1、河北省衡水市武邑中学2019届高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得的结果，然后求其与的并集，由此得出正确选项.【详解】解：故选：B【点睛】本小题主要考查集合的交集、集合的并集的运算，属于基础题.2.已知复数，则复数的模为 （）A. 2 B. C. 1 D. 0【答案】C【解析】,3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角=( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可解得，利用大边对大角可得范围，从而解得A的值【详解】解：，由正弦定理可得：，由
2、大边对大角可得：，解得：故选：A【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围4.已知函数在区间内单调递增，且，若，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由偶函数f（x）在（，0上单调递增，可得f（x）在（0，+）上单调递减，比较三个自变量的大小，可得答案【详解】因为且所以.又在区间内单调递增，且为偶函数，所以在区间内单调递减，所以所以故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性.根据题意，函数为偶函数，所以图像关于轴对称，且在轴左右两侧单调性相反，即左增右减，距离对称轴越远，函数值就越小，所以原不等
3、式比较两个函数值的大小，转化为比较两个自变量的绝对值的大小，绝对值大的，距离轴远，函数值就小.如果函数为奇函数，则左右两边单调性相同.5.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意确定几何体的形状，二面角为直二面角，依据数据，求出侧视图面积【详解】解：根据这两个视图可以推知折起后二面角为直二面角，其侧视图是一个两直角边长为的直角三角形，其面积为故选：D【点睛】本题考查三视图求面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题6.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为
4、一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C.考点：古典概型【此处有视频，请去附件查看】7.设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛
5、：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.8.函数的图象大致是（ ）【答案】D【解析】9.已知函数为奇函数，对任意，都有，且，则=( )A. B. C. 0 D. 【答案】A【解析】【分析】由已知分析出函数的周期性，结合函数的奇偶性，可得答案【详解】解：对任意，都有，函数为周期为6的周期函数，又函数为奇函数，且，故选：A【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数求值
6、，难度中档10.已知p：函数在上是增函数，q：函数在是增函数，则p是q的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用函数的单调性求出命题：，命题，从而p是q的必要不充分条件【详解】解：函数在上是增函数，：函数在是增函数，是q的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断以及充要条件的判断，考查函数的性质基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题11.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D【解析】试题分析：由于函数与函数均关于点成中心
7、对称，结合图形以点为中心两函数共有个交点，则有，同理有，所以所有交点的横坐标之和为.故正确答案为D.考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.【此处有视频，请去附件查看】12.数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行排3项，依此类推设数列的前项和为，则满足的最小正整数n的值为A. 20 B. 21 C. 26 D. 27【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析表中数据的规律，求出各行的和，据此可得，求出第六行的第6个数，计算可得，分析可得答案【详解】解：根据题意，第一行，为4，其和为4，可以变形为；第二行，为首项为4，公比为3的等比数列，共
8、2项，其和为；第三行，为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为；依此类推：第n行的和；则前6行共个数，前6项和为： ，满足，而第六行的第6个数为，则，故满足的最小正整数n的值21；故选：B【点睛】本题考查等比数列的求和，涉及归纳推理的应用，关键是分析表中数列的规律，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量 ，则与夹角的大小为_.【答案】【解析】设与的夹角的大小为，则，又，即与的夹角的大小为，故答案为.14.若命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+10，根据命题否定是假命题
9、，得到判别式大于0，解不等式即可【详解】命题“存在xR，使x2+（a1）x+10”的否定是“任意实数x，使x2+（a1）x+10”命题否定是真命题，=（a1）240，整理得出a22a301a3故答案为：【点睛】本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况15.在中，若，则 【答案】【解析】因为，所以,由正弦定理得,而，所以.考点：正弦定理的应用.16.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于_【答案】【解析】【分析】由已知求出，可得底面外接圆的半径，设此圆圆心为，球心为，在中，由勾股定理求出球的半径，代入球的表面积公式求解【详
10、解】解：如图，在中，由勾股定理可得可得外接圆半径，设此圆圆心为，球心为，在中，可得球半径，此球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查多面体外接球表面积、体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，是中档题三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且.求A；若，求c【答案】（1）（2）【解析】【分析】已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出的值，即可确定出A的度数；由的值求出的值，进而求出的值，由，的值，利用正弦定理即可求出c的值【详解】解：，代入已知等式得：，整理得：，是三角形内角，； 为三角形内角，由正弦定理得：【点睛】此题考查
11、了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18.2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(1)根据上表说明，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.()问男、女学生各选取多少人？()若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介
12、绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.附：，其中.【答案】（1）见解析；（2）男生有6人，女生有2人，【解析】分析：()因为，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关；()()根据分层抽样方法得，男生人，女生人； ()从人中，选取人的所有情况共有种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有种，由古典概型概率公式可得结果.详解：()因为，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关. ()()根据分层抽样方法得，男生人，女生人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人. ()从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，所以，所
13、求概率. 点睛：本题主要考查频率分层抽样、古典概型概率公式以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19.设为数列的前项和，已知，（）求证：是等差数列；（）设，求数列的前项和【答案】（）见解析;（）.【解析】分析：（）当时，带入可得：，从而得证；（）由（）得，进而得，利用错位相减即可得解.详解：（）证：当时，代入已知得，所以，因为，所以，所以，故是等差数列；（）解：由（）知是以1为首项，1为公差的等差
14、数列，所以从而，当时，又适合上式，所以所以 -得， - 点睛：弄清错位相减法的适用条件及解题格式是关键，在应用错位相减法求和时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个公比不为1的等比数列对应项相乘所得，所谓“错位”就是找“同类项”相减20.已知椭圆的离心率为，左右端点为,其中的横坐标为2. 过点的直线交椭圆于两点,在的左侧，且，点关于轴的对称点为，射线与交于点.（1）求椭圆的方程；（2）求证: 点在直线上.【答案】（1） ； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由椭圆的基本量运算可得解；（2）设，由直线与椭圆联立可得，写出直线和直线的方程，联立解交点横坐标，再利用韦达定
15、理代入可得定值.【详解】（1）因为离心率为，所以因为的横坐标为2，所以因此椭圆的方程为；（2）设由与联立，得所以直线:，直线:，联立解出.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数若函数在区间上为增函数，求a的取值范围；若对任意恒成立，求实数m的最大值【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】(1)g(x)的导数导数大于或等于0恒成立，转化成求不等式恒成立问题
16、(2) 求不等式恒成立问题转化成求最值问题，利用导数知识判断函数的单调性，从而求最值。【详解】(1)由题意得g(x)f(x)aln xa1.函数g(x)在区间e2，)上为增函数，当xe2，)时，g(x)0，即ln xa10在e2，)上恒成立a1ln x.令h(x)ln x1，ah(x)max，当xe2，)时，ln x2，)，h(x)(，3，a3，即实数a的取值范围是3，) (2)2f(x)x2mx3，即mx2xln xx23，又x0，m在x(0，)上恒成立记t(x)2ln xx.mt(x)min.t(x)1，令t(x)0，得x1或x3(舍去)当x(0,1)时，t(x)0，函数t(x)在(0,1
17、)上单调递减；当x(1，)时，t(x)0，函数t(x)在(1，)上单调递增，t(x)mint(1)4.mt(x)min4，即m的最大值为4.【点睛】恒成立问题一般参变分离转化成最值问题来处理，避免分类讨论，只需要利用导数知识判断函数的单调性，从而求得函数的最值。22.平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于，两点，试求【答案】(1)直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.(2).【解析】【分析】(1)直线参数方程消去即可得直角坐标方程，极
18、坐标方程两边同时乘以后再按极坐标与直角坐标关系化简即可.（2）写出的参数方程，代入曲线的直角坐标方程可得，利用根与系数的关系求得即为所求.【详解】（1）直线的参数方程为，把直线的参数方程化为普通方程为由，可得，曲线的直角坐标方程为（2）直线的倾斜角为，直线的倾斜角也为，又直线过点，直线的参数方程为(为参数)，将其代入曲线的直角坐标方程可得，设点，对应的参数分别为，由一元二次方程的根与系数的关系知，【点睛】极坐标与直角坐标之间的转化：，.直线的参数方程中注意参数的几何意义.23.已知函数（1）解不等式；（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分类讨论取绝对值后再代入不等式求解；（2）利用绝对值不等式性质求解.【详解】（1）当时，原不等式化为，解得，结合，得当时，原不等式化为，无解当时，原不等式化为，解得，结合，得综上，原不等式的解集为；（2），即，又，且，【点睛】（1）解含有两个绝对值的不等式常采用零点分段法先分类讨论去绝对值再求解.（2）绝对值不等式基本形式：;.
