1、2015-2016学年河北省沧州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1在ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）ABCD12直线xy+1=0的倾斜角是（）ABCD3在正项等比数列an中，若a2=2，a4a3=4，则公比为（）A2B1CD4若ab，则下列不等式成立的是（）Aa2b2BClgalgbD5若直线l平面，直线m，则l与m的位置关系是（）AlmBl与m异面Cl与m相交Dl与m没有公共点6已知等差数列an满足a2+a7=a5+3，则a4=（）A2B3C4D57下列说法正确的是（）A圆台
2、是直角梯形绕其一边旋转而成的旋转体B棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等C顶点在底面的投影为底面中心的棱锥为正三棱锥D圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的旋转体8轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是（）A35海里B35海里C35海里D70海里9设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A5，B5，0），+）C（，5，+）D5，0）（0，10已知某几何体的三视图如图所示，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）ABCD311已知点P为线段y=2x，x2，4上任意一点，点
3、Q为圆C：（x3）2+（y+2）2=1上一动点，则线段|PQ|的最小值为（）A1BCD12已知数列an，bn满足a1=1， =，anbn=1，则使bn63的最小的n为（）A4B5C6D7二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分.13关于x的不等式x22ax8a20的解集为（2，4），则a=14在三棱锥VABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2，VC=1，则二面角VABC的平面角度数是15已知m0，n0且满足2m+3n=2，则+的最小值是16已知三棱锥ABCD中，AC=BD=BC=AD=，AB=DC=，则该三棱锥外接球的体积为三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答写出文字说明、
4、证明或验算步骤17已知直线l1：2xy+1=0，l2：ax+4y2=0（）若l1l2，求a的值；（）若l1l2，求a的值，并求出l1与l2间的距离18如图，已知平面APD平面ABCD，ABCD，CD=AD=AP=4，AB=2，ADAP，CB=2（）求证：CDAP；（）求三棱锥BAPC的体积19已知锐角ABC的内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，），=（cos2B，cosB），且（）求角B的大小；（）若b=，求ABC的周长的最大值20如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为4，D是侧棱CC1的中点（）在线段AB1上是否存在一点M，使得DM平面ABC，若存在，求
5、出AM的长若不存在，请说明理由；（）求AB1与平面ACC1A1所成角的正弦值21已知数列an满足an+1=3an+1，nN*，a1=1，bn=an+（）证明bn是等比数列，并求bn的通项公式；（）若cn=2n，求数列cnbn的前n项和Sn22已知A（1，0），B（1，0），圆C：x22kx+y2+2y3k2+15=0（）若过B点至少能作一条直线与圆C相切，求k的取值范围（）当k=时，圆C上存在两点P1，P2满足APiB=90（i=1，2），求|P1P2|的长2015-2016学年河北省沧州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出
6、的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1在ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）ABCD1【考点】正弦定理【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值【解答】解：a=3，b=5，sinA=，由正弦定理得：sinB=故选B2直线xy+1=0的倾斜角是（）ABCD【考点】直线的倾斜角【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小【解答】解：直线y+1=0 即 y=x+1，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于，则 0，且tan=，故 =60，故选B3在正项等比数列an中，若a2=2，a4a3=4，则公
7、比为（）A2B1CD【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出，【解答】解：设正项等比数列an的公比为q0，a2=2，a4a3=4，=2q22q=4，化为q2q2=0，解得q=2故选；A4若ab，则下列不等式成立的是（）Aa2b2BClgalgbD【考点】不等关系与不等式【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性就看得出【解答】解：ab，2a2b0，故D正确故选D5若直线l平面，直线m，则l与m的位置关系是（）AlmBl与m异面Cl与m相交Dl与m没有公共点【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】由线面平行的定义可判断l与无公共点，直线m在平面内，故lm，或
8、l与m异面【解答】解：直线l平面，由线面平行的定义知l与无公共点，又直线m在平面内，lm，或l与m异面，故选D6已知等差数列an满足a2+a7=a5+3，则a4=（）A2B3C4D5【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的性质即可得出【解答】解：由等差数列的性质可得：a2+a7=a5+a4=a5+3，则a4=3，故选：B7下列说法正确的是（）A圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的旋转体B棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等C顶点在底面的投影为底面中心的棱锥为正三棱锥D圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的旋转体【考点】棱台的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】根据旋转体和正棱锥的
9、概念判断，圆柱、圆锥、圆台的旋转轴是否正确【解答】解：圆台是直角梯形绕直角腰所在的直线旋转而成，A错误；棱台是由平行于底面的平面截得的，故棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，B正确；顶点在底面的投影为底面中心且底面是正三角形的棱锥为正三棱锥，C错误；圆锥是直角三角形绕其直角边所在的直线旋转而成，D错误；故选B8轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是（）A35海里B35海里C35海里D70海里【考点】解三角形的实际应用【分析】题意可得，AC=50，BC=30，ACB=
10、120，作出示意图，由余弦定理可得AB2=AC2+BC22ACBCcosBCA可求AB，即两轮船的距离【解答】解：由题意可得，AC=50，BC=30，ACB=120由余弦定理可得，AB2=AC2+BC22ACBCcosBCA=4900AB=70海里故选：D9设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A5，B5，0），+）C（，5，+）D5，0）（0，【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义，结合数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（2，2）的斜率，由得，即A（1，3），由得，即B（5，3），则AD
11、的斜率k=5，BD的斜率k=，则的取值范围是k或k5，即（，5，+），故选：C10已知某几何体的三视图如图所示，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）ABCD3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：由三视图知几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体，且长方体长、宽、高分别是1、1、3，三棱锥的底面是等腰直角三角形、直角边是1，三棱锥的高是1，该几何体的体积V=，故选：B11已知点P为线段y=2x，x2，4上任意一点，点Q为圆C：（x3）2+（y+2）2=1上
12、一动点，则线段|PQ|的最小值为（）A1BCD【考点】直线与圆的位置关系【分析】用参数法，设出点P（x，2x），x2，4，求出点P到圆心C的距离|PC|，计算|PC|的最小值即可得出结论【解答】解：设点P（x，2x），x2，4，则点P到圆C：（x3）2+（y+2）2=1的圆心距离是|PC|=，设f（x）=5x2+2x+13，x2，4，则f（x）是单调增函数，且f（x）f（2）=37，所以|PC|；所以线段|PQ|的最小值为1故选：A12已知数列an，bn满足a1=1， =，anbn=1，则使bn63的最小的n为（）A4B5C6D7【考点】数列递推式【分析】先化简已知的等式，利用待定系数法和构造
13、法得到数列+3是等比数列，由条件和等比数列的通项公式求出，代入anbn=1求出bn，化简使bn63即可求出最小的n【解答】解：因为，所以3an+1an+2an+1=an，两边同除an+1an得，设，则，即k=3，=2，由a1=1得+3=4，数列+3是以2为公比、4为首项的等比数列，则+3=42n1=2n+1，=2n+13，由anbn=1得bn=2n+13，bn63为2n+1363，即2n+166，26=64，27=128，使bn63的最小的n为6，故选：C二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分.13关于x的不等式x22ax8a20的解集为（2，4），则a=1【考点】一元二次不等式的解
14、法【分析】由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a的值【解答】解：不等式x22ax8a20的解集为（2，4），所以方程x22ax8a2=0的实数根为2和4，由根与系数的关系知2+4=2a，24=8a2，解得a=1故答案为：114在三棱锥VABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2，VC=1，则二面角VABC的平面角度数是60【考点】二面角的平面角及求法【分析】取AB的中点为D，连接VD，CD，则VDC是二面角VABC的平面角，从而可得结论【解答】解：取AB的中点为D，连接VD，CDVA=VB，ABVD；同理ABCD所以VDC是二面角VABC的平面角由题设可知VD=CD
15、=1，即VDC=60故二面角VABC的大小为60故答案为：6015已知m0，n0且满足2m+3n=2，则+的最小值是2+【考点】基本不等式【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：m0，n0且满足2m+3n=2，+=（+）（2m+3n）=（4+）（4+2）=2+，当且仅当=时取等号+的最小值是2+故答案为：2+16已知三棱锥ABCD中，AC=BD=BC=AD=，AB=DC=，则该三棱锥外接球的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由三棱锥的对边相等可得三棱锥ABCD为某一长方体的对角线组成的三棱锥，求出长方体的棱长即可得出外接球的半径，从而计算出外接球的体积【解答】解：AC=B
16、D=BC=AD=，AB=DC=，三棱锥ABCD可看做对角线分别为，的长方体的对角线所组成的三棱锥，设长方体的棱长为a，b，c，则，解得长方体的体对角线长为=，即三棱锥的外接球的直径为，外接球的半径为r=外接球的体积V=故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤17已知直线l1：2xy+1=0，l2：ax+4y2=0（）若l1l2，求a的值；（）若l1l2，求a的值，并求出l1与l2间的距离【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】（）利用直线垂直的性质求解；（）利用直线平行的性质求解即可【解答】解：（）直线l1：2x
17、y+1=0，l2：ax+4y2=0，若l1l2，则2a4=0，解得：a=2；（）若l1l2，则=，解得：a=8，l2：2xy+=0，d=18如图，已知平面APD平面ABCD，ABCD，CD=AD=AP=4，AB=2，ADAP，CB=2（）求证：CDAP；（）求三棱锥BAPC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）由面面垂直的性质得出AP平面ABCD，于是APCD；（2）取CD中点E，连接BE，由勾股定理得出BECD，从而得出ABC的面积，故而VBAPC=VPABC=【解答】证明：（1）ADAP，平面APD平面ABCD，平面APD平面ABCD=AD，AP
18、平面APD，AP平面ABCD，又CD平面ABCD，CDAP（2）取CD中点E，连接BE，ABCD，AB=2，DE=CD=2，四边形ABED是平行四边形，BEAD，BE=ADAD=4，CE=，BC=2，BC2=CE2+BE2，BECEBEABSABC=4，VBAPC=VPABC=19已知锐角ABC的内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，），=（cos2B，cosB），且（）求角B的大小；（）若b=，求ABC的周长的最大值【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用【分析】（）根据向量平行列出方程，使用三角函数公式化简可求得2sin（2B+）=0，结合B的范围得出B的值；
19、（）利用正弦定理求出a=2sinA，c=2sinC，利用三角函数恒等变换的应用可得ABC的周长L=2sin（A+）+，利用正弦函数的性质即可得解其最大值【解答】解：（）=（2sinB，），=（cos2B，cosB），且2sinBcosB+cos2B=0即sin2B+cos2B=0，2sin（2B+）=04分角B为锐角，2B+（，），可得：2B+=，B=6分（）由正弦定理可得：，a=2sinA，c=2sinC，ABC的周长L=a+c+=2sinA+2sinC+=2sinA+2sin（A+）+=2sin（A+）+，10分当A=时，三角形周长最大，最大值为312分20如图，直三棱柱ABCA1B1C1
20、的各条棱长均为4，D是侧棱CC1的中点（）在线段AB1上是否存在一点M，使得DM平面ABC，若存在，求出AM的长若不存在，请说明理由；（）求AB1与平面ACC1A1所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质【分析】（）取AB，AB1的中点分别为N，M，连接NM，NC，证明四边形NMDC是平行四边形，即可；（）根据线面角的定义作出直线和平面所成角的平面角，根据三角形的边角关系进行求解即可【解答】解：（）在线段AB1上存在一点M，使得DM平面ABC，如图，取AB，AB1的中点分别为N，M，连接NM，NC，则NMBB1DC且NM=BB1=DC，四边形NMDC是平行四边形，MDNC
21、，NC平面ABC，MD平面ABC，DM平面ABC，此时AM=AB1=2，（）取A1C1的中点E，连接B1E，B1EA1C1，AA1平面A1B1C1，AA1B1E，又AA1A1C1=A1，B1E平面ACC1A1，连接AE，则AE是AB1在平面ACC1A1内的射影，B1AE是AB1与平面ACC1A1所成的角，在直角三角形B1AE中，B1E=2，AB1=4，则sinB1AE=，即AB1与平面ACC1A1所成角的正弦值21已知数列an满足an+1=3an+1，nN*，a1=1，bn=an+（）证明bn是等比数列，并求bn的通项公式；（）若cn=2n，求数列cnbn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比
22、数列的通项公式【分析】（）an+1=3an+1，两边同时加上，an+1+=3（an+），即可bn+1=3bn，数列bn是等比数列，求得b1，根据等比数列通项公式求得bn；（）求出数列cn的通项公式，利用错位相减法进行求和即可【解答】解：（）证明：an+1=3an+1，an+1+=3an+1+=3（an+），bn+1=3bn，b1=a1+=bn是以为首项，以3为公比的等比数列，bn的通项公式bn=3n1=，（）cnbn=2n=n3n，数列cnbn的前n项和Sn，Sn=13+232+333+n3n，3Sn=132+233+334+n3n+1，两式相减得：2Sn=13+32+33+3nn3n+1，=
23、n3n+1，=，Sn=22已知A（1，0），B（1，0），圆C：x22kx+y2+2y3k2+15=0（）若过B点至少能作一条直线与圆C相切，求k的取值范围（）当k=时，圆C上存在两点P1，P2满足APiB=90（i=1，2），求|P1P2|的长【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）将圆的一般式方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，由题意和点与圆的位置关系列出不等式组，求出k的取值范围；（）由题意和圆的性质判断出P1、P2在以AB为直径的圆上，将k=代入求出圆C的方程，求出在以AB为直径的圆的方程，两圆的方程相减求出公共弦P1P2的方程，由点到直线的距离公式求出O到直线P1P2的距离，由弦长公式求出|P1P2|的值【解答】解：（）圆C的标准方程是（xk）2+（y+1）2=4k214，过B（1，0）点至少能作一条直线与圆C相切，B点在圆C外或在圆周上，则，解得或；（）APiB=90（i=1，2），P1，P2在以AB为直径的圆上，P1，P2在圆C上，P1P2是两圆的公共弦，当k=时，圆C的方程为：，即，以AB为直径的圆的方程是：x2+y2=1，两圆方程相减得，公共弦所在的直线方程为，O到直线P1P2的距离d=，|P1P2|=2=2=2016年9月6日
