1、第三章 圆锥曲线与方程A组基础巩固1若椭圆1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为()A5B6C4 D1解析：由椭圆的定义知a5，点P到两个焦点的距离之和为2a10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为1055，故选A.答案：A2已知ABC的两个顶点的坐标A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()A.1 B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)解析：顶点C到两个定点A，B的距离和为188108，由椭圆的定义可得轨迹方程答案：D3已知椭圆的焦点F1(1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2
2、|的等差中项，则该椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：F1(1,0)，F2(1,0)，|F1F2|2，又|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项|PF1|PF2|2|F1F2|4，即2a4.又c1，b23.椭圆的标准方程为1.答案：C4“5m7”是“方程1表示椭圆”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：若方程1表示椭圆，则，解得5m7且m6，所以“5ma2，所以1a0；当焦点在x轴上时，有所以a1.答案：1a0a18椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_，F1PF2的大小为_解析：由椭圆标准方程得a3，
3、b，则c，|F1F2|2c2.由椭圆的定义得|PF2|2a|PF1|2.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF2，所以F1PF2120.答案：21209写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，且过点(1，2)和(2,0)，求椭圆的方程(2)焦点在x轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)解析：(1)由焦点在y轴上，故设椭圆方程为1.点(1,2)和(2,0)在椭圆上，解得故所求的椭圆方程为1.(2)由焦点在x轴上，焦距是4，得焦点坐标为(2,0)，(2,0)，且c2.因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知2a12，所以a6.所以b
4、2a2c236432.因此，所求椭圆的标准方程为1.10如图所示，已知椭圆的两焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|PF1|PF2|.(1)求该椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，F2F1P120，求PF1F2的面积解析：(1)由已知得c1，|F1F2|2，所以4|PF1|PF2|2a，所以a2，所以b2a2c2413，所以椭圆的方程为1.(2)在PF1F2中，|PF2|2a|PF1|4|PF1|.由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即(4|PF1|)2|PF1|242|PF1|，所以|PF1|，所以SP
5、F1F2|F1F2|PF1|sin 1202.B组能力提升1设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线l与椭圆相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|()A.B1C. D.解析：椭圆E：x21(0b1)中，a1，|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2，相加得|AF1|BF1|AF2|BF2|4，|AF2|BF2|4|AF1|BF1|4|AB|.|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，2|AB|AF2|BF2|，于是2|AB|4|AB|，|AB|.答案：C2两个焦点的坐标分别为(2,0)，(2,0)，并且经过点P的椭圆的标
6、准方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：由椭圆定义知：2a2.a.b.答案：A3如图所示，F1、F2分别为椭圆1的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为的正三角形，则b2的值是_解析：因为F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且正三角形POF2的面积为，所以SPOF2|OF2|PO|sin 60c2，所以c24.所以点P的坐标为(，c)，即(1，)，所以1，又b2c2a2，所以，解得b22.答案：24设P是椭圆 1上一点，F1，F2是其左、右两焦点，若|PF1|PF2|8，则|OP|_.解析：由题意，|PF1|PF2|6，两边平方得|PF1|22|PF1|PF2|PF2|2
7、36.因为|PF1|PF2|8，所以|PF1|2|PF2|220.以PF1，PF2为邻边做平行四边形，则|OP|正好是该平行四边形对角线长的一半由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP|)2(2c)22(|PF1|2|PF2|2)所以4|OP|2(22)2220，所以|OP|.答案：5在椭圆9x225y2225上求点P，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍解析：原方程可化为1.其中a5，b3，则c4.F1(4,0)，F2(4,0)设P(x，y)是椭圆上任一点，由椭圆的定义|PF1|PF2|2a10，又|PF2|4|PF1|，解得|PF1|2，|PF2|8，即解得或故P点坐标为(，)或(，)6设P(x，y)是椭圆1上的点且点P的纵坐标y0，点A(5,0)、B(5,0)，试判断kPAkPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由解析：因为点P的纵坐标y0，所以x5.所以kPA，kPB.所以kPAkPB.因为点P在椭圆1上，所以y216(1)16.把y216代入kPAkPB，得kPAkPB.所以kPAkPB为定值，这个定值是.
