1、第三章不等式全章素养整合构网络提素养链高考类型一 不等式的性质题型特点 这类题目由于直接考查不等式性质，多数以选择题的形式出现，有时也涉及不等式的证明，难度不大方法归纳 在应用不等式的性质时要注意每个性质的使用条件，不要盲目乱用或错用特别地在应用乘法性质时，容易漏掉“同正”这一条件，另在进行不等式加减运算时，要注意不等式与等式间线性运算的区别，切勿因直接加减以增大或缩小不等式的范围例1(1)ab0，求证：baab；(2)已知ab，1a1b，求证：ab0.解题指南 对照已知条件结合不等式的性质进行证明证明：(1)由于baabb2a2ab（ba）（ba）ab，ab0，ba0，ba0，ab0，（ba
2、）（ba）ab0，故baab.(2)1a1b，1a1b0，即baab 0，而ab，ba0，ab0.跟踪训练 1.(2019天津高一检测)若a，b，c，dR，则下列结论正确的是()A若ab，则a2b2B若ab，cd，则acbdC若ab0，则1a1bD若ab0，cd0，则adbc解析：对于A：若a0，b1，则不满足，对于B：若a1，b1，c0，d2，则不满足，对于C：若a2，b1，则不满足，对于D：若ab0，cd0，acbd，两边同除以cd得到adbc.故选项D正确答案：D类型二 不等式的恒成立问题题型特点 不等式中的恒成立问题，既是学习中的难点，又是高考中的热点，多数以解答题的形式出现方法归纳
3、在求解不等式的恒成立问题时，要注意转化，利用数形结合的方法，构造不等式或不等式组进行探讨，常见的解决恒成立问题的方法有：(1)判别式法；(2)数形结合法；(3)分离参数法；(4)分类讨论法例2 已知不等式(m2)x22(m2)x40的解集是R，求m的范围解题指南 分类讨论：当m2时；当m20即m2时，要使不等式(m2)x22(m2)x40的解集是R，则m204（m2）216（m2）0，解出即可熟练掌握“三个二次”的关系是解题的关键解析：当m2时，原不等式可化为40，对于任意实数x恒成立，m2适合题意；当m20，即m2时，要使不等式(m2)x22(m2)x40的解集是R，则m204（m2）216
4、（m2）0，解得2m6.综上所述：m的取值范围是m|2m6跟踪训练 2.设函数f(x)mx2mx6m.(1)若对于m2，2，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若对于x1，3，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围解析：(1)设f(x)m(x2x1)6g(m)，则g(m)是关于m的一次函数，且一次项系数x2x1x122340，g(m)在2，2上单调递增，g(m)0g(2)2(x2x1)60，即1x2，所求x的取值范围为(1，2)(2)法一：f(x)mx12234m60在x1，3上恒成立，m0，f（3）7m60或m0，f（1）m60或m0，f（x）60，解得m的取值范围为m67.法二：要使
5、f(x)m(x2x1)60在1，3上恒成立，则有m6x2x1在x1，3时恒成立而当x1，3时，6x2x16x1223465223467，m的取值范围为m67.类型三 基本不等式的应用题型特点 利用基本不等式求函数最值，证明不等式解决实际问题历年都是高考的热点，多数以解答题为主方法归纳 基本不等式通常用来求最值问题：一般用ab2ab(a0，b0)求“定积求和，和最小”问题，用abab22求“定和求积、积最大”问题一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，及对等号能否成立的验证若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值
6、，还要注意运用基本不等式解决实际问题例3(2019南京高一检测)已知函数yx mx1(m为正数)(1)若m1，求当x1时函数的最小值；(2)当x1时，函数有最大值3，求实数m的值解析：(1)m1时，yx 1x1x1 1x11因为x1，所以x10.所以yx1 1x11213.当且仅当x1 1x1，即x2时取等号所以当x1时函数的最小值为3.(2)因为x1，所以x10.所以yx1 mx111x m1x 12 m1当且仅当1x m1x，即x1 m时取等号即函数的最大值为2 m1.所以2 m13.解得m4.跟踪训练 3.已知x，yR，且xy4，求1x3y的最小值解析：法一：x，yR，(xy)1x3y
7、4yx3xy 42 3.当且仅当yx3xy，即x2(31)，y2(3 3)时取“”号又xy4，1x3y1 32，故1x3y的最小值为1 32.法二：x，yR，且xy4，1x3yxy4x 3x3y4y1y4x3x4y 12y4x3x4y1 32.当且仅当 y4x3x4y，即x2(31)，y2(3 3)时取“”号1x3y的最小值为1 32.类型四 线性规划问题题型特点 线性规划问题突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想题目多以解答题为主方法归纳 线性规划问题是在二元一次不等式(组)所表示的平面区域后学习的，主要是想通过该工具解决生产、生活实际中的最值问题(如用料最省，效益最大等)，解线性规划问
8、题时应首先准确列出二元一次不等式(组)，并画出相应平面区域，在此基础上利用数形结合的思想寻找目标函数的最值，需特别说明一点：用好斜率间的关系是避免找错最优解的关键例4 已知实数x，y满足条件xy20 xy402xy50，则z|x2y4|的最大值为_解题指南 先画出线性约束条件表示的可行域，再设目标函数为ux2y4，将其赋予几何意义，数形结合求得目标函数u的范围，最后即可得z的最大值解析：画出可行域(图略)由xy202xy50得A(7，9)由xy402xy50得B(3，1)设ux2y4，则u可看作是一条斜率为 12 的动直线，由图数形可知，当直线过点A(7，9)时，u最大为729421，当直线过
9、点B(3，1)时，u最小为32141，1u21，1z|u|21，z|x2y4|的最大值为21.答案：21跟踪训练 4.某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C，另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少单位的午餐和晚餐？解析：设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和
10、y个单位，所花的费用为2元，则依题意得xN，yN，12x8y646x6y426x10y54，作出可行域为图中所有正整数点(图略)，目标函数为z2.5x4y，把z2.5x4y变形为y58xz4，得到斜率为58，在y轴上的截距为 z4，随z变化的一组平行线让目标函数表示的直线z2.5x4y在可行域上平移，由此可知z2.5x4y在(4，3)处取得最小值zmin22.因此，应为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，可满足要求1(2017高考全国卷)设x，y满足约束条件2x3y30，2x3y30，y30，则z2xy的最小值是()A15 B9C1 D9解析：绘制不等式组表示的可行域如图阴影(含边界)所
11、示，结合目标函数的几何意义可得函数在点B(6，3)处取得最小值z12315.答案：A2(2017高考山东卷)已知x，y满足约束条件xy30，3xy50，x30，则zx2y的最大值是()A0 B2 C5 D6解析：x，y满足的约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示，将直线yx2z2进行平移，显然当该直线过点A(3，4)时z取得最大值，zmax385.答案：C3(2018高考天津卷)设变量x，y满足约束条件xy5，2xy4，xy1，y0，则目标函数z3x5y的最大值为()A6 B19C21 D45解析：不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值联立直线方程xy5xy1，可得点A的坐标为A(2，3)，据此可知目标函数的最大值为zmax3x5y325321，故选C.答案：C4(2018高考全国卷)若x，y满足约束条件x2y20 xy10y0，则z3x2y的最大值为_解析：画出可行域如图所示，可知目标函数过点(2，0)时取得最大值，zmax32206.答案：65(2017高考天津卷)若a，bR，ab0，则a44b41ab的最小值为_解析：因为ab0，所以a44b41ab2 4a4b41ab4a2b21ab4ab 1ab24ab 1ab4，当且仅当a22b2，ab12时取等号，故a44b41ab的最小值是4.答案：4
