1、安平中学2018-2019学年下学期期末考试高三数学试题（理）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟第卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在极坐标系中，圆=-2sin的圆心的极坐标系是A. B. C. (1,0)D. (1，)【答案】B【解析】【详解】由题圆，则可化为直角坐标系下的方程,，圆心坐标为（0，-1），则极坐标为，故选B.考点：直角坐标与极坐标的互化.【此处有视频，请去附件查看】2.若一直线的参数方程为（为参数），则此直线的倾斜角为（）A. B. C. D. 【答
2、案】B【解析】【分析】消去参数转为普通方程，求得直线的斜率，进而求得倾斜角.【详解】消去参数得，故斜率为，对应倾斜角为，故选B.【点睛】本小题主要考查直线的参数方程转化为普通方程，考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题.3.函数的最小值及取得最小值时的值分别是（）A. 1，B. 3，0C. 3，D. 2，【答案】C【解析】分析】利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应的值.【详解】依题意，当且仅当，即时等号成立，故选C.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件，属于基础题.4.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位
3、，已知直线的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是，则直线被圆C截得的弦长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长.【详解】由题意得，直线l的普通方程为yx4，圆C的直角坐标方程为(x2)2y24，圆心到直线l的距离d，直线l被圆C截得的弦长为2.【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式求解.5.若不等式的解集为，则实数等于（）A. 8B. 2C. -4D. -2【答案】D【解析】【分析】根据绝
4、对值不等式的解法化简，结合其解集的情况求得的值.【详解】由得.当时，无解.当时，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.6.曲线，（为参数）对称中心（ ）A. 在直线上B. 在直线上C. 在直线上D. 在直线上【答案】B【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.【此处有视频，请去附件查看】7.“”是“关于x的不等式的解集非空”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分又不必要条件
5、【答案】C【解析】试题分析：解：因为，所以由不等式的解集非空得：所以，“”是“关于x的不等式的解集非空”的充分不必要条件，故选C.考点：1、绝对值不等式的性质；2、充要条件.8.过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，则的值为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得的值.【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得.故（异号）.故.故选B.【点睛】本小题主要考查椭圆参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，
6、考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9.若，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据求得的取值范围，由此求得不等式的解集.【详解】原不等式可化为，由于，故，根据绝对值的定义可知恒成立，故原不等式的解集为.故选D.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的运算，属于基础题.10.已知，且，则的最大值为（）A. 3B. C. 18D. 9【答案】B【解析】【分析】先利用柯西不等式求得的最大值，由此求得的最大值.【详解】由柯西不等式得：，所以，当且仅当时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求
7、最大值，属于基础题.11.已知点（x,y）满足曲线方程 （为参数），则的最小值是（ ）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】消去参数可得曲线的方程为： ，其轨迹为圆，目标函数 表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，如图所示，数形结合可得：的最小值是1.本题选择D选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义12.为实数，且有解，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出|x5|+|x3|的最小值，只需m大于最小值即可满足题意【详解】有解，只需大于的最小值
8、，所以，有解故选：C【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力，是基础题第卷（非选择题）二、填空题（共4题每题5分满分20分）13.已知|ab|c(a，b，cR)，给出下列不等式：abc；abc；abc；|a|b|c；|a|b|c.其中一定成立的不等式是_(填序号)【答案】【解析】【分析】先根据绝对值不等式的性质可得到ca+bc，进而可得到b+cabc，即可验证成立，不成立，再结合|a+b|c，与|a+b|a|b|，可得到|a|b|c即|a|b|c成立，进而可验证成立，不成立，从而可确定答案【详解】|ab|c，cabc.abc，abc，成立且不成立|a|b|ab|c，|a|b|c，成立且
9、不成立【点睛】本题主要考查不等式的基本性质考查基础知识的综合运用14.在极坐标系中，曲线和的方程分别为与，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为_【答案】【解析】【分析】联立两条曲线的极坐标方程，求得交点的极坐标，然后转化为直角坐标.【详解】由，解得，故，故交点的直角坐标为.故答案为【点睛】本小题主要考查极坐标下两条曲线的交点坐标的求法，考查极坐标和直角坐标互化，属于基础题.15.不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】利用两边平方的方法，求出不等式的解集.【详解】由两边平方并化简得，解得，故原不等式的解集为.故答案为【点睛】本小题主要考
10、查含有绝对值的不等式的解法，属于基础题.16.已知，则取得最小值时，形成的点_.【答案】【解析】【分析】利用柯西不等式求得的最小值，并求得此时的值.【详解】由于，故.当且仅当时等号成立，故.故答案为【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最值，并求等号成立的条件，属于基础题.三.解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤，17题10分，18-22每题12分）17.在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）已知，圆上任意一点，求面积的最大值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）消去参数，将圆的参数方程，转化为普通方程，利
11、用求得圆的极坐标方程.（2）利用圆的参数方程以及点到直线的距离公式，求得到直线的距离，由此求得三角形的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.【详解】解：（1）圆的参数方程为（为参数），所以其普通方程为，所以圆的极坐标方程为.（2）点到直线：距离，故的面积，所以面积的最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，考查点到直线距离公式，属于中档题.18.设函数.（1）解不等式；（2）若对任意的实数均成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，分类
12、讨论求得不等式的解集.或者用两边平方的方法求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等，求得的最小值，由此求得的取值范围.【详解】（1）解：等价于，当时，等价于，即，不等式恒成立，故；当时，等价于，解得，故；当时，等价于，即，无解.综上，原不等式的解集为.又解：等价于，即，化简得，解得，即原不等式的解集为.（2），当且仅当等号成立要使对任意的实数均成立，则，所以.【点睛】本小题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查含有绝对值函数最值的求法，考查恒成立问题的求解策略，属于中档题.19.在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线和曲线的直角坐标方
13、程；（2）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.【答案】(1)的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.(2).【解析】【分析】（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.（2）由几何关系可得直线的参数方程为（为参数），据此可得，结合均值不等式的结论可得当且仅当时，线段长度取得最小值为.【详解】（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，整理可得直角坐标方程为，的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.（2）设曲线与轴异于原点的交点为，过点，设直线的参数方程为（为参数），代入可得，解得或，可知，代入可得，解得，可知，所以，当且仅当时取等
14、号，所以线段长度的最小值为.【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.20.已知函数.(1)若恒成立，求实数的最大值；(2)记(1)中的最大值为，正实数，满足，证明: .【答案】(1)2；(2)详见解析.【解析】【分析】（1）根据绝对值三解不等式求出f（x）的最小值为1，从而得出|m1|1，得出m的范围；（2）两边平方，使用作差法证明【详解】(1)由得，要使恒成立，只要，即，实数的
15、最大值为；(2)由(1)知，又故，.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题21.已知曲线：，直线：（是参数）（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值【答案】（1）(为参数);（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）将两边乘以，转化为直角坐标方程，配成圆的标准方程后写出圆的参数方程.消去直线参数方程的参数，求得直线的普通方程.（2）利用圆的参数方程，设出曲线上任意一点的坐标，并求得到直线的距离.将转为，根据三角函数最值的求法，求得的最大值与最小值.【详解】解：曲线：，可得，所以，即：，曲线的参数方程，
16、为参数直线：（是参数）消去参数，可得：（2）曲线上任意一点到的距离为则，其中为锐角，且当时，取得最大值，最大值为当时，取得最小值，最小值为【点睛】本小题主要考查极坐标方程转为直角坐标方程，考查参数方程和普通方程互化，考查点到直线的距离公式，考查三角函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22.已知函数，（1）若时，求不等式的解集；（2）若的图象与轴围成的三角形面积小于6，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用零点分段法分类讨论的数学思想，求得不等式的解集.（2）先用零点分段法去绝对值，将转化为分段函数的形式，求得的图象与轴三个交点的坐标，由此求得所围成三角形面积的表达式，根据面积小于列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】解：（1）当时，化为：，当时，式化为：，解得：，当时，式化为：，解得，当时，式化为：，无解，的解集是；（2）由题设可得：函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为：，由题设可得：，解得：，故的范围是【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查三角形的面积公式和一元二次不等式的的解法，属于中档题.
