1、玉溪一中2020-2021学年上学期高二年级期中考文科数学试卷总分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解不等式得，再求集合交集运算.【详解】解：解不等式得，所以；故选：D2. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用诱导公式求解.【详解】，故选：D3. 高二某班有学生52人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的
2、编号为（ ）A. 13B. 14C. 18D. 26【答案】C【解析】分析】直接根据系统抽样的定义与性质求解即可.【详解】因为，所以由系统抽样的定义可知编号间隔是，所以样本中的另一个学生的编号为故选:C【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质.4. 记等比数列的前项和为，已知，则（ ）A. 180B. 160C. 210D. 250【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得到，构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案.【详解】因为为等比数列，所以，构成等
3、比数列.所以，解得.故选：C5. 若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求出，在A中，不一定是常数，在B中，可能有零项，在D中，当时，数列存在负项，此时无意义，只有C项满足等比数列的定义，并且公比是原数列公比的倒数，从而求得结果.详解：因为数列是等比数列，所以，对于A，不一定是常数，故A不一定是等比数列；对于B，可能有项为零，故B不一定是等比数列；对于C，利用等比数列的定义，可知的公比是数列公比的倒数，故C项一定是等比数列；对于D，当时，数列存在负项，此时无意义，故D项不符合题意；故选C.点睛：该题考查的是有关等比数列的判断问题，在解
4、题的过程中需要对等比数列的定义牢牢掌握，再者就是对等比数列的性质要熟记，对等比数列中的项经过什么样的变换还成等比数列.6. 已知等差数列中，则的前项和的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据和判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出的最大值.【详解】因为，所以，又因为，所以，因为为等差数列，所以，所以为单调递减数列，所以的最大值为，故选：B.【点睛】本题考查根据等差数列的单调性求解前项和的最大值，难度一般.求解等差数列前项和的最值，关键是分析等差数列的单调性，借助单调性可说明有最大值还是最小值并且求解出对应结果.7. 方程()所表示的直线（ ）A. 恒过定点B.
5、 恒过定点C. 恒过点D. 都是平行直线【答案】A【解析】【分析】将方程化为，即可得出答案.【详解】方程可化为即则恒过定点故选：A【点睛】本题主要考查了直线恒过定点问题，属于中档题.8. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只将的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图像求出，再利用三角函数的平移变换即可求解.【详解】由图像观察可知，所以，则，所以，根据图像过点，所以 ，则，所以，函数，因此把图像向左平移个单位即得到的函数图像，故选：A.9. 如图所示的中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【
6、解析】【分析】设，根据向量的线性运算法则，求得，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，设，因为，可得，又由所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，注重考查推理与运算能力.10. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十
7、四等边体.一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则该二十四等边体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过二十四等边体的外接球表面积求得半径，进而计算出二十四等边体的边长，进而计算出二十四等边体的表面积.【详解】由于二十四等边体的外接球表面积为，设其半径为，则，解得.设为球心，依题意可知四边形分别为正方体侧棱的中点，所以正方形，由于，所以四边形是正方形，.所以二十四等边体的边长为.所以二十四等边体的边长的表面积为故选：C【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.11. 设若是的最小值，则的取值范围为（ ）A.
8、B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】当a0时，显然f(0）不是f(x)的最小值，当a0时，解不等式: 即可求解.【详解】当a0时，显然f(0)不是f (x)的最小值，当a0时，f (0）=a2,由题意得：恒成立，而时，当且仅当时等号成立，所以只需，解得，又a0，所以故选：D.12. 已知定义在上的函数是奇函数，且满足，数列满足，且，则（ ）A. 1B. 3C. -3D. 0【答案】C【解析】【分析】根据条件判断函数的周期是3，利用数列的递推关系求出数列的通项公式，结合数列的通项公式以及函数的周期性进行转化求解即可【详解】解：函数是奇函数，且满足，即，则，即函数是周期为3的周期函数，由数
9、列满足且，则，则，即，即数列的通项公式为，则，是奇函数， ， 所以，故选C【点睛】关键点睛：解题关键在于利用和利用构造数列求出，进而函数的周期性和奇偶性进行求解，难度属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若幂函数在上为增函数，则实数 _.【答案】4【解析】【分析】根据幂函数的性质和形式可得满足的条件，从而可求实数的值.【详解】因为为幂函数且在上为增函数，所以 ，故.故答案为：4.【点睛】本题考查幂函数的定义和性质，注意幂函数的一般形式为，当且仅当时幂函数在为增函数，本题属于基础题.14. 在数列中，是方程的两根，表示数列的前项和.（1）若是等比数列，则_；（2）若是
10、等差数列，则_.【答案】 (1). -5 (2). 18【解析】【分析】根据题意可得,然后利用等差等比数列的性质可求出和.【详解】是方程的两根,若是等比数列，则,若是等差数列，则.故答案：；18.【点睛】本题考查等差等比数列的性质，属于基础题.15. 已知单位向量和满足，则与的夹角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】将等式两边平方，利用向量的数量积即可求解.【详解】将两边同时平方，可得，因为和是单位向量，可得.所以.故答案为：16. 设函数，下述四个结论正确结论的编号是_.是偶函数； 最小正周期为；的最小值为0； 在上有3个零点.【答案】【解析】【分析】对，根据即可判断正确，对，根据函数和的
11、最小正周期即可判断正确，对，首先得到，再利用二次函数的性质即可判断正确，对，令，解方程即可判断错误.【详解】对，因为函数的定义域为，所以是偶函数，故正确；对，因为，最小正周期为，的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故正确；对，.因为，当时，取得最小值为，故正确.对，令，即，解得或（舍去）.当时，解得或，所以上有个零点.故错误.故选：三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量，.（1）若时，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由得，可得答案；（2）由得，利用平方关系可得，再由两角和的正弦公式可得答案.【详
12、解】（1）， （2）， 又所以所以，所以.【点睛】在三角函数的基本恒等式中，平方关系是最基本的同时也是应用最广泛的恒等式，特别是对于一些特殊的三角函数式的证明、计算、化简，如能巧妙地运用平方关系则可使解题过程大为简化.18. 某学校计划从甲，乙两位同学中选一人去参加省数学会举办的数学竞赛，以下是甲，乙两位同学在10次测试中的数学竞赛成绩的茎叶图（1）从甲的成绩中任取一个数据，从乙的成绩中任取一个数据，求满足条件的概率；（2）分别计算甲乙两位同学成绩的平均值和方差，根据结果决定选谁去合适【答案】（1）（2）甲同学参加比赛见解析【解析】【分析】（1）根据茎叶图求出抽取两个数据的基本事件的结果，再求
13、出满足的情况的个数，最后根据古典概型的计算公式进行求解即可；（2）根据茎叶图，结合平均数和方差的计算公式，求出甲乙两位同学成绩的均值和方差，最后从均值和方差两个角度进行选择即可.【详解】（1）抽取两个数据的基本事件有，共6种结果，满足的有，共3个所以概率为（2）甲，乙， 甲，乙从平均数看，甲乙两名同学的成绩相同；从方差看，甲同学的成绩的方差较小，因此甲同学的成绩更稳定，从成绩的稳定性考虑，应选甲同学参加比赛【点睛】本题考查了古典概型计算公式，考查了平均数和方差的计算公式，考查了平均数和方差的性质，考查了数学运算能力.19. 已知等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【
14、答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）用等比数列基本量计算表示出已知条件，解方程即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（2）把（1）中求得的结果代入，求出，利用错位相减法求出【详解】(1)设数列的公比为，由题意知：，即.，即.(2)，.得.【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解; 在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.20. 在中，角，的对边分别为，为的面积，满足.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（
15、2）.【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理即可求解.（2）利用正弦定理可得，再根据两角差的正弦公式以及辅助角公式即可求解.【详解】（1）由三角形面积公式得：（2）在中，由正弦定理得，又，所以，故，因为故，所以，故的取值范围是.21. 如图,在四棱锥中,底面, , ,为上一点,且(1)求证：平面；(2)若,求三棱锥的体积【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：（1）法一：过作交于点，连接，由，推出，结合与，即可推出四边形为平行四边形，即可证明结论；法二：过点作于点，为垂足，连接，由题意，则，即可推出四边形为平行四边形，再由平面，可推出，即可得证平面平面，从而得证结论；（2
16、）过作的垂线，垂足为，结合平面，可推出平面，由平面，可得到平面的距离等于到平面的距离，即，再根据，即可求出三棱锥的体积.试题解析：（1）法一：过作交于点，连接.又，且，四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.法二：过点作于点，为垂足，连接.由题意，则，又，四边形为平行四边形.平面，平面.又.又平面，平面；平面，平面，；平面平面.平面平面.（2）过作的垂线，垂足为.平面，平面.又平面，平面，；平面由（1）知，平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，即.在中，. .22. 已知圆：，一动直线l过与圆相交于.两点，是中点，l与直线m：相交于.（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心；（2）当时，求直
17、线l的方程；（3）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 或（3）见解析【解析】【分析】（1）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时斜率的乘积为1，由直线m的斜率求出直线l的斜率，根据点A和圆心坐标求出直线AC的斜率，得到直线AC的斜率与直线l的斜率相等，所以得到直线l过圆心；（2）分两种情况：当直线l与x轴垂直时，求出直线l的方程；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程，根据勾股定理求出CM的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线l的距离d，让d等于CM，列出关于k的方程，求出方程的解即可
18、得到k的值，写出直线l的方程即可；（3）根据CMMN，得到等于0，利用平面向量的加法法则化简等于，也分两种情况：当直线l与x轴垂直时，求得N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，得到其值为常数；当直线l与x轴不垂直时，设出直线l的方程，与直线m的方程联立即可求出N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，也得到其值为常数综上，得到与直线l的倾斜角无关【详解】（1）l与m垂直，且，又，所以当l与m垂直时，l必过圆心.（2）当直线与x轴垂直时, 易知符合题意当直线与x轴不垂直时, 设直线的方程为，即，因为，所以，则由，得 直线：. 从而所求的直线的方程为或（3）因为CMMN, 当与x轴垂直时，易得，则,又,，当的斜率存在时，设直线的方程为，则由，得（ ）,则= 综上，与直线l的斜率无关，且.【点睛】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题
