1、一诊数学（理）试卷第 1 页（共 4 页）达州市普通高中 2023 届第一次诊断性测试数学试题（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合|Axx1，|1Bx x，则 AB A01)，B(01)，C(1)，D(1，2复数 z 满足 12
2、iz，则 z A12B 12C1 i2D 1 i23已知向量a，b，满足ab，(1 2)，a=，则()a b aA0B 2C5D54四川省将从 2022 年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是A样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C样本中选择物理学科的人数较多D样本中男生人数少于女生人数5三棱锥 PABC的底面 ABC 为直角三角形，
3、ABC的外接圆为圆O，PQ 底面 ABC，Q 在圆O 上或内部，现将三棱锥的底面 ABC 放置在水平面上，则三棱锥 PABC的俯视图不可能是ABCD一诊数学（理）试卷第 2 页（共 4 页）6“0ab”是“eb aab”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7把一个三边均为有理数的直角三角形面积的数值称为同余数，如果正整数 n 为同余数，则称 n 为整同余数2021 年 11 月 3 日，2020 年度国家科学奖励大会在人民大会堂隆重召开，中国科学院研究员田刚以“同余数问题与 L 函数的算术”项目荣获 2020 年度国家自然科学奖二等奖，在同余数这个具有千年历史
4、数学中最重要的古老问题上取得突破性进展在ABC中，2C，ABC绕 AC 旋转一周，所成几何体的侧面积和体积的数值之比为5:4，若ABC的面积 n 为整同余数，则 n 的值可以为A5B6C8D128将函数1()sin()23f xx(0)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，直线l 与曲线()yg x仅交于11()A xy，22()B xy，()66Pg，三点，6为1x，2x 的等差中项，则 的最小值为A8B6C4D 29点 F 为双曲线22221xyab(0 0)ab，的一个焦点，过 F 作双曲线的一条渐近线的平行线交双曲线于点 A，O 为原点，|O
5、Ab，则双曲线的离心率为A2B2 3C2 2D 310.曲线()()ln()f xxmx m R 在点(1(1)f，处的切线平分圆22(2)(1)5xy，则A()yf x有两个零点B()yf x有极大值C()yf x在(0 )，上为增函数D当1x 时，()0f x 11.在棱长为 2 的正方体1111ABCDA B C D中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，则A异面直线1DD 与1B F 所成角的余弦值为55B点 P 为正方形1111A B C D 内一点，当 DP 平面1B EF 时，DP 的最小值为 3 22C过点1D，E，F 的平面截正方体1111ABCDA B C D所得的截面周长
6、为3 22 5D当三棱锥1BBEF的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为1212.函数()f x 满足(2)()2fxf x，令()(1)1g xf x，对任意的0 x，都有()()1xgxg xx，若12()10099!g，则(0)fA 1B3C1D 199!一诊数学（理）试卷第 3 页（共 4 页）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分1381()xx展开式中的常数项为（用数字作答）14定义 acadbcbd，现从集合|10 xxN中随机取两个不同的元素 m，n，则满足032nm的概率为15已知正方形 ABCD 边长为 2，M，N 两点分别为边 BC，CD 上
7、动点，45MAN，则CMN的周长为16斜率为1的直线l 与曲线2:2C ypx(00)p y，交于11()A xy，22()B xy，两点，F 为22ypx的焦点，212xx，3AFBF，点00102()()M xyxxx，为曲线C 上一点，当MAB的面积取最大值时，MF 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17(12 分)党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022 年 9 月 23 日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望
8、连续十年全省第一据统计该市 2017 年至 2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表：年份20172018201920202021年份代码 x12345人均可支配收入 y（单位：万元）1.301.401.621.681.80(1)根据上表统计数据，计算 y 与 x 的相关系数 r，并判断 y 与 x 是否具有较高的线性相关程度（若0.30|0.75r，则线性相关程度一般，若|0.75r 则线性相关程度较高，r精确到0.01）；(2)市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022 年农村居民人均可支配收入力争不低于1.98万元，求该市 2022 年农村居民人均可支配收入相对 2021 年增长率
9、最小值（用百分比表示）参考公式和数据：相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，51()()1.28iiixxyy，521()0.17iiyy，1.71.3.18.(12 分)已知正项等比数列 na前n项和为nS，342aa，当2n时，12nnSSm，mR(1)求 na的通项公式；(2)求数列12nnnmS S 的前n项和nT 一诊数学（理）试卷第 4 页（共 4 页）ABCDEFP19(12 分)如图，四棱锥 PABCD的底面 ABCD 是梯形，ADBC，ABBC.E 为 AD 延长线上一点，PE 平面 ABCD，2PEAD，tan2PDA .F 是 PB 中
10、点(1)证明：EFPA；(2)若22BCAD，三棱锥 EPDC的体积为 13，求二面角 FDEC的余弦值20(12 分)已知直线l：(0)ykx k交椭圆C:2212xy 于 A，B 两点，1F，2F 为C 的左、右焦点，1F 关于直线l 的对称点在C 上(1)求 k 的值；(2)过2F 斜率为1k 的直线交线段 AB 于点 D，交C 于点 M，N，求22|F DMN的最小值21(12 分)已知函数()elnmxf xxx（mR）(1)若1x 是函数()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；(2)证明：当12m 时，曲线()yf x上的所有点均在抛物线2xy的内部（二）选考题：共 10
11、分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22 cos2 sin20，直线l 的参数方程为2cos()2sinxttyt，为参数(1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于 A,B 两点，定点(2 2)P，求 PAPB的最小值23选修 4-5：不等式选讲(10 分)设函数12)(xxf(1)若()()f xf xm的解集为|0 x x，求实数 m 的值；(2)若0ab，且()()f af b，
12、求 411ab的最小值理科数学答案 第 1页(共 4 页)达州市普通高中 2023 届第一次诊断性测试理科数学参考答案一、选择题：1.A2.C3.D4.C5.D6.A7.B8.C9.D10.D11.B12.A二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分137014 12415 4161三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：(1)由表知 x 的平均数为1 234535x 522221()(1 3)(23)(53)10iixx51552211()()1.281.280.98100.171.7()()iiiiiiixxyyrxxyy75.098.0,y
13、与 x 具有较高的线性相关程度(2)设增长率为 p，则1.8(1)p1.98,解得 p0.1min0.110%p该市 2022 年农村居民人均可支配收入相对 2021 年增长率最小值为10%18解：(1)设等比数列na的公比为 q，0na ，0q，由342aa得3131)(qaqa11 a12nnSSm，212SSm，322SSm，32212()SSSS，即322aa，223 aaq所以1112()nnnaa qn N(2)212SSm，1212aaam，112aam1(12)21()12nnnSnN1112211(21)(21)2121nnnnnnnnmmSS 12231111111()()
14、()212121212121nnnT12111 n19(1)证明：PE 平面 ABCD，AB 平面 ABCD，PEAB ABBC，ADBC，ABAD又EADPE，AB 平面 PAD PA 平面 PAD，PAAB理科数学答案 第 2页(共 4 页)取 PA 的中点 M，连接 EM，FM，F 为 PB 的中点，FMAB FMPA tan2PDA ，tan2PDE，2DEPE，ADDEPE22，D 为 AE 的中点，PEAE，EMPA又MFMEM，PA 平面 EFM EF 平面 EFM，EFPA.(2)解：222BCADDE，2PE.BCAE，且 BCAE，ABBC，四边形 ABCE 为矩形，CE
15、平面 PAE.1111123323E PDCP DECDECVVSPECE，1CE.以 E 为原点，分别以 EA，EC，EP方向为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系 Exyz 则D(1 0 0)，C(0 1 0)，1(1 1)2F，(1 0 0)ED，,1(1 1)2EF，易知1(0 0 1)，n是平面 DEC 的一个法向量设平面 FDE 的一个法向量为2(z)xy，n，2200EDEF，nn，即0102xxyz，不妨取2y ，得2(021)，n12121215cos|55，n nnnnn由图知二面角CDEF的平面角为锐角，二面角CDEF的余弦值为55.20解：(1)由题知1(
16、1 0)F ，2(1 0)F，.设1F 关于直线l 的对称点坐标为()xy，则11122yxkyxk ，解得2221121kxkkyk ，根据条件得2222222(1)412(1)(1)kkkk，解得21k ，即1k (2)设1122(),()M xyN xy，.把 yx带入椭圆C 方程得 A,B 的坐标为66(,)33，66(,)33.由已知得直线 MN 的方程为1(1)yk x交线段 AB 于 D,16633661133k，即62162k设()DDD xy，在中令 yx，得111Dkxk，21211|1(1)1kF Dkk21111kkABCMEFPDxyz理科数学答案 第 3页(共 4
17、页)把代入2212xy 并化简得2222111(12)4220kxk xk0，221112122211422,1212kkxxxxkk.221112212 2(1)|1|12kMNkxxk222121|12|2 2(1)F DkMNk令11tk，则22121121223()(1)33kkt，当，32t 即112k 时，212112(1)kk取得最小值 23 所以22|F DMN的最小值为26 21解：(1)由()elnmxf xxx得0 x，且1()eemxmxfxmxx1x 是函数()f x 的极值点，(1)ee10mmfm，即110emm 设11()1exxf x，则12()exxf x当
18、2x 时，1()0f x，1()f x 单调递减，当2x 时1()0f x，1()f x 单调递增又当2x 时，1()0f x，且1(0)0f，0m 当0m 时，()lnf xxx，1()1fxx 若01x，()0fx，()f x 单调递减；若1x ，()0fx，()f x 单调递增，(1)0f，1x 是()f x 的极小值点所以()f x 的单调减区间为(0 1，增区间为1 )，(2)证明：12m ，0 x，12mxx，12eexmx12()elnelnxmxf xxxxx构造函数12e()xg xx，则122(2)e()2xxg xx，当02x时，()0g x，()g x 单调递减，当2x
19、 时，()0g x，()g x 单调递增由于(2)0g，mine()(2)2g xg设2ln()1xh xx，则31 2ln()xh xx，当0ex时，()0h x，()h x 单调递增，当ex 时，()0h x，()h x 单调递减由于(e)0h，max()(e)h xh 112e 2e1e2e 1(1)022e2e，minmax()()g xh x，()()g xh x，12exx 2ln1xx，即122elnxxxx2()f xx所以曲线()yf x上所有的点都在抛物线2xy内22解：(1)将222xy，cosx，siny 代入C 的极坐标方程22 cos2 sin20得曲线C 为222
20、220 xyxy，即4)1()1(22yx 4 分理科数学答案 第 4页(共 4 页)(2)易知点 P 在直线l 上，将直线l 的参数方程2cos()2sinxttyt，为参数 代入曲线C 方程得4)sin1()cos1(22tt，整理得02)cos(sin22tt设点 A，B 对应该的参数分别为 1t，2t，则)cos(sin221 tt，0221tt，由参数t 的几何意义不妨令|1PAt,|2PBt|2121ttttPBPA122sin44)(21221tttt当12sin，即()4kk Z 时，22|)|(|min PBPA23(1)解：不等式可化为|1|22mxx，|1|1|mxx，两边同时平方可得222mmmx原不等式解集为|0 x x，0m，即21mx021 m，2m(2)解：)()(bfaf，|1|1|22 ba，|1|1|ba)1(2)1(|xfxfx，)(xfy 关于直线1x对称，ba10，11ba，即2 ba所以1)1(45)1)(114(baabbaba9425，当且仅当1)1(4baab，即34,32ba时取“=”，114 ba的最小值为9
