1、A20.导数分析综合(1)一、基础知识用导数的观点分析函数问题是函数问题又一重要工具,其中体现了数形结合思想.二、典型例题与基本方法1.函数在区间上单调递增,则的取值范围为 2.若函数在区间内为减函数,在区间为增函数,则实数的取值范围是 3.已知且对任意的恒成立,则的最小值为 4.已知函数,若与的图象上分别存在点,使得关于直线对称,则实数的取值范围是 5.已知函数, , , ,则关于的不等式的解集为 6.若函数f(x)=exx-kx2有极大值,则实数k的取值范围是 7.已知函数,若在恒成立,则的取值范围为 8.设函数,对任意的,不等式恒成立,则正数的取值范围是 9.已知,若,使得成立,则实数的
2、取值范围是 10函数f(x)=ex-alnx-b在点P(1,f(1)处的切线方程为y=0.(1)求实数a,b的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)x1,lnex-kex0成立,求实数k的取值范围.11.已知函数.(1)当时,求函数的最小值；(2)设,若对任意的,都有,求整数的最大值.B20.练习 姓名： 1.若函数在内有最小值,则实数的取值范围是 2.已知关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围为 3.已知函数f(x)=e3x-1,g(x)=13+lnx,若f(m)=g(n),则n-m的最小值为 4.已知函数, , ,若不等式对所有的, 都成立,则的取值范围是 5.已知函数f(x)=-x2+
3、ax-lnx-1 .(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间；(2)函数f(x)在(2,4)上是减函数,求实数a的取值范围.6.已知函数fx=lnx-1x-axaR.(1)若a=0,求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；(2)若a-1,求函数fx的单调区间；(3)若1a2,求证：fx-1.A20.导数分析综合(1)一、基础知识用导数的观点分析函数问题是函数问题又一重要工具,其中体现了数形结合思想.二、典型例题与基本方法1.函数在区间上单调递增,则的取值范围为 解析恒成立,所以,则的取值范围为2.若函数在区间内为减函数,在区间为增函数,则实数的取值范围是 解析由于.所以,若函数在区间内为减函
4、数,在区间为增函数,则有在区间恒成立,且在区间恒成立,所以,解得,另可以分离参数所以从而所以从而3.已知且对任意的恒成立,则的最小值为 解析设,则由得： ,当时, ,当时, ,所以当时, 有唯一极值,也是最小值,所以由对任意的恒成立,得,可得,因为 ,故成立,令（）,当时, ,当时, ,所以当时, ,所以,故填4.已知函数,若与的图象上分别存在点,使得关于直线对称,则实数的取值范围是 解析设,由题意,即在上有意义,即在上有意义,令,求导,当时,则,即.5.已知函数, , , ,则关于的不等式的解集为 解析由,得 , , ,因此函数在区间上单调递增,从而,令,故不等式的解集为,故答案为.6.若函
5、数f(x)=exx-kx2有极大值,则实数k的取值范围是 解析f(x)=exx-kx2,fx=ex(x-1)-kx2x2,令gx=x-1ex-kx2,gx=xex-2k,k0时,gx0,x0时,gx0,x=0是gx的极小值点,g0=-10一定存在x0,使x0,x0时,gx0,即fx0,即fx0,k0符合题意；k=0时,fx=exx,fx=ex(x-1)x2,x-,0,（0,1）时,fx0,故fx在-,0,（0,1）递减,在1,+递增,故不存在极大值,k=0不符合题意；k0时,若k=12,gx=xex-1,x0时,gx0,x0,x=0时,gx=0,gx在R上递增,函数f(x)=exx-kx2一定
6、没有极大值,综上可得-,0.7.已知函数,若在恒成立,则的取值范围为 解析由题意知满足条件,当时, 在恒成立可以转化为在时恒成立,令,则 ,令,则,因为,所以,所以函数在上单调递减,所以,从而得到,即函数在上单调递增,而,故的取值范围是.8.设函数,对任意的,不等式恒成立,则正数的取值范围是 解析当时, , 时,函数有最小值,当时, ,则函数在上单调递增；当时, ,则函数在上单调递减, 时,函数有最大值,则有, 恒成立且, ,故答案为.9.已知,若,使得成立,则实数的取值范围是 解析由题意得“,使得成立”等价于“ ”,当时, 又,当时, 单调递减；当时, 单调递增故当时,函数有最小值,且实数的
7、取值范围是10函数f(x)=ex-alnx-b在点P(1,f(1)处的切线方程为y=0.(1)求实数a,b的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)x1,lnex-kex0成立,求实数k的取值范围.解析()f(x)=ex-ax,依题意得f(1)=0,f(1)=0,则有 e-b=0e-a=0a=eb=e()由()得f(x)=ex-elnx-e,f(x)=ex-ex,由于f(x)在区间(0,+)上为增函数,且f(1)=0,则当0x1时,f(x)1时,f(x)f(1)=0,故函数f(x)的减区间是(0,1),增区间是(1,+) () 由lnex-kex0得1+lnx-kex0,所以k1+lnxex,设
8、h(x)=1+lnxex,x1,只须kh(x)|max,由()知当x1时,f(x)f(1)=0,即exe(lnx+1)对x1恒成立即lnx+1ex1e（当且仅当x=1时取等号）所以函数h(x)max=h(1)=1e, 故k的取值范围是1e,+)11.已知函数.(1)当时,求函数的最小值；(2)设,若对任意的,都有,求整数的最大值.解析（1）当时, ,定义域为.,令,可得.列表：所以,函数的最小值为.（2）由题意对任意的恒成立,可得对任意的恒成立.即对任意的恒成立. 记,得,设, ,则在是单调增函数,又, ,且在上的图像是不间断的,所以,存在唯一的实数,使得,当时, , 在上递减；当时, , 在
9、上递增.所以当时, 有极小值,即为最小值,又,故,所以,由知, ,又,所以整数的最大值为3.B20.练习 姓名： 1.若函数在内有最小值,则实数的取值范围是 解析由题意得,函数的导数在(0,1)内有零点,且,即,且,故分离参数在有解. 故2.已知关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围为 解析由原不等式等价于,若时,不等式成立,若时,可令,则,又,且为单调递增函数,构造函数,则在的最值为,当时,易知在上递减,此时为减函数,不等式成立,当时,且,即,满足不等式,综合得的范围为.3.已知函数f(x)=e3x-1,g(x)=13+lnx,若f(m)=g(n),则n-m的最小值为 解析设t=f(m)=
10、g(n)(t0),则m=1+lnt3,n=et-13令h(t)=n-m=et-13-1+lnt3(t0),则h(t)=et-13-13t,h(t)在(0,+)上单调递增,且h(13)=0,当0t13时,h(t)13时,h(t)0,h(t)单调递增h(t)min=h(13)=2+ln33故n-m的最小值为2+ln334.已知函数, , ,若不等式对所有的, 都成立,则的取值范围是 解析若不等式对所有的, 都成立,即x对所有的, 都成立,即alnxxbx2对所有的, 都成立,即alnxx0对都成立,即对都成立,即大于等于在区间上的最大值,令,则,当时, h, 单调递增,所以, 的最大值为,所以的取
11、值范围为5.已知函数f(x)=-x2+ax-lnx-1 .(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间；(2)函数f(x)在(2,4)上是减函数,求实数a的取值范围.解析（1）f(x)=-2x+a-1x a=3时,f(x)=-2x+3-1x=-2x2-3x+1x;2x2-3x+10,解得x1或x0,x(2,4),函数g(x)=2x+1x在(2,4)上为增函数.g(x)22+12=92.实数a的取值范围(-,92. 6.已知函数fx=lnx-1x-axaR.(1)若a=0,求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；(2)若a-1,求函数fx的单调区间；(3)若1a2,求证：fx0)由g(x)0,得x
12、-12a;由g(x)0,得0x-12a.所以,g(x)在区间(0,-12a)上单调递减,在区间(-12a,+)上单调递增所以,g(x)min=g(-12a)=52-ln-12a. 因为a-1,所以0-12a12,ln-12a0,即f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+). （3）由x0,f(x)-1,等价于lnx-1x-ax0. 设h(x)=ax2-x+1-lnx,只须证h(x)0成立.因为h(x)=2ax-1-1x=2ax2-x-1x,1a2,由h(x)=0,得2ax2-x-1=0有异号两根.令其正根为x0,则2ax02-x0-1=0.在(0,x0)上h(x)0则h(x)的最小值为h(x0)=ax02-x0+1-lnx0=1+x02-x0+1-lnx0=3-x02-lnx0. 又h(1)=2a-20,h(12)=2(a2-32)=a-30, 所以12x00,-lnx00.因此3-x02-lnx00,即h(x0)0.所以h(x)0.所以f(x)-1.
