1、红河州2020年中小学教学质量监测高二理科数学 试题卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分考试结束后，将答题卡交回满分150分，考试用时120分钟注意事项：1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号答在试卷上的答案无效第卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1设集合，则（ ）A B C D2复数（i为虚数单位）
2、的虚部为（ ）A B C D33执行如图所示的程序框图，则输出i的值是（ ）A4 B5 C6 D74已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克（ ）A5730 B11460 C17190 D229205已知，则的值为（ ）A B C D6已知向量，且与的夹角是，则x的值为（ ）A B C D7在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积为10，则的值为（ ）A B C D8某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则
3、此四面体的体积为（ ）A4 B8 C D9已知直线是圆的一条对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长度为（ ）A2 B C3 D10已知函，则（ ）A BC D11已知双曲线经过点，为其左、右焦点，P为C上一点且，则的值为（ ）A12 B14 C16 D1812已知直线l分别与函数和的图象都相切，且切点的横坐标分别为，则（ ）Ae B C1 D2第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13数术记遗相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著该书主要记述了：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算
4、、珠算、计数共14种计算方法某研究学习小组共6人，他们搜集整理该14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为：93，93，88，81，94，91，则这组时间数据的标准差为_14已知，则_15将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为_16某市政府需要规划如图所示的一块公园用地，已知，要求，要使得公园（四边形ABCD）的面积取得最大值，则此时_三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求证：18（12分）为调查某学校胖瘦程度不同（通过
5、体重指数BMI值的计算进行界定）的学生是否喜欢吃高热量的食物，从该校调查了300名偏胖与偏瘦的学生，结果如下：胖瘦程度是否喜欢偏胖偏瘦喜欢60100不喜欢30110（1）能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为该校学生是否喜欢吃高热量的食物与胖瘦程度有关？请说明理由；（2）已知该校的甲、乙两人约定到食堂吃午饭，两人都在11：30至12：30的任意时刻到达，求甲比乙早到至少20分钟的概率附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82819（12分）如图，在正方体中，点E为棱的中点，点F为线段上的动点（1）证明：；（2）求二面角的正切值的最小值20（12分）已知函数（1）
6、当时，求函数的单调区间；（2）讨论函数的零点个数21（12分）已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不过原点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，O为坐标原点，直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的最大值选考题：请考生在第22、23两道题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的参数方程为：（为参数）（1）求直线l与曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于M，N两点，求线段MN的长度23选修4-5：不等式选讲（10分）设函数（1）解不等式；（2）若不等式
7、对一切实数x均成立，求实数m的取值范围参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求题号123456789101112答案CABBABACCDDC1答案：C；解析：由得：，由得：，所以2答案：A；解析：因为，所以虚部为3答案：B；解析：初始值：，第一次循环：，不符合“”继续循环；第二次循环：，不符合“”继续循环；第三次循环：，不符合“”继续循环；第四次循环：，符合“”退出循环；故输出4答案：B；解析：由题意可得：碳14的半衰期为5730年，则过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克5
8、答案：A；解析：因为，所以，故：6答案：B；解析：因为向量，的夹角是，所以，故7答案：A；解析：因为，所以，因为，的面积为10，所以，故，从而，解得，由正弦定理得：8答案：C；解析：由三视图可知：四面体为，9答案：C；解析：由题意得：，则，因为直线AB是圆C的切线，所以，而，所以10答案：D；解析：函数定义域为R，且，所以为奇函数，又易知在单调递增，所以是R上单调递增的奇函数，因为，所以11答案：D；解析：由题意得：，不妨设点P在双曲线的右支上，则，且，又，所以，解得：12答案：C；解析：设l与的切点为，与的切点为，公切线的斜率：，可得：，所以，二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20
9、分题号13141516答案13答案：；解析：平均数：，方差：，标准差：14答案：；解析：的二项展开式的通项：，故15答案：；解析：设圆锥底面半径为R，则，所以设内切球半径为r圆锥高为h，则，所以，所以，故16答案：；解析：设，则，所以，现考察函数，解得：，（舍），由于在上单调递减，由复合函数的单调性知：当时，单调递增，时，单调递减；故当时，四边形面积取得最大值，故三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：（1）因为，所以，两式相减并整理得：，因为，所以，又，所以，因此是以1为首项，1是公差的等差数列，故； 6分（2）由（1）得，所以，因为，故 12分18解
10、析：（1），由于，故能在犯错误概率不超过0.010的前提下认为该校学生是否喜欢吃高热量的食物与胖瘦程度有关； 6分（2）设甲、乙到达食堂的时刻分别为x，y，则可有，其表示的区域记为D，表示的区域记为，作图得：则甲比乙早到至少20分钟的概率 12分19证明：（1）连接AC交BD于点O，因为四边形ABCD为正方形，所以，又因为平面ABCD，所以，又，所以平面，因为平面，所以； 4分（2）法一：设二面角的平面角为，由图可知：为锐角且当点F与点重合时，取得最小值，由于DA，DC，两两相互垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，设平面BCE的法向量为，则，即，令，得，设平面BCF的法向量为，
11、则，即令，得，所以，故二面角的正切值的最小值为 12分法二：由图可知：二面角的平面角为锐角且当点F与点重合时，该二面角的平面角取得最小值所以当点F与点重合时，二面角的平面角的正切值也取得最小值，由平面，得，所以即为所求二面角的平面角，在中，在中，所以，故二面角的正切值的最小值为 12分法三：过点F作平面ABCD于M，依题意，过M作于N，连接FN，易知，所以为二面角的平面角，又由正方体的性质知，所以为二面角的平面角设二面角的平面角为，不妨设，当时，不符合题意，所以，从而，所以当，即点F与点重合时，故二面角的正切值的最小值为 12分20解：（）当时，令，解得：；令，解得：；故：函数的单调增区间是，
12、单调递减区间是； 4分（2）法一：设是函数上一点，由得，在P点处的切线方程是：，令，则，所以过原点作的切线方程是：，因此：当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数无零点 12分法二：令，显然不是的零点，故当时，记，令，解得：；令，解得：；故：在，上单调递减，在单调递增，从而，又，；，；，；，；因此：当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数无零点 12分21解：（1）由题意可得，解得，解得，故椭圆的标准方程为：； 4分（2）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设l方程为：，因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以：，即：，故，从而联立得：，由，得，又由韦达定理得由得：，故（*）所以，且原点O到直线l的距离：，当且仅当，且满足（*）式：；此时： 12分22解：（l）由直线l的参数方程为：（t为参数），得直线l的普通方程为：，由曲线C的参数方程为：（为参数），得曲线C的普通方程为：； 5分（2）直线l的参数方程的标准形式为：（t为参数）将其代入曲线方程化简得：，解得：，由t的几何意义可得： 10分23解：（1），或或或或，故原不等式的解集为； 5分（2）不等式恒成立恒成立恒成立又由所以，解得，故实数m的取值范围为： 10分（以上参考答案及评分标准仅供参考，若有不同解法，请酌情给分）
