1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 主干知识梳理一、两个向量的夹角 1定义已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OBb，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 2范围向量夹角的范围是，a与b同向时，夹角；a与b反向时，夹角3向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作2.0180018090ab第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 二、平面向量数量积1已知两个非零向量a与b，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab，其中是a与b的
2、夹角规定0a0.当ab时，90，这时ab2ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积|a|b|cos0|b|cos第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 三、向量数量积的性质 1如果 e 是单位向量，则 aeea.2ab 3aa，|a|aa.4cos ab|a|b|(为 a 与 b 的夹角)5|ab|a|b|.ab0|a|2第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 四、数量积的运算律1交换律：ab2分配律：(ab)c3对R，(ab)baacbc(a)ba(b)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 五、数量积的坐标运算 设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，
3、则：1ab2ab 3|a|a21a224cos ab|a|b|a1b1a2b2a21a22b21b22(为 a 与 b 的夹角)a1b1a2b2a1b1a2b20第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 基础自测自评1已知向量 a，b 和实数，下列选项中错误的是()A|a|aa B|ab|a|b|C(ab)abD|ab|a|b|B|ab|a|b|cos|，只有 a 与 b 共线时，才有|ab|a|b|，可知 B 是错误的第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 2已知|a|4，|b|3，a 与 b 的夹角为 120，则 b 在 a 方向上的投影为()A2 B.32C2 D32D|b|cos 3
4、cos 12032.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3(2012重庆高考)设 xR，向量 a(x，1)，b(1，2)，且 ab，则|ab|()A.5B.10C2 5D10B ab，ab0，即 x20，x2.a(2，1)，a25，b25，|ab|（ab）2 a22abb2 55 10.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30，|a|2，|b|3，则向量a 和向量 b 的数量积 ab_解析 ab2 3 32 3.答案 3第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量 a 与 b 的夹角 _解析 a(ba
5、)aba22，ab2a23.cos ab|a|b|31612.向量 a 与 b 的夹角为3.答案 3第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 关键要点点拨1对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角(2)两向量夹角的范围为0，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为.(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 2向量运算与数量运算的区别(1)若a，bR，且ab0，则有a0或b0，但ab0却不能得出a0或b0.(
6、2)若a，b，cR，且a0，则由abac可得bc，但由abac及a0却不能推出bc.(3)若a，b，cR，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的(4)若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 典题导入(1)若向量a(1，1)，b(2，5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x()A6 B5C4 D3平面向量数量积的运算第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 听课记录 8ab8(1，1)(2，5)(6，3)
7、，所以(8ab)c(6，3)(3，x)30.即183x30，解得x4.答案 C第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)(2012湖南高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，APBD，垂足为 P，且 AP3，则APAC_听课记录 解法一：ACAPPCAPPD DC APPDABAPPD APPB2APPD PB，又由 APBD 得APPD 且APPB，第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 APPD 0，且APPB0于是APACAP(2APPD PB)2AP 22|AP|218.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解法二：APACAP(ABAD)AP(ABABBD)2APABAPB
8、D2|AP|AB|cos AP，AB 2|AP|AB|AP|AB|2|AP|223218.答案 18第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 规律方法平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量a，b的模及夹角，利用公式ab|a|b|cos 求解；(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 跟踪训练1(1)(2012天津高考)在ABC 中，A90，AB1，AC2.设点 P，Q 满足APAB，AQ(1)AC，R.若BQ CP2，则()A.13B.23C.43D2第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 B 由题意可知BQ AQ AB(1)ACAB
9、，CPAPACABAC，且ABAC0，故BQ CP(1)AC 2AB 22.又|AB|1，|AC|2，代入上式解得 23.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)(2013新课标全国高考)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为CD 的中点，则AEBD _解析 选向量的基底为AB，AD，则BD ADAB，AEAD 12AB，那么AEBD(AD 12AB)(ADAB)2.答案 2第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 典题导入(1)已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为120，abc0，则a与c的夹角为()A150 B90C60D30两平面向量的夹角与垂直第四章 平面向量、数系的扩充与
10、复数的引入 听课记录 ab12cos 1201，cab，aca(ab)aaab110，ac.a与c的夹角为90.答案 B第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)(2013大纲版全国高考)已知向量m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，则()A4 B3C2 D1第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 听课记录(mn)(mn)，(mn)(mn)0.|m|2|n|20，即(1)21(2)240.3.故选B.答案 B第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 互动探究若本例(1)条件变为非零向量 a，b，c 满足|a|b|c|，abc，试求 a 与 b 的夹角解析 设|a|m(m0)，a
11、，b 的夹角为，由题设知(ab)2c2，即 2m22m2cos m2，得 cos 12.又 0180，所以 120，即 a，b 的夹角为 120.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 规律方法1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 跟踪训练2(1)设向量a(x1，1)，b(x1，3)，则a(ab)的一个充分不必
12、要条件是()Ax0或2 Bx2Cx1 Dx2第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 B a(x1，1)，ab(x1，1)(x1，3)(2x2，2)，故 a(ab)2(x1)220 x0 或 2，故 x2 是 a(ab)的一个充分不必要条件第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)已知向量a(1，0)，b(0，1)，cab(R)，向量d如图所示，则()第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 A存在0，使得向量c与向量d垂直B存在0，使得向量c与向量d夹角为60C存在0，使得向量c与向量d共线第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 D 由图可知 d4a3b4a34b，故 D 正确；对于
13、A，由图知若向量 c 与向量 d 垂直，则有 0，则由图观察得向量 c 与向量 d 夹角小于 60；对于 C，若 0，则向量 c 与向量 d 夹角大于 30.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 典题导入(理)(2013湖南高考)已知 a，b 是单位向量，ab0.若向量c 满足|cab|1，则|c|的取值范围是()A 21，21 B 21，22C1，21 D1，22平面向量的模第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 听课记录 由 a，b 为单位向量且 ab0，可设 a(1，0)，b(0，1)，又设 c(x，y)，代入|cab|1 得(x1)2(y1)21，又|c|x2y2，故由几何性质得
14、 12121|c|12121，即 21|c|21.答案 A第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(文)(2013湖南高考)已知 a，b 是单位向量，ab0.若向量c 满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.21 B.2C.21 D.22第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 听课记录 如图，建立平面直角坐标系，令向量 a，b 的坐标 a(1，0)，b(0，1)，令向量 c(x，y)，则有（x1）2（y1）21，|c|的最大值为圆(x1)2(y1)21 上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即 21.答案 C第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 规律方
15、法利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；(3)若 a(x，y)则|a|x2y2.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 跟踪训练3已知 P 为锐角三角形 ABC 的 AB 边上一点，A60，AC4，则|PA3PC|的最小值为()A4 3 B4 7C6 D6 3第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 D 因为PCACAP，所以|PA3PC|2|3AC4AP|29AC 224APAC16AP 2.设|AP|x，则|PA3PC|216948x16x216(x23x9)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的
16、引入 因为三角形 ABC 是锐角三角形，所以 0 x8，则当 x32时，|PA3PC|2 取得最小值为 163223329108，故|PA3PC|的最小值为 1086 3.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 典题导入 已知函数 f(x)2 3sin axcos ax2cos2ax1(a0)图象上的一个最低点为 A，离 A 最近的两个最高点分别为 B，C，ABAC16 216.(1)求 a 的值；(2)求 f(x)的单调递增区间平面向量数量积的综合应用第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 听课记录(1)f(x)3sin 2axcos 2ax2sin2ax6.令 A(x0，2)，Bx0T
17、2，2，Cx0T2，2，其中 T 为最小正周期，则ABT2，4，ACT2，4，ABACT24 1616216，故 T222a得 a2.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)因为 f(x)2sin4x6，所以 2k24x62k2，解得k2 6xk2 12，所以 f(x)的单调递增区间为k2 6，k2 12(kZ)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 规律方法向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题第四章 平面向量、
18、数系的扩充与复数的引入 跟踪训练4(理)(2014西安模拟)已知向量 asinx2，cos2x2，bcosx2，3，函数 f(x)2ab 3为偶函数，且 0，(1)求函数 f(x)的解析式；(2)设 x(0，)，f(x)1，求 x 的值第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析(1)f(x)2sinx2 cosx2 2 3cos2x2 3sin(2x)3cos(2x)2sin2x3.由 f(x)为偶函数得 3k2，kZ，k6，kZ.又 0，6，故函数 f(x)的解析式为 f(x)2sin2x22cos 2x.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)由 f(x)1 得 cos 2x12
19、.又 x(0，)，所以 2x(0，2)，所以 2x3或 2x53，故 x6或 x56.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4(文)(2014西安模拟)已知向量 a(sin(2x)，cos(2x)，b(1，3)，函数 f(x)ab 为偶函数，且 0，(1)求函数 f(x)的解析式；(2)设 x0，2，f(x)1，求 x 的值第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析(1)f(x)sin(2x)3cos(2x)2sin2x3.由 f(x)为偶函数，得 3k2，kZ，k6，kZ.又 0，6，故函数 f(x)的解析式为 f(x)2sin2x2 2cos 2x.第四章 平面向量、数系的扩充与复
20、数的引入(2)由 f(x)1 得 cos 2x12.又 x0，2，所以 2x(0，)，2x3，故 x6.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入【创新探究】向量问题的一题多解(2012江西高考)在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则|PA|2|PB|2|PC|2()A2 B4C5 D10第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入【思路导析】1.特殊化法 该题是一道选择题，可以根据选项的特征选择方法，很明显该题的四个选项都是定值，所以可以利用最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果 2向量基底法 在ABC 中，CA，CB 是两直角边，可以先把两个
21、向量CA，CB作为一组基底，然后利用平面向量基本定理表示目标向量，再进行运算即可 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3坐标法我们可以利用相互垂直的两腰所在直线建立平面直角坐标系，这样就可以根据已知条件求出相应点的坐标，再利用平面向量的坐标运算进行验证第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入【解析】解法一：设直角三角形ABC的两腰长都为4，如图所示，以C为原点建立平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，4)，因为D为AB的中点，所以D(2，2)因为P为CD的中点，第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 所以 P(1，1)，PC(1，1)，PA(3，1)，PB(1，3)故|PC|2121
22、22，|PA|232(1)210，|PB|2(1)23210，所以|PA|2|PB|2|PC|2202 10.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解法二：如图所示，取相互垂直的两个向量CAa，CBb 作为平面向量的基向量，显然 ab0.则在ABC 中，BAab，因为 D 为 AB 的中点，所以CD 12(ab)因为 P 为 CD 的中点，所以PC12CD 1212(ab)14(ab)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 在CBP 中，PBPCCB14(ab)b 14a34b，在CAP 中，PAPCCA14(ab)a34a14b.所以|PC|214（ab）2 116(a2b22ab)1
23、16(|a|2|b|2)，第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入|PB|214a34b 2 116a2 916b238ab 116|a|2 916|b|2，|PA|234a14b 2 916a2 116b238ab 916|a|2 116|b|2.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 故|PA|2|PB|2|PC|2 916|a|2 116|b|2 116|a|2 916|b|2116（|a|2|b|2）10.解法三：如图所示，以 C 为坐标原点，CA，CB 所在的直线分别作为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系 设|CA|a，|CB|b，则 A(a，0)，B(0，b)，第四章 平面向量、
24、数系的扩充与复数的引入 因为 D 为 AB 的中点，则 Da2，b2，因为 P 为 CD 的中点，则 Pa4，b4，PCa4，b4，PBa4，3b4，PA3a4，b4.所以|PC|2a42b42a216b216，第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入|PB|2a423b42a2169b216，|PA|23a42b429a216 b216.所以|PA|2|PB|2a2169b2169a216b216 10a216b216 10|PC|2.所以|PA|2|PB|2|PC|210.【答案】D第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入【高手支招】1.该题中四个选项都是定值是选择特殊化方法验证的前提，如
25、果该题中出现“与两直角边的长度有关”，则该题就不能采用特殊化法进行验证了 2利用向量的线性运算和平面向量基本定理，首先用 a 和 b 表示出PC，进而求出PA和PB.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3利用坐标计算向量模的问题，是最常用有效的方法，建立坐标系时，应注意利用图形特点4以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢把握向量的这两个基本特征第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 体验高考1(2013湖北高考)已知点 A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(
26、3，4)，则向量AB在CD 方向上的投影为()A.3 22B.3 152C3 22D3 152第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 A AB(2，1)，CD(5，5)，由定义知AB在CD 方向上的投影为ABCD|CD|155 23 22，故选 A.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 2(2013辽宁高考)已知点 O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3Bba31aC(ba3)ba31a 0D|ba3|ba31a 0第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 C 若 B 为直角，则OB AB0，即 a2a3(a3b)0，又 a0，故 ba31a；
27、若 A 为直角，则OA AB0，即 b(a3b)0，得 ba3；若 O 为直角，则不可能 故 ba30 或 ba31a0，故选 C.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3(2013新课标全国高考)已知两个单位向量 a，b 的夹角为60，cta(1t)b.若 bc0，则 t_解析 由题意，将 bcta(1t)bb 整理，得 tab(1t)0，又 ab12，所以 t2.答案 2第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4(2013安徽高考)若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b|，则 a与 b 夹角的余弦值为_解析 对向量的模同时平方可得，|a|29|b|2|a2b|2|a|24|b|24ab，所以有 4ab4|b|2，即 cosa，b|b|a|13.答案 13第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5(2013浙江高考)设 e1，e2 为单位向量，非零向量 bxe1ye2，x，yR.若 e1，e2 的夹角为6，则|x|b|的最大值等于_第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 因为|x|b|x|（xe1ye2）2|x|x2y22xy（e1e2）|x|x2y2 3xy11（yx）2 3（yx）1（yx 32）2142，当且仅当yx 32 时取“”，故|x|b|的最大值为 2.答案 2第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时作业
