1、绵阳南山中学2022年秋绵阳二诊热身考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集为，集，,则（）ABCD2复数满足，则ABCD3已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（）ABCD4（2015烟台二模）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中的 =10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（ ）广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263958A112.1万元B113.1万元C111.9万元D113.9万元5甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志
2、愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（）A20种B30种C50种D60种6已知直线与圆交于两个不同点，则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（）A内切B相离C外切D相交7将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（）ABC2D38已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）ABCD9圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M圆上任意一点，（x，），则的最大值为（）AB2CD10已知函数满足函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（）ABCD11已知双曲线的左、右焦点分别为、，
3、焦距为8，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为（）ABC2D312已知函数的定义域为，对任意的实数，当时，且数列满足，且，则下列结论成立的是（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13的展开式中常数项为_.14已知A（3，1），B（3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为_15如图，将半径为1分米的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内（阴影部分）.现在往圆内任投100颗豆子，则落在星形区域内的豆子数大约为_.16对于任意，当时，有成立，则实数的取值范围是_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
4、.第17-21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分172022年2月4日，北京冬奥会在国家体育场盛大开幕.这是北京时隔14年再次举办奥运会，北京成为历史上首个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，为了了解某中学高一学生对冬奥会开幕式的关注程度，从该校高一学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注冬奥会开幕式的部分）.关注没关注合计男女合计(1)完成上面的列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对冬奥会开幕式的关注与性别有关”？(2)若将频率视为
5、概率，现从该中学高一女生中随机抽取3人，记被抽取的3名女生中对冬奥会开幕式关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.附：0.1500.1000.0500.010.0052.0722.7063.8416.6357.879，其中18已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.19在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若角的平分线交于且，求的最小值.20已知直线与抛物线交于两点，当过抛物线焦点且垂直于轴时，.又是圆上一点，若、都是的切线.(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)求的面积的最大值.21已知函数，设曲线在点处的切线方程
6、为.(1)证明：对定义域内任意，都有；(2)当时，关于的方程有两个不等的实数根，证明：.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)点为上任意一点，若的中点的轨迹为曲线，求的极坐标方程；(2)若点分别是曲线和上的点，且，判断是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由.23已知函数.（1）当时，解不等式；（2）记关于的不等式的解集为，若，求的取值范围.1C【分析】根据一元二次不等式的解法及补集的运算可得，再根据并集的运算求解即可.【详解】，.故选:C.2A【详解
7、】，故选A.3B【分析】计算，再考虑和两种情况，得到倾斜角范围.【详解】，则，设直线的倾斜角为，故，所以当时，直线的倾斜角；当时，直线的倾斜角；综上所述：直线的倾斜角故选：B4C【详解】求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为10代入，预报出结果解：=3.5，=43，数据的样本中心点在线性回归直线上，=x+a中的 =10.6，43=10.63.5+a，a=5.9，线性回归方程是y=10.6x+5.9，广告费用为10万元时销售额为10.610+5.9=111.9万元，故选C5A【分析】每个人被安排在另外两个人前面的机会
8、是均等的，利用排列得到答案.【详解】每个人被安排在另外两个人前面的机会是均等的，故共有种方法.故选：A6D【分析】由直线过定点且定点在圆内，当弦最短时直线垂直，根据斜率乘积为求出，进而求出圆的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案.【详解】易知直线过定点，弦最短时直线垂直，又，所以，解得，此时圆的方程是.两圆圆心之间的距离，又，所以这两圆相交.故选：D.7C【分析】根据正弦型函数的图象平移可得，再根据正弦函数的性质即可求解.【详解】由题意可得，.在上为增函数，,解得.的最大值为2.故选:C.8D【分析】根据，构造函数，利用导数判断其在上单调递减，把不等式的解集等价转化为，进一步得到答案.【
9、详解】因为，所以的图像关于直线对称，所以，设，则 ，因为，所以,所以在上为减函数，又 ，因为，所以 ，所以.故选：.9B【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，根据向量的坐标表示及圆的参数方程可得的表达式，然后利用三角函数的性质可得最大值.【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，因为圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆，所以，即内切圆的圆心为，半径为1，可设，又，故得到， 当时等号成立，即的最大值为2.故选：B.10A【分析】画出的图象， 因为与，与的图象关于轴对称， 且与交于原点，要使恰有5个零点，与的图象必需有两个交点，求出与相切时的值可得答案.【详解】因
10、为，所以，因为函数恰有5个零点，所以的图象恰有5个交点，画出的图象，由图象可得，因为与，与的图象关于轴对称， 且与交于原点，要恰有5个零点，则与，与的图象必有两个交点，当与的图象相切时，设切点，此时切线的斜率为，可得，得，所以切点，即，交点，所以要使函数恰有5个零点，则.故选：A.11C【分析】内切圆与，交于，点，得到，计算离心率即可.【详解】如图所示：内切圆与，交于，点，故，又，.故选：C12B【分析】由利用特值法可得，所以可得，由递推关系可知数列为以3为周期的数列，根据周期化简即可求解.【详解】依题意，对任意的实数，等式成立，令得，所以或，又当时，所以，所以，令，则，因为当时，不妨令，则，
11、所以对任意 有，任取，则，因为，所以，所以，即，单调递减，所以有唯一解，又数列满足，所以，又因为，所以，由数列的递推关系知数列为以3为周期的数列，所以，当时，所以，所以，又，所以故选：B13【分析】的展开式中的常数项由两部分构成,一部分为,一部分为,求和即可.【详解】中的常数项为,故答案为:88【点睛】本题考查二项式定理,考查多项式的展开式,考查运算能力.149【分析】根据椭圆定义，整理代换可得，结合图形可得，运算求值【详解】根据题意可得：则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点，即，即点A在椭圆内，当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立.故答案为：915【分析】求得图中阴影部分面积，根据几何概
12、型的概率公式求得点落在星形区域内的概率，即可求得落在星形区域内的豆子数.【详解】将半径为1分米的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内（阴影部分）,即将图形平均分成四个部分，则每个图形空白处的面积为平方分米,则阴影部分的面积为平方分米,圆的面积为平方分米，根据几何概型的概率公式可得点落在星形区域内的概率为 ，故往圆内任投100颗豆子，则落在星形区域内的豆子数大约为，故答案为：16【分析】变换得到，构造函数，根据函数单调性得到在上恒成立，计算得到答案.【详解】，即设，则在上单调递减，在上恒成立，即恒成立，故.故答案为：17(1)列联表答案见解析，有95%的把握认为”对冬奥会开幕式的关注与
13、性别有关”(2)分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）首先完整列联表，再根据公式求得卡方值，比照临界值表即可得解；（2）根据随机变量X，根据求概率，再利用即可得解.【详解】（1）（1）关注没关注合计男303060女122840合计4258100所以有95%的把握认为”对冬奥会开幕式的关注与性别有关”（2）随机选一名高一女生，对此事关注的概率，又，所以随机变量X的分布列为：X0123P.18(1)(2)【分析】（1）变换得到，确定数列为等差数列，公差为，计算得到答案.（2）确定，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）由两式相减得，故，当时，且，故，得（舍去），数列为等差数列，公差为，所
14、以.（2），19(1)(2)【分析】（1）化简得到，根据正弦定理计算得到，得到角度.（2）设，确定，计算，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1），即，即.由正弦定理得，故.，故，又，故，故；（2），设，根据向量的平行四边形法则：，即，又，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为.20(1)，；(2).【分析】（1）由当过抛物线焦点且垂直于轴时，得到点在抛物线上求解；（2）先证明抛物线上一点处的切线方程为，设点、，利用上面的结论得到直线的方程为，然后与抛物线方程联立，得到和点到直线的距离，建立求解.【详解】（1）解：因为当过抛物线焦点且垂直于轴时，所以点在抛物线上，则，解得，所以抛物线的方程为
15、，该抛物线的准线方程为；（2）先证明抛物线在其上一点处的切线方程为，证明如下:由于点在抛物线上，则，联立，可得，即，则，所以抛物线在其上一点处的切线方程为.设点、，则直线的方程为，直线的方程为，因为点在直线上，所以，所以点的坐标满足方程，因为两点确定一条直线，所以直线的方程为，联立，消去可得，由韦达定理可得，所以，点到直线的距离为，所以，又，其中，所以当时，取得最大值8，所以.21(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据导函数求出切线斜率，由点斜式可得出切线方程，令，根据导函数的的出的单调性，可证恒成立，即.（2）令，解得或，分别求出两条切线方程，可证，恒成立，由函数在两个零点处的切
16、线方程与直线的交点的横坐标分别为和，与的关系即可证明结论.【详解】（1）证明：，又，；令，在上单调递增，且，当时，单调递减，当时，单调递增，恒成立，所以恒成立.（2）证明：当时，则，显然在定义域内单调递增，而，存在，使，当时，单调递减，当时，单调递增，令，解得或，由（1）（2）可知在处的切线方程为，且恒成立，同理可得在处的切线方程为，令，当时，当时，恒成立，即恒成立.设函数在两个零点处的切线方程与直线的交点的横坐标分别为和，不妨设，则，令，解得，得证.22(1)(2)是定值，定值为16【分析】（1）先求出的极坐标方程，然后根据是的中点求得的极坐标方程；（2）设，结合以及同角三角函数的基本关系证得是定值.【详解】（1）的方程为，将，代入，极坐标方程:，设，则，的轨迹方程：；（2）设，因为，则，故为定值且为16.23（1）；（2）.【分析】（1）分类讨论去绝对值符号，然后解不等式即可；（2）首先根据的范围，确定，然后解不等式得到.，进而根据集合的包含关系得到不等式组，解不等式组即可.【详解】解：（1）当时，原不等式可化为，或或，解得或或，原不等式的解集为.（2）若的解集包含，即当时，恒成立，由于在上，等价于，即，.由于当时该不等式恒成立，且，即的取值范围为.
