1、综合测试C2时间80分钟,满分120分姓名： 得分： 一、填空题(共8小题,共64分)1.的内角的对边分别为,若,则 2.若向量满足,且,则 3.若,则的值为 4.已知,且,那么 5.扇形中,其中是的中点,是上的动点(含端点),若实数满足,则的取值范围是 6.设为单位向量,非零向量若的夹角为,则的最大值等于 7.设单位向量的夹角为锐角,若对任意的,都有成立,则 的最小值为 8.的值为 二、解答题(共3小题；共56分)9.已知是三内角,向量,且.(1)求角； (2)若,求10.如图,在中,.(1)求的值；(2)设点在以为圆心,为半径的圆弧上运动,且,其中.求的最大值.11.已知函数的图象是由函数
2、的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数的解析式,并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于的方程 在内有两个不同的解求实数的取值范围； 证明：.综合测试C2时间80分钟,满分120分姓名： 得分： 一、填空题(共8小题,共64分)1.的内角的对边分别为,若,则 解：在中,因为 cosA=45,cosC=513,所以 sinA=35,sinC=1213所以 sinB=sinA+C=sinAcosC+sinCcosA=35513+121345=6365由正弦定理 asinA=bsinB,可得 b=asinBsinA
3、=1636553=21132.若向量满足,且,则 解：因为 a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+bc+ca,所以ab+bc+ca=a+b+c2-a2+b2+c22=0-32+12+422=-13.3.若,则的值为 解：1718 4.已知,且,那么 解：由 02,得到 0-2,又 cos=35,cos-=cos-=7210,所以 sin=1-cos2=45,sin-=-sin-=-1-cos2-=-210,则 cos=cos-+=cos-cos-sin-sin=721035-21045=22, 所以 =4.5.扇形中,其中是的中点,是上的动点(含端点),若实数满足,则的取值范围是 解：以 O
4、A 所在的直线为 x 轴,以 OB 所在的直线为 y 轴,建立直角坐标系, A2,0,B0,2,C1,0,OC=1,0,OB=0,2,设 Px,y,P 在圆 x2+y2=4 上, OP=OC+OB,所以 x,y=,0+0,2,所以 x=,y=2,02,01,设 2=cos,u=sin,0,2,所以 =2cos,u=sin, +=2cos+sin=5sin+,tan=2,当 +=2 时,+ 的最大值为 5,当 P 在 B 点时,=1,=0 时 + 取最小值为 1.6.设为单位向量,非零向量若的夹角为,则的最大值等于 解：a=x2e12+y2e22+2xycos4=x2+y2+2xy22=x2+y
5、2+2xy, 只考虑 x0,则 xa=xx2+y2+2xy=1yx2+2yx+1=1yx+222+122, 当且仅当 yx=-22 时取等号.所以 xa 的最大值等于 2.7.设单位向量的夹角为锐角,若对任意的,都有成立,则 的最小值为 解：设向量 a,b 的夹角为 ,090,因为 x+2y815,所以 1158x+2y.又 xa+yb=1,则 x2+y2+2xycos=1,所以 cos=1-x2-y22xy158x+2y2-x2-y22xy=-4964x2-116y2+1516xy2xy 恒成立,因为 -4964x2-116y2+1516xy2xy=1532-1249x64y+y16x153
6、2-784=14,所以 cos14.即 ab 的最小值为 14.8.的值为 解： 原式=3sin240-1cos24012sin10=3cos240-sin240sin240cos24012sin10=3cos40-sin403cos40+sin40sin240cos24012sin10=8sin60-40cos40-30cos210sin10=8sin20cos10cos210sin10=16sin10cos210cos210sin10=16.二、解答题(共3小题；共56分)9.已知是三内角,向量,且.(1)求角； (2)若,求解： (1) mn=1, -1,3cosA,sinA=1,即 3
7、sinA-cosA=1, 2sinA32-cosA12=1,sinA-6=12, 0A,-6A-656, A-6=6, A=3.(2) 由题知 1+2sinBcosBcos2B-sin2B=-3,整理得sin2B-sinBcosB-2cos2B=0, cosB0, tan2B-tanB-2=0, tanB=2 或 tanB=-1,而 tanB=-1 时 cos2B-sin2B=0,舍去. tanB=2,所以tanC=tan-A+B=-tanA+B=-tanA+tanB1-tanAtanB=-2+31-23=8+5311.10. 如图,在中,.(1)求的值；(2)设点在以为圆心,为半径的圆弧上运
8、动,且,其中.求的最大值.解： (1) ABBC=ABAC-AB=ABAC-AB2=-12-1=-32.(2) 建立如图所示的平面直角坐标系,则 B1,0,C-12,32.设 Pcos,sin,=0,23,由 AP=xAB+yAC,得 cos,sin=x1,0+y-12,32.所以 cos=x-y2,sin=32y.所以 x=cos+33sin,y=233sin, xy=233sincos+23sin2=33sin2+13-13cos2=2332sin2-12cos2+13=23sin2-6+13.因为 0,23,2-6-6,76.所以,当 2-6=2,即 =3 时,xy 的最大值为 1.11
9、.已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数的解析式,并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于的方程 在内有两个不同的解求实数的取值范围； 证明：.解：. (1) 将 gx=cosx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）得到 y=2cosx 的图象,再将 y=2cosx 的图象向右平移 2 个单位长度后得到 y=2cosx-2 图象,故 fx=2sinx.从而函数 fx=2sinx 图象的对称轴方程为 x=k+2kZ.(2) fx+gx=2sinx+cosx=525sin
10、x+15cosx=5sinx+（其中 sin=15,cos=25）.依题意,sinx+=m5 在 0,2 内有两个不同的解 ,则当 m51,故 m 的取值范围是 -5,5.法1：因为 , 是方程 5sinx+=m 在 0,2 内的两个不同的解,所以 sin+=m5,sin+=m5.当 1m5 时,+=22-,即 -=-2+；当 -5m1 时,+=232-,即 -=3-2+.所以 cos-=-cos2+=2sin2+-1=2m52-1=2m25-1.法2：因为 , 是方程 5sinx+=m 在 0,2 内的两个不同的解,所以 sin+=m5,sin+=m5.当 1m5 时,+=22-,即 +=-+；当 -5m1 时,+=232-,即 +=3-+.所以 cos+=-cos+.于是cos-=cos+-+=cos+cos+sin+sin+=-cos2+sin+sin+=-1-m52+m52=2m25-1.
