线AB的斜率为1,所以|AB|2|x2x1|2(x1x2)24x1x2,即43a4ab2a2b2,故a22b2,所以E的离心率ecaa2b2a22.(2)设线段AB的中点为N(x0,y0),由(1)知x0x1x22a2ca2b22c3,y0x0cc3.由|PA|PB|,得kPN1,即y01x01,把x02c3,y0c3代入,得c3,从而a32,b3.故椭圆E的方程为x218y291.