1、课时素养评价十五实际问题中导数的意义(20分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.某物体的位移是时间的函数s=2t3-at，物体在t=1时的速度为8，则a的值为()A.-1B.1C.-2D.2【解析】选C.s=6t2-a，由题意知612-a=8，解得a=-2.2.一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s=t4-t3+2t2，那么速度为零的时刻是()A.1秒末B.0秒C.4秒末D.0，1，4秒末【解析】选D.因为s=t3-5t2+4t，令s=0，得t1=0，t2=1，t3=4.3.某汽车的紧急刹车装置需在遇到紧急情况2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数
2、为s(t)=t3-4t2+20t+15，则s(1)的实际意义为()A.汽车刹车后1 s内的位移B.汽车刹车后1 s内的平均速度C.汽车刹车后1 s时的瞬时速度D.汽车刹车后1 s时的位移【解析】选C. s(t)表示运动物体在时刻t的速度即在t的瞬时速度.4.从时刻t=0开始的t s内，通过某导体的电量q(单位：C)可由公式q=2t2+3t表示，则第5 s时电流强度为()A.27 C/sB.20 C/sC.25 C/sD.23 C/s【解析】选D.某导体的电量q在5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度.因为q=4t+3，所以当t=5时，电流强度为45+3=23(C/s).二、填空题(每小题
3、5分，共10分)5.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=，则质点在t=4时的速度为_.【解析】s=，当t=4时，s=.答案：6.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件.【解析】令y=-x2+81=0，得x=9或-9(舍去)，当x=9时，ymax=252.答案：9三、解答题(每小题10分，共20分)7.已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=gt2，计算t从3 s到3.1 s，3.001 s，3.000 1 s，各段内的平均速度(g=9.8 m/s2).【解析】设时
4、间改变量为t=(t+d)-t；位移改变量s=s(t+d)-s(t).则s=s(t+d)-s(t)=g(t+d)2-gt2=gtd+gd2；v=gt+gd，所以t从3 s到3.1 s平均速度=29.89 m/s；t从3 s到3.001 s平均速度=29.404 9 m/s；t从3 s到3.000 1 s平均速度=29.400 49 m/s.8.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=120+(元).(1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(2)求c(200)，并解释它代表什么实际意义.【解析】(1)当x从200变到220时，总成本c从c(200)=
5、540元变到c(220)=626元.此时总成本c关于产量x的平均变化率为=4.3(元/件)，它表示产量从x=200件到x=220件变化时平均每件的总成本为4.3元/件.(2)首先求c(x)，可得c(x)=+，于是c(200)=+4=4.1(元/件).它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本.(15分钟30分)1.(5分)路灯距地平面为8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上行走，从路灯在地平面上的射影点C处沿某直线离开路灯，则人影长度的变化速率为()A. m/sB. m/sC. m/sD.21 m/s【解析】选B.84 m/min=1.4 m/s
6、.设经过时间为t s，人影长度为y m，则=，所以y=t，所以人影长度的变化速率为y=(m/s).2.(5分)如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是()【解析】选D.由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快.选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际.【加练固】向高为H的水瓶
7、中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如图所示，则水瓶的形状是()【解析】选B.在曲线上任取一个横坐标为h0的点，则注水量V在h0到h0+h的平均变化率为，在h0处的导数为V= .由图像可知，随着h0的增大，曲线的切线的倾斜角越来越小，切线的斜率也就越来越小，即导数越来越小，那么在h不变的前提下，平均变化率=S，因此，水瓶中水面的面积会越来越小.3.(5分)一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船以速度_km/h航行时，能使行驶每千米的费用总和最小.【解析】设船速为每小时x(x0)
8、km，燃料费为Q元，则Q=kx3，(k0)，由已知得：6=k103，所以k=，即Q=x3.记行驶每千米的费用总和为y元，则y=x2+，y=x-，令y=0，即x-=0，解之得：x=20.这就是说，该函数在定义域(0，+)内有唯一的极值点，该极值是所求的最小值，即当船速为每小时20 km时，航行每千米的总费用最小，最小值为7.2元.答案：204.(5分)酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm 时，水升高的瞬时变化率为_.【解析】设水深为h时，水面半径为r，则=，所以r=h，经过t s后，水的体积为20t，则20t=h，即h
9、(t)= ，所以h(t)=.又h=4时，r=，V=3，所以t=，h=.答案： cm/s5.(10分)某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)=100+2x+0.02x2，R(x)=7x+0.01x2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg，250 kg，300 kg时的边际利润，并说明其经济意义.【解析】根据定义知，总利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=5x-100-0.01x2，所以边际利润函数为L(x)=5-0.02x.当日产量分别为200 kg，250 kg，300 kg时，边际利润分别为L(200)=1
10、，L(250)=0，L(300)=-1.其经济意义是：当日产量为200 kg时，每增加1 kg，则总利润可增加1元；当日产量为250 kg时，每增加1 kg，则总利润无变化；当日产量为300 kg时，每增加1 kg，则总利润减少1元.由此可得：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”，甚至亏损.1.向高为8 m，底面边长为8 m的倒置四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟m3，则当水深为5 m时，水面上升的速度为_m/min.【解析】设注水t min时，水的深度为h m，则容器内水的体积为t=h2h，则h=2，所以h(t)=.当h=5时，t=，故v=h=(m/mi
11、n).答案：2.(2020高安高二检测)如图所示的某种容器的体积为90 cm3，它是由圆锥和圆柱两部分组合而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为r cm.圆锥的高为h1 cm，母线与底面所成的角为45；圆柱的高为h2 cm.已知圆柱底面造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为a元/cm2.(1)将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数，并求出定义域.(2)当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径r为多少？【解析】(1)因为圆锥的母线与底面所成的角为45，所以h1=r，圆锥的体积为V1=r2h1=r3，圆柱的体积为V2=r2h2.因为V1+V2=90，所以V2=r2h2=90-r3，所以h2=-.因为V1=r390，所以r3.因此0r3.所以h2=-，定义域为r|0r3.(2)圆锥的侧面积S1=rr=r2，圆柱的侧面积S2=2rh2，底面积S3=r2.容器总造价为y=aS1+aS2+2aS3=2r2a+2rh2a+2r2a=2a(r2+rh2+r2)=2a=.令f(r)=r2+，则f(r)=2r-.令f(r)=0，得r=3.当0r3时，f(r)0，f(r)在(0，3)上单调递减；当3r0，f(r)在(3，3)上单调递增.因此，当且仅当r=3时，f(r)有最小值，即y有最小值，为90a元.所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为3 cm.
