1、5.2 平面向量基本定理及坐标表示 考纲要求 1.了解平面向量基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 1平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_一对实数1、2，使a_ 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_ 不共线有且只有1e12e2基底【思考辨析】判断下 面结论是 否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)平面向
2、量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()1设e1，e2是平面内一组基底，那么()A若实数1，2使1e12e20，则120 B空间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1，2为实数)C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内 D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对【答案】A 2已知向量 a(2，3)，b(1，2)，若 manb 与 a2b共线
3、，则mn_【解析】由已知条件可得 manb(2m，3m)(n，2n)(2mn，3m2n)，a2b(2，3)(2，4)(4，1)manb 与 a2b 共线，2mn43m2n1，即 n2m12m8n，mn12.【答案】12【答案】(3，5)【解析】ABBCAC，BCACAB(1，1)，BD AD ABBCAB(3，5)4设 0 2，向量 a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若 ab，则 tan _【解析】ab，sin 21cos20，2sin cos cos20，02，cos 0，2sin cos，tan 12.【答案】12【答案】(1，5)【解析】设 D(x，y)，则由ABDC，得(
4、4，1)(5x，6y)，即45x，16y，解得x1，y5.题型一 平面向量基本定理的应用【例 1】(1)在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M，N分别为 CD，BC 的中点，若AB AM AN，则 等于()A.15 B.25C.35D.45(2)(2016湖北鄂州二中月考)在如图所示的平面图形中，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量abc可表示为()Ae12e2Be12e2C3e12e2D3e12e2【解析】(1)因为ABANNBANCN AN(CAAN)2ANCM MA 2AN14ABAM，所以AB85AN45AM，所以 45.(2)由题图知ace12e2，be12e2，所以abc
5、be12e2.故选A.【答案】(1)D(2)A【方法规律】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 跟踪训练 1(1)在平行四边形 ABCD 中，ABe1，ACe2，NC14AC，BM 12MC，则MN _(用 e1，e2 表示)(2)如图，已知ABa，ACb，BD 3DC，用 a，b 表示AD，则AD _【解析】(1)如图，MN CN CM CN 2BM CN 23BC 14AC23(ACAB)14e223(e2e1
6、)23e1 512e2.(2)AD ABBD AB34BC AB34(ACAB)14AB34AC 14a34b.【答案】(1)23e1 512e2(2)14a34b题型二 平面向量的坐标运算【例 2】(1)(2015新课标全国卷)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量AC(4，3)，则向量BC()A(7，4)B(7，4)C(1，4)D(1，4)(2)若向量 a(1，1)，b(1，1)，c(1，2)则 c()A12a32bB.12a32bC.32a12bD32a12b(3)(2016海淀模拟)已知向量 a(1，1)，点 A(3，0)，点 B为直线 y2x 上的一个动点若ABa，则点 B 的坐标
7、为_【解析】(1)方法一 设 C(x，y)，则AC(x，y1)(4，3)，所以x4，y2，从而BC(4，2)(3，2)(7，4)方法二 AB(3，2)(0，1)(3，1)，BCACAB(4，3)(3，1)(7，4)(2)设 c1a2b，则(1，2)1(1，1)2(1，1)(12，12)，121，122，解得112，232，所以 c12a32b.(3)设 B(x，2x)，AB(x3，2x)ABa，x32x0，解得 x3，B(3，6)【答案】(1)A(2)B(3)(3，6)【方法规律】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要
8、注意方程思想的运用及正确使用运算法则 跟踪训练 2(1)已知点 A(1，5)和向量 a(2，3)，若AB3a，则点 B 的坐标为()A(7，4)B(7，14)C(5，4)D(5，14)(2)在ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP2PC，点 Q 是 AC的中点，若PA(4，3)，PQ(1，5)，则BC等于()A(2，7)B(6，21)C(2，7)D(6，21)【答案】(1)D(2)B【解析】(1)设点 B 的坐标为(x，y)，则AB(x1，y5)由AB3a，得x16，y59，解得x5，y14.(2)BC3PC3(2PQ PA)6PQ 3PA(6，30)(12，9)(6，21)题型三 向量共线
9、的坐标表示 命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标【例3】(1)设向量a(x，1)，b(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是()A2B2 C2D0(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶 点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则 点 D 的 坐 标 为_【解析】(1)因为 a 与 b 方向相反，所以 bma，m0，则有(4，x)m(x，1)，4mx，xm，解得 m2.又 m0，m2，xm2.(2)在梯形 ABCD 中，ABCD，DC2AB，DC 2AB.设点 D 的坐标为(x，y)，【答案】(1)B(2)(2，4)则DC(4，2)(x，y)(4x，2y)，AB(2，
10、1)(1，2)(1，1)，(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，4x2，2y2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2，4)【答案】1 命题点 2 利用向量共线求参数【例 4】(2016雅安模拟)已知向量 a(3，1)，b(0，1)，c(k，3)若 a2b 与 c 共线，则 k_【解析】a2b(3，3)，且 a2bc，3 33k0，解得 k1.命题点3 求交点坐标【例5】已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_【解析】方法一 由 O，P，B 三点共线，可设OP OB(4，4)，则APOP OA(44，4)又ACOC OA(2，6)，由AP
11、与AC共线，得(44)64(2)0，解得 34，所以OP 34OB(3，3)，所以点 P的坐标为(3，3)【答案】(3，3)方法二 设点 P(x，y)，则OP(x，y)，因为OB(4，4)，且OP 与OB 共线，所以x4y4，即 xy.又AP(x4，y)，AC(2，6)，且AP与AC共线，所以(x4)6y(2)0，解得 xy3，所以点 P 的坐标为(3，3)【方法规律】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条
12、件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(3)三点共线问题A，B，C三点共线等价于AB与AC共线 跟踪训练 3 设OA(2，4)，OB(a，2)，OC(b，0)，a0，b0，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，则1a1b的最小值为_【解析】由题意得AB(a2，2)，AC(b2，4)，又ABAC，所以(a2，2)(b2，4)，即a2（b2），24，整理得 2ab2，所 以 1a 1b 12(2a b)1a1b 12 32ab ba 1232 2ab ba 32 22(当且仅当 b 2a
13、时，等号成立)【答案】32 22思想与方法系列 11解析法(坐标法)在向量中的应用【典例】(12 分)给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB，它们的夹角为23.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的 AB 上运动若OC xOA yOB，其中 x，yR，求 xy 的最大值【思维点拨】可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A，B的坐标，用三角函数表示出点C的坐标，最后转化为三角函数求最值【规范解答】以 O 为坐标原点，OA 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1，0)，B12，32.(4 分)设AOC0，23，则 C(cos，sin)，由OC xOA yOB，得cos
14、 x12y，sin 32 y，所以 xcos 33 sin，y2 33 sin，(8 分)所以 xycos 3sin 2sin6，(10 分)又 0，23，所以当 3 时，xy 取得最大值 2.(12 分)【温馨提醒】本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出xy的最大值引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.方法与技巧 1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键 2根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值 失误与防范1要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况2若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.
