1、眉山一中高2024届第5学期12月月考试题(理科)一、单选题1已知集合，则=A B C D【答案】C【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养采取数轴法，利用数形结合的思想解题【详解】由题意得，则故选C【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分2若复数z满足，则（）A1 B5 C7 D25【答案】B【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模【详解】由题意有，故故选：B3血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧
2、饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数已知，给氧1小时后，血氧饱和度为若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到01，参考数据：）A0.3 B0.5 C0.7 D0.9【答案】B【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，由题意可得，两边同时取自然对数并整理，得，则，则给氧时间至少还需要小时故选： B4刘徽的九章算术注中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”意思是说：把一块长方体沿
3、斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的如图所示的三视图是一个鳖臑的三视图，则其分割前的长方体的体积为（）A2 B4 C12 D24【答案】D【分析】根据鳖臑的三视图确定长方体的长宽高，计算体积即可【详解】根据鳖臑的正视图得原长方体的长为3，根据鳖臑的俯视图得原长方体的宽为2，根据鳖臑的侧视图得原长方体的高为4，所以长方体的体积故选：D5已知，那么 （ ）A B C D【答案】A【分析】根据三角函数的诱导公式，求得，化简原式，结合余弦的倍角公式，即可求解【详解】因为，可得，又由故选：A6已知是双曲线的右焦点，过
4、点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A B2 C3 D【答案】A【分析】利用几何特征及双曲线的性质计算即可【详解】易知是直角三角形，双曲线的渐近线方程为，设，由可知，所以故选：A7函数的大致图象为（）A B C D【答案】D【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可【详解】因为，所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，所以排除A，C选项；又，所以排除B选项，故选：D8为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为A B C D【答案】B【分析】由抛物线的标准方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程，设出，由PF=4以及抛物
5、线的定义列式可得，即，再代入抛物线方程可得点P的纵坐标，再由三角形的面积公式可得【详解】由可得抛物线的焦点F(1，0)，准线方程为，如图:过点P作准线 的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知PM=PF=4，设，则，解得，将 代入可得，所以的面积为=故选B【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，定义以及三角形的面积公式，关键是利用抛物线的定义求P点的坐标;利用OF为三角形的底，点P的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积属中档题9在三棱锥中，平面，且，则三棱锥外接球的体积等于（）A B C D【答案】C【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线即为长方体外接球的直径，利用球的体积公式即可求解【
6、详解】因为三棱锥中，平面，不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为，则长方体的长宽高分别为所以三棱外接球的半径为所以三棱锥外接球的体积为故选：C10已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（）A B C D【答案】C【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式【详解】因为是定义在R上的奇函数，时，单调递增，且，所以当时，当时，不等式，则当时，有，即或，解得或，又，；当时，有，即或，又，解得；综上，不等式的解集为故选：C11已知，且，则的最大值为（）A2 B C4 D【答案】B【分析】由，
7、两边取对数得到，再设，两边取对数，利用基本不等式求解【详解】解：因为，所以，设，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故选：B12已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（）A B C D【答案】D【分析】当时，函数周期为，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数和有图像两个交点，计算，根据图像得到答案【详解】当时，故函数周期为，画出函数图像，如图所示：方程，即，即函数和有两个交点，故，根据图像知：故选：【点睛】本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键二、填空题13已知向量，则 【答案】【分析】求出，把平方化简即得解【详解】解：由，得，由，平方得，因为，
8、所以，所以，解得故答案为：14设满足约束条件，则的最大值为 【答案】4【分析】根据可行域结合几何意义求最值【详解】作出可行域如下，由可得，当直线过点时，最小，则最大，此时故答案为:415的内角的对边分别为，已知，则的面积为 【答案】【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得， ，利用三角形面积公式即可解出【详解】方法一：【最优解】边化角因为，由正弦定理得，因为，所以又因为，由余弦定理，可得，所以，即为锐角，且，从而求得，所以的面积为故答案为：方法二：角化边因为，由正弦定理得，即，又，所以，又因为，由余弦定理，可得，所以，即为锐角，且，从而求
9、得，所以的面积为故答案为：【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解；方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积16设函数（，），若是函数的零点，是函数的一条对称轴，在区间上单调，则的最大值是 【答案】14【分析】根据正弦型函数的零点、对称轴，结合正弦型函数的单调性进行求解即可【详解】因为是函数的零点，是函数的对称轴，所以，解得，因为在区间上单调，则，得，所以当时，得，即，又，则，得当时，其中，于是在区间上不单调当时，得，即，又，则，得当时，满足在区间上单调综上，的最大值是14故答案为：14【点睛】关键点睛：本题利
10、用正弦型函数的单调性、对称性在求解时，检验区间是否单调是本题的关键三、解答题17已知单调递增数列的前项和为，且(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用关系求得，结合已知及等差数列的定义写出通项公式；（2）由题设，应用错位相减法、等比数列前n项和公式求【详解】（1）由已知，时，即有，解得，当时，由，得，两式相减，得，即，则，因为单调递增，且，则，所以，即，故是首项为1，公差为1的等差数列，所以，的通项公式（2）由，得，所以，则有，得，所以18某地区运动会上，有甲、乙、丙三位田径运动员进入了男子100m决赛，某同学决定运用高中所学的知识对该次决赛的情况进
11、行预测，为此，他收集了这三位运动员近几年的大赛100m成绩（单位：秒），若比赛成绩小于10秒则称为“破十”甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；丙：10.03，9.98，10.10，10.01假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三位运动员的比赛成绩相互独立(1)分别估计甲、乙、丙三位运动员“破十”的概率；(2)设这三位运动员在这次决赛上“破十”的人数为，估计X的数学期望【答案】(1)甲、乙、丙三位运动员“破十”的概率分别为；(2)【分析】（1）利用
12、古典概型的概率公式直接计算得解；（2）写出的可能取值，计算对应的概率，根据期望公式求解即可0123【详解】（1）甲运动员“破十”的概率为，乙运动员“破十”的概率为，丙运动员“破十”的概率为（2）的可能取值为，所以的分布列为期望19如图，四棱柱中，是棱上的一点，平面，（1）若是的中点，证明：平面平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）由线面垂直的判定定理，证得平面，得到，又由，证得，进而得到平面，再由面面垂直的判定定理，即可证得结论；（2）以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面的法向量为，利用向量的夹角公
13、式，即可求解【详解】（1）因为平面，所以，又，故平面，平面，故，因为，所以，同理，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面（2）设，则，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系则，记平面的法向量为，记平面的法向量为，由，得，由，得，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及二面角的求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解20已知函数(1)当时，求曲线
14、在处的切线方程；(2)求函数的单调区间【答案】(1)；(2)答案见解析【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义即可求解（2）求出导函数，分情况求解不等式和即可得解【详解】（1）当时，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即（2），当，令得，由得，由得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为当，令得，当时，由得或，由得，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，所以的单调增区间为，无单调减区间；当时，由得或，由得，所以的单调增区间为和，单调递减区间为21已知椭圆C：（ab0）的左右焦点分别为，点满足，且的面积为(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的上顶点为P，不过点P的直线l交C于A，B两
15、点，若，证明直线l恒过定点【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】(1)由可得，由题意点在椭圆上，将点坐标代入椭圆，结合可得答案(2) 由题意，根据条件直线的斜率必存在，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由，则，将韦达定理代入，可得出答案【详解】（1）由，则，所以，又，则点在椭圆上，所以，又 联立解得 ，所以椭圆C的方程；（2）由题意，根据条件直线的斜率必存在设直线的方程为， 由 ，得，所以 （*）由，则 所以，即，即或（舍）将代入（*）成立所以直线的方程为，所以直线恒过点22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极
16、坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)已知点P的直角坐标为，直线 l 与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值【答案】(1)；(2)【分析】（1）由曲线的参数方程消去即可得曲线的普通方程；由直线的极坐标方程为及，即可得直线的直角坐标方程；（2）根据题意得直线的标准参数方程为（为参数），把它代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数的几何意义解题即可【详解】（1）由曲线C的参数方程得曲线C的普通方程为直线 l 的极坐标方程化简为由极坐标与直角坐标的互化关系，得直线 l 的直角坐标方程为（2）设直线 l 的参数方程为（m为参数）将直线 l 的参数方程代入曲线C的普通方程，整理可得 设，是方程的两个实数根则，23已知函数(1)当时，求不等式的解集；(2)若恒成立，求实数m的取值范围【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用三段法解绝对值不等式，得到答案；（2）利用绝对值三角不等式求出，从而得到不等式，求出答案【详解】（1）由题知，当时，原不等式即，当时，不等式为，解得；当时，不等式为，恒成立；当时，不等式为，解得，综上，不等式的解集为；（2）因为，当且仅当时不等式取等号，即，所以，解得，
